If “Man’s greatness lies in his power of thought” (Pascal), Kurt Gödel must be one of the greatest men of all time, because his incompleteness theorem was considered as the greatest discovery in history (Paul Davies). This essay is a supplement to my book of Gödel’s Theorem, published in 2019 …

Nếu “Tư tưởng tạo nên tầm vóc con người”[1] (Pascal), thì Kurt Gödel phải là một trong những người vĩ đại nhất mọi thời đại, vì Định lý Bất toàn của ông được coi là khám phá vĩ đại nhất trong lịch sử (Paul Davies). Tiểu luận này là một bổ sung cho cuốn sách về Định lý Gödel của tôi, xuất bản năm 2019 …

Năm 2019, khi xuất bản cuốn “Định lý Gödel”, tôi không hề biết rằng Đài Truyền hình ABC của Úc đã có một chương trình đặc biệt về Kurt Gödel vào năm 2006, nhân dịp kỉ niệm 100 năm ngày sinh của ông. Tiếc quá! Bây giờ tôi mới biết sự kiện này, muộn tới 15 năm! Nhưng sự học không bao giờ là muộn. Đó là lý do của câu chuyện hôm nay.

Dưới tiêu đề: “Kurt Gödel on the Science Show with Pauline Newman”[2] (Kurt Gödel trên Chương trình Khoa học với Pauline Newman), Đài ABC thông báo:

“Năm 2006 đánh dấu kỉ niệm 100 năm ngày sinh của Kurt Gödel (1906-1978), nhà logic toán học hàng đầu của thế kỷ XX. Gödel đã phát triển các định lý về tính bất toàn vào năm 1931. Chúng mô tả tính hạn chế của các hệ toán học hình thức. Các định lý của ông được coi như một quả bom làm rung chuyển thế giới toán học”

Người điều khiển chương trình là Pauline Newman.

Khách mời gồm 3 trong số những nhà khoa học hàng đầu thế giới ngày nay:

● Gregory Chaitin, nhà toán học và khoa học computer nổi tiếng người Mỹ gốc Argentina, sinh năm 1947, nhà nghiên cứu hàng đầu của Viện Watson thuộc tổ hợp IBM. Bắt đầu từ những năm cuối thập kỷ 1960s, Chaitin đã có những đóng góp lớn về lý thuyết thông tin thuật toán (algorithmic information theory) và siêu toán học (meta-mathematics). Đặc biệt ông đã khám phá ra một kết quả trong lý thuyết computer tương đương với Định lý Bất toàn của Gödel. Ông cũng khám phá ra số Omega, một số thực không thể tính toán được – một bằng chứng về tính bất toàn của toán học nằm ngay trong nền tảng của toán học. Ông được xem là một trong số những nhà sáng lập của lý thuyết thông tin thuật toán – một lý thuyết đã trở thành nền tảng của khoa học computer, của lý thuyết thông tin, và của logic toán. Nghiên cứu của Chaitin không chỉ thu hút các nhà khoa học computer, mà còn thu hút các nhà triết học và toán học vì những khía cạnh liên quan đến bản chất của toán học và bản chất của nhận thức. Trong thế giới hiện nay, Chaitin được xem là một trong số những người hiểu rõ Định lý Bất toàn hơn ai hết.  

● Paul Davies, một nhà vật lý nổi tiếng, sinh năm 1946, hiện là Giáo sư Đại học Tiểu bang Arizona của Mỹ. Ông từng giảng dạy tại nhiều đại học hàng đầu thế giới như Đại học Cambridge, Đại học College London … Lĩnh vực nghiên cứu chủ yếu của ông là lý thuyết trường lượng tử trong không-thời-gian cong. Ông có đóng góp chủ yếu trong một hiệu ứng vật lý mang tên ông: “Hiệu ứng Fulling–Davies–Unruh”. Ông cũng là giám đốc Trung tâm các Khái niệm Nền tảng của Khoa học (Center for Fundamental Concepts in Science), và là một cây bút sắc sảo trong lĩnh vực sách phổ biến khoa học. Luận án hậu tiến sĩ của ông được thực hiện dưới sự hướng dẫn của nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng nhất nước Anh trong thế kỷ 20: Fred Hoyle – người đã thực hiện những tính toán xác suất nổi tiếng dẫn tới việc bác bỏ Thuyết Tự sinh của thuyết tiến hóa.

● Freeman Dyson (1923 – 2020), một nhà vật lý lý thuyết và toán học xuất sắc người Mỹ gốc Anh, nhà toán học và thống kê học nổi tiếng với các công trình về lý thuyết trường lượng tử, vật lý thiên văn, ma trận ngẫu nhiên, công thức toán học của cơ học lượng tử, vật lý về vật chất ngưng tụ, vật lý và kỹ thuật hạt nhân. Ông là Giáo sư danh dự của Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton, và đặc biệt, từng là một cộng sự thân cận hiếm hoi của Kurt Gödel tại viện này.  

Sau đây là tường thuật nội dung chính của cuộc tọa đàm trong Chương trình về Kurt Gödel tại Đài truyền hình ABC của Úc ngày 09/12/2006, kèm theo BÌNH LUẬN của tôi (Phạm Việt Hưng). Ý kiến tọa đàm được viết bằng chữ nghiêng. BÌNH LUẬN được viết bằng chữ đứng.  

Vì ý kiến phát biểu là văn nói nên đôi khi trở thành khó hiểu. Trong trường hợp này tôi chủ trương dịch ý, thay vì dịch từng chữ, miễn sao làm cho câu nói đó trở thành dễ hiểu, nhưng không làm thay đổi ý của người nói.

Mở đầu chương trình, người dẫn chuyện là Pauline Newman giới thiệu sơ lược tiểu sử Kurt Gödel. Sau đó các khách mời phát biểu ý kiến.

Paul Davies: Đôi khi tôi được hỏi: “Khám phá nào là vĩ đại nhất trong lịch sử?”. Trong ý nghĩ của tôi, không nghi ngờ gì nữa, đó là Định lý Bất toàn của Kurt Gödel.

Freeman Dyson: Gödel đã làm thay đổi cách nhìn về bản chất của toán học[3]. Ông chỉ rõ rằng toán học là một dạng sáng tạo tự do của trí tưởng tượng con người chứ không chỉ là một tập hợp các quy tắc.

BÌNH LUẬN:  

• Ý Dyson nói rằng tư duy của nhà toán học không chỉ là một chuỗi logic máy móc, mà là một thế giới tư tưởng rộng hơn logic máy móc, vì nó chứa đựng cả trực giác lẫn trí tưởng tượng – những yếu tố vượt ra ngoài giới hạn của logic máy móc. Bản thân Gödel đã nói rất rõ về điều này:

• “Hoặc toán học quá rộng đối với tư duy của con người hoặc tư duy của con người rộng hơn máy móc”[4].

Paul Davies: Tôi nghĩ Gödel chắc chắn là nhà logic vĩ đại nhất kể từ Aristotle, và có thể là vĩ đại nhất mọi thời đại.

Freeman Dyson: Nếu bạn hỏi các nhà lịch sử khoa học, những người thạo tin, chắc chắn họ sẽ đặt ông lên vị trí trên cùng.

Paul Davies: Tôi nghĩ, đối với hầu hết mọi người, toán học là con đường đáng tin cậy nhất, chắc chắn nhất dẫn đến sự thật. Chúng ta tranh cãi về những thứ như lịch sử, kinh tế, chính trị và thậm chí cả y học, nhưng không ai tranh cãi về những mệnh đề chẳng hạn như “11 là một số nguyên tố”, đơn giản là những mệnh đề như thế là đúng. Vì vậy, ai cũng có ý nghĩ cho rằng toán học là một mạng lưới rộng lớn và phức tạp bao gồm các phát biểu đúng hoặc sai. (Nhưng) bây giờ những gì Gödel cho thấy là việc phân chia rạch ròi thành đúng hoặc sai dựa trên nền tảng của logic là một kiểu phân chia được xây trên nền cát.

Pauline Newman: Năm 1931, Gödel đã thả một quả bom vào nền tảng của toán học và lý luận logic khi ông công bố Định lý Bất toàn nổi tiếng của mình – một trong những công trình toán học kỳ lạ nhất từ trước đến nay. Nguồn gốc của nó đi ngược trở về thời cổ Hy Lạp.

Paul Davies: Toán học được xây dựng từng bước trong chuỗi logic toán học. Bạn bắt đầu với những tuyên bố dường như hiển nhiên là đúng mà mọi người đều chấp nhận, và chúng được gọi là tiên đề. Chẳng hạn một tiên đề hình học: qua 2 điểm chỉ vẽ được một đường thẳng. Từ một bộ sưu tập các tiên đề như vậy, bạn có thể xây dựng các định lý phức tạp hơn. Một định lý chúng ta học ở nhà trường là định lý Pythagore, và chúng ta chấp nhận rằng định lý ấy đúng, bởi vì chúng ta chấp nhận các tiên đề mà nó dựa trên đó, và mỗi bước ở giữa là một bước suy luận hợp lý, đó là một bước có thể chứng minh được, và đó là lý do tại sao chúng ta có thể tin chắc vào các định lý toán học.

Pauline Newman: Mọi chuyện cứ thế tiến triển cho đến khi các triết gia Hy Lạp, vốn có truyền thống logic và suy luận hợp lý, nhận thấy một vấn đề đáng lo ngại mà hơn 2000 năm sau đã hoàn toàn phá hủy cái quan điểm trật tự rạch ròi này về thực tại. Rắc rối liên quan đến sự tồn tại của nghịch lý logic.

Paul Davies: Giả sử tôi nói “mệnh đề này là một lời nói dối” và sau đó đặt câu hỏi, “Mệnh đề đó đúng hay sai?”. Chà, nếu tuyên bố là đúng thì đó là dối trá, vậy là sai. Nhưng nếu nó sai, thì nó đúng, và chúng ta rơi vào tình trạng vô nghĩa tự mâu thuẫn. Trong nhiều thế kỷ, đây chỉ là một chuyện vui giữa các triết gia, nhưng Gödel cho thấy hóa ra cái mâu thuẫn ấy cũng lây nhiễm vào toán học, và nó phá hoại nền tảng logic rạch ròi của toán học.

Pauline Newman: Vậy họ giải quyết điều đó ra sao?

Paul Davies: Hãy xét một tuyên bố đơn giản như sau: “Trong một nghìn tỷ số đầu tiên [5], có chính xác sáu triệu số nguyên tố”. Điều đó đúng hay sai? Chà, có một cách cơ học, xoay vòng đơn giản để tìm ra câu trả lời. Tôi cá là nó sai nhưng tôi không ngẫu nhiên mà biết được. Các nhà toán học từng cho rằng tất cả các mệnh đề toán học đều đúng hoặc sai. Không phải như vậy. Những gì Gödel đã chỉ ra là tồn tại những phát biểu toán học không thể quyết định được. Nghĩa là những mệnh đề ấy có thể đúng nhưng không thể chứng minh được là đúng, và không có quy trình nào để biết trước mệnh đề nào là không thể quyết định được, mệnh đề nào là đúng, mệnh đề nào là sai. Trước công trình của Gödel, các nhà toán học cho rằng chân lý và khả năng chứng minh luôn đi đôi với nhau. Nghĩa là, nếu một phát biểu toán học là đúng thì về nguyên tắc, bạn có thể chứng minh nó, và nếu bạn có thể chứng minh một định lý cụ thể thì nó phải đúng. Nhưng sau Gödel, việc phân chia toán học rạch ròi thành một bộ sưu tập khổng lồ và công phu của các phát biểu toán học chính xác đã bị quét sạch. Toán học bây giờ đã được vén mở cho thấy nó không phải là một hệ thống chân lý khép kín mà là một mớ hỗn độn logic có kết thúc mở.

Pauline Newman: Công trình năm 1931 của Gödel không chỉ có ý nghĩa sâu sắc đối với toán học nói riêng và suy luận logic nói chung, mà còn có tác dụng rất thực tế khi nó định hướng sự chú ý vào khoa học computer; một cỗ máy có thể làm việc không cần suy nghĩ thông qua một chuỗi các phép tính logic. Trong vòng vài thập kỷ, những chiếc máy đầu tiên như thế đã được chế tạo ra, và chính trong lý thuyết computer người ta cảm nhận được tác động của Định lý Gödel rõ ràng nhất. Xin mời Gregory Chaitin, một trong những nhà toán học hàng đầu của IBM, cho ý kiến.

Gregory Chaitin: Tôi xin đơn cử một ví dụ về một ứng dụng thực tế (của Định lý Bất toàn). Hãy xét mật mã toán học. Rất nhiều giao dịch kinh doanh trên internet phụ thuộc vào việc mã hóa những thứ như số thẻ tín dụng, và các phương pháp mã hóa phụ thuộc vào một phỏng đoán toán học khá mất thì giờ để phân tích một số ra các thừa số nguyên tố của nó – tìm các số nguyên tố mà khi nhân với nhau sẽ trả lại cho bạn số ban đầu. Mọi người đã rất cố gắng để bẻ khóa các chương trình mã hóa này và không ai nghĩ ra cách để bẻ khóa nó.

BÌNH LUẬN:

• Bạn dễ dàng tính tích của các số nguyên tố, chẳng hạn: 13 x 17 x 19 x 23 = 96.577. Gọi bài toán này là bài toán thuận.

• Bài toán đảo là phân tích số 96.577 thành tích của các thừa số nguyên tố. Đây là bài toán của học sinh phổ thông cấp II. Các em phải chia số 96.577 cho ước số nhỏ nhất có thể có của nó, rồi lại tiếp tục quá trình ấy cho đến ước số cuối cùng. Công việc này khá mất thì giờ. Điều thú vị cần nói ở đây là để giải bài toán này – bài toán phân tích một số ra các thừa số nguyên tố – ngoài cách làm của học sinh cấp II, chúng ta không có cách làm nào khác. Mặc dù học hết cấp II, cấp III, rồi đại học, rồi tiến sĩ … chúng ta vẫn không có phương pháp nào khác tốt hơn, hiệu quả hơn phương pháp của học sinh cấp II!

• Tại sao vậy? Vì đó là bản chất bất toàn của toán học! Toán học không mạnh như ta tưởng. Toán học không phải là vạn năng! Toán học có những lúc đòi hỏi ta phải xử lý nó bằng những thao tác thực tế, thực dụng y như trong vật lý. Mơ tưởng tìm ra một công thức vạn năng trong mọi trường hợp là một giấc mơ không tưởng, và hóa ra là không hiểu bản chất bất toàn của toán học.

• Những người mắc bệnh tôn thờ khoa học có thể thất vọng với tính bất toàn của toán học, nhưng những người hiểu Định lý Bất toàn thì coi đó là một định luật của tự nhiên và người khôn ngoan là người “thuận thiên” – hành động phù hợp với các luật tự nhiên.

• Chẳng hạn, các chuyên gia mật mã, thay vì “bất mãn” với số nguyên tố vì tính bất quy tắc của nó, họ lợi dụng tính bất toàn về số nguyên tố để tạo mã.

• Hãy tưởng tượng một mật mã là một con số cực lớn. Muốn hiểu được mật mã ấy phải giải mã nó – phải phân tích nó thành những thừa số nguyên tố (mỗi thừa số này chứa đựng những thông tin bí mật nào đó). Thời gian giải mã là hữu hạn. Sau thời hạn đó, mật mã sẽ bị hủy (mất hiệu lực). Vậy làm thế nào để giải mã nhanh chóng?

• Không có cách nào cả, ngoài cách mà các em học sinh cấp II vẫn làm. Và vì thời hạn giải mã là hữu hạn nên về nguyên tắc, việc giải mã là bất khả! Đó là một biểu hiện bất toàn của toán học!

Pauline Newman: Từ lâu, các nhà toán học đã biết rằng trong thực tế, việc nhân các số rất nhanh chóng và dễ dàng nhưng bài toán ngược – phân tích một số ra các thừa số nguyên tố lại tốn nhiều thời gian và công sức. Hiện tại thẻ tín dụng của chúng ta có vẻ an toàn. Nhưng sự bất đối xứng toán học này có an toàn tuyệt đối không?

Gregory Chaitin: Không ai có thể chứng minh được điều này. Mọi người tin vào điều đó chỉ nhờ kinh nghiệm dựa trên kiểu “lý luận” mà một nhà vật lý sẽ sử dụng

Pauline Newman: Vật lý thu hút bằng chứng từ phòng thí nghiệm và thế giới quanh ta để định hướng cho các lý thuyết và phỏng đoán của nó. Chaitin cho rằng vì tính không chắc chắn nội tại của nó, toán học cũng nên được coi là một môn thực nghiệm hơn là một môn logic thuần túy.

Gregory Chaitin: Vấn đề thực sự đặt ra là phải chăng vì (Định lý) Gödel, toán học nên được xử lý một cách khác đi (so với trước đây), hoặc nó nên được thực hiện giống như vật lý hơn? Nói cách khác, bạn có nên luôn luôn đòi hỏi phải có chứng minh toán học hay nên tin vào loại bằng chứng thực dụng mà một nhà vật lý tin tưởng? (Chẳng hạn) bạn đâu có chứng minh phương trình trường của Einstein, đâu có chứng minh phương trình của Maxwell từ những nguyên lý đầu tiên (giống như cách của toán học). Bạn có thể nhận thấy các nhà vật lý giải thích rất nhiều thí nghiệm, đó là kiểu chứng minh thực dụng. Nói cách khác, biện minh thực dụng có nghĩa là bạn tin vào điều gì đó vì hậu quả phù hợp với kinh nghiệm của bạn, bởi vì nó giải thích được rất nhiều điều. Nhưng cách thông thường mà một nhà toán học chứng minh điều gì đó thì ngược lại. Bạn tin vào điều gì đó không phải vì hậu quả của nó mà vì bạn có thể chứng minh điều đó từ những nguyên tắc đơn giản hơn. Vì vậy, tôi cho rằng kết quả của Gödel mang tính cách mạng và nó lật đổ (niềm tin truyền thống của toán học), đồng thời có nghĩa là toán học thuần túy thực ra không như mọi người thường nghĩ rằng nó khác với vật lý.

BÌNH LUẬN:

• Phát biểu của Chaitin mang tính triết học sâu sắc, xin giải thích thêm như sau:

• Các định lý toán học mang tính tuyệt đối chính xác, nếu hệ tiên đề được coi là hoàn toàn đáng tin cậy.

• Ngược lại, các phương trình vật lý mang tính tương đối, vì nó không được xây dựng bằng con đường suy diễn logic chính xác dựa trên các tiên đề đơn giản đã được thừa nhận. Phương trình vật lý thường là kết quả của các dữ liệu thí nghiệm hoặc thực tế, cộng với trí tưởng tượng và trực giác của nhà vật lý. Vì thế nó có độ chính xác tương đối, và có thể thay đổi sao cho ngày càng phù hợp với các dữ liệu thực tế mà nhà vật lý thu thập được. Đó là lý do Albert Einstein tuyên bố:

• “Không có con đường logic nào để khám phá ra các định luật cơ bản này. Chỉ có con đường của trực giác, được trợ giúp bởi một cảm nhận về trật tự ẩn sau vẻ bề ngoài (của sự vật)”[6].

• Bản thân Einstein đã nhiều lần thay đổi thêm / bớt vào phương trình trường trong Thuyết tương đối tổng quát của ông. Cụ thể là hằng số vũ trụ.

• Nhưng các định lý toán học, thí dụ Định lý Pythagore, hay Định lý cuối cùng của Fermat, thì bất di bất dịch, được coi là những chân lý vĩnh cửu. Đó là lý do để người đời từ xa xưa đã coi toán học là một hệ logic hoàn hảo, chắc chắn, và đáng tin cậy tuyệt đối. Nhưng Định lý Gödel đã phá vỡ niềm tin đó, tạo nên một cuộc cách mạng về nhận thức chân lý, rằng toán học hóa ra cũng chỉ tương đối như vật lý và các khoa học khác mà thôi. Nói cách khác, toán học cũng là một khoa học kinh nghiệm!       

Pauline Newman: Năm 1939, lo sợ phải nhập ngũ vào quân đội Đức Quốc xã, Gödel đã bỏ trốn khỏi Vienna cùng với vợ Adele để đến Hoa Kỳ. Tại đây, ông kết thân với Einstein tại Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Princeton. Họ trở thành những người bạn suốt đời và vài năm sau, Einstein nói rằng lý do duy nhất khiến ông đi làm là để được đi bộ về nhà cùng với Gödel ………

Tiếp theo Freeman Dyson nói về những cuộc gặp gỡ của ông với Gödel tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton. Ông lấy làm vinh dự vì được Gödel mời tới nhà riêng để trò chuyện. Ông cho biết Gödel rất am hiểu các vấn đề vật lý, thay vì chỉ là một nhà toán học thuần túy. Nhưng Dyson không nói thêm điều gì về Định lý Bất toàn.

Tuy nhiên, mối quan hệ thân tình mà Gödel dành cho Dyson chắc chắn đã có ảnh hưởng tích cực đến thế giới quan của Dyson. Thật vậy:

Mặc dù Định lý Bất toàn ra đời từ 1931 nhưng mãi cho đến khi Gödel mất, 1978, số người trên thế giới thực sự hiểu được ý nghĩa của định lý này vẫn có thể đếm được trên đầu ngón tay. Tư tưởng Hilbert vẫn tiếp tục thống trị toán học, các nhà toán học tiếp tục mơ tưởng đến một TOE của toán học – một lý thuyết có thể giải thích mọi thứ của toán học (Theory of Everything in Mathematics).

Trong vật lý thì TOE đã trở thành một tên gọi chính thức, một lý tưởng cao đẹp và tất yếu đến nỗi Stephen Hawking cho đến năm 1988 vẫn lạc quan tuyên bố rằng hy vọng tìm ra một Lý thuyết Thống nhất cho toàn bộ vật lý, tức TOE, sắp trở thành hiện thực, vì “chúng ta đã biết nhiều hơn về vũ trụ”. Thậm chí ông quả quyết đó là mục đích tối hậu của vật lý học: “Mục tiêu của chúng ta chẳng có gì khác là một sự mô tả đầy đủ về vũ trụ mà ta đang sống trong đó”[7]

Nhưng bất chấp trào lưu dòng chính trong toán học và vật lý hướng tới TOE, Freeman Dyson đã sớm có nhận thức ngược dòng. Thật vậy, năm 1985, ông cho xuất bản cuốn “Infinite in All Directions” (Vô hạn theo mọi hướng), chỉ ra rằng sẽ không bao giờ có TOE, cả trong toán học lẫn vật lý. Đây, ông viết:

“Năm mươi năm trước, Kurt Gödel, người sau này trở thành một trong những bạn thân nhất của Einstein, đã chứng minh rằng thế giới của toán học thuần túy là vô tận [nghĩa là không thể có một thứ toán học giải thích được mọi thứ của toán học, PVHg]. Không có một tập hợp hữu hạn các tiên đề và quy tắc suy luận nào có thể bao hàm toàn bộ toán học. Với bất kỳ tập hợp hữu hạn các tiên đề nào, chúng ta có thể tìm thấy các câu hỏi toán học có ý nghĩa mà các tiên đề đó chưa trả lời được. Khám phá này của Gödel thoạt tiên là một cú sốc không mong muốn đối với nhiều nhà toán học. Nó đã phá hủy một lần và mãi mãi hy vọng có thể giải được bài toán quyết định [do Hilbert nêu lên năm 1928, PVHg] bằng một quy trình có hệ thống về tính đúng / sai của bất kỳ tuyên bố toán học nào. Sau khi cú sốc ban đầu kết thúc, các nhà toán học nhận ra rằng Định lý Gödel, khi phủ nhận khả năng tồn tại một thuật toán phổ quát để trả lời dứt khoát tất cả các câu hỏi, nó đã đảm bảo rằng toán học không bao giờ chết [tức là không bao giờ kết thúc, PVHg]. Cho dù toán học có tiến bộ đến đâu và cho dù có bao nhiêu vấn đề được giải quyết đi chăng nữa, nhờ Gödel, sẽ luôn có những câu hỏi mới để hỏi và những ý tưởng mới để khám phá.”[8]

“Tôi hy vọng rằng chúng ta có thể chứng minh thế giới vật lý cũng vô tận như thế giới toán học. Một số đồng nghiệp của chúng tôi trong lĩnh vực vật lý hạt cho rằng họ đang tiến gần đến sự hiểu biết đầy đủ về các quy luật cơ bản của tự nhiên. Họ thực sự đã đạt được những tiến bộ tuyệt vời trong mười năm qua. Nhưng tôi hy vọng rằng khái niệm về một tuyên bố cuối cùng của các định luật vật lý sẽ được chứng minh là viển vông tương tự như khái niệm về một quá trình quyết định hình thức cho tất cả toán học. Nếu hóa ra toàn bộ thực tại vật lý có thể được mô tả bằng một tập hợp hữu hạn các phương trình, thì tôi sẽ thất vọng”[9].

Nếu bạn biết rằng Stephen Hawking mãi cho đến năm 2003 mới nhận thấy tác động vô cùng lớn của Định lý Gödel đối với vật lý[10], thậm chí mãi cho đến 2010 mới tuyên bố rằng rất khó có thể có một TOE của vật lý[11], thì phải thấy rằng Freeman Dyson đã đi trước rất xa các nhà vật lý cùng thời trong việc nhận ra ý nghĩa trọng đại của Định lý Gödel đối với vật lý nói riêng và khoa học nói chung.

Tại sao Freeman Dyson sớm tỉnh thức như thế? Đơn giản vì ông thân thiết với Gödel ngay từ những năm 1940!

Trở lại với chương trình của Đài ABC, người dẫn chuyện là Pauline Newman cho biết:

Sau khi Einstein mất năm 1955, Gödel trở nên cô đơn hơn, và bệnh thần kinh cũng tiến triển ngày càng tệ hơn. Ông luôn bị ám ảnh bởi nguy cơ bị đầu độc. Những năm cuối đời ông sống phụ thuộc vào Adele, vợ của ông. Khi bệnh nặng phải đưa vào bệnh viện, ông từ chối thức ăn của bệnh viện, vì sợ bị đầu độc. Chính điều đó làm ông nhanh chóng bị suy sụp rồi chết.

Mãi cho tới cuối thế kỷ 20, khi khoa học computer và lý thuyết thông tin phát triển ở mức bùng nổ, thế giới khoa học mới sực tỉnh để nhận ra “cha đẻ” của cả hai khoa học quan trọng nhất này chính là Kurt Gödel, và Định lý Bất toàn mới được nhìn nhận như “khám phá vĩ đại nhất trong lịch sử”, như Paul Davies đã khẳng định!

DJP, Sydney 02/11/2021

---

[1] Penser fait la grandeur de l’homme”, Blaise Pascal > https://citation-celebre.leparisien.fr/citations/40035

[2] https://www.abc.net.au/radionational/programs/scienceshow/kurt-godel/3383388

[3] Nguyên văn: “He changed the nature of mathematics”. Đây là văn nói nên không đủ rõ. Khi dịch, tôi dịch theo cách làm cho rõ ý người nói, không gây hiểu lầm. 

[4] Either mathematics is too big for the human mind, or the human mind is more than a machine > https://en.wikiquote.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

[5] Nguyên văn: “in the first trillion digits…”. Ý của chữ “digits” là “numbers”. Khi nói đôi khi người nói dùng từ không chính xác.

[6] There is no logical way to the discovery of these elemental laws. There is only the way of intuition, which is helped by a feeling for the order lying behind the appearance. > https://www.brainyquote.com/quotes/albert_einstein_138241

[7] Stephen Hawking, A Brief History of Time > And our goal is nothing less than a complete description of the universe we live in > https://kwize.com/quote/8330

[8] Gödel, Maths and Physics > Freeman J. Dyson, Infinite in all Directions, 1985 > https://barryhopewell.com/tag/freeman-dyson/

[9] Như chú thích 8.

[10] Xem bài “Gödel và sự kết thúc của vật lý” của Stephen Hawking, bản dịch của Phạm Việt Hưng, trong cuốn “Định lý Gödel, Nần tảng của Khoa học Nhận thức Hiện đại”, BXB Tri Thức 2019, trang …

[11] Xem bài “Lý thuyết về Mọi Thứ, một lý thuyết khó đạt được” của Stephen Hawking, bản dịch của Phạm Việt Hưng, trong cuốn “Định lý Gödel, Nần tảng của Khoa học Nhận thức Hiện đại”, BXB Tri Thức 2019, trang …