Abstract: Sixteen years ago, NASA’s Mars Orbiter was burnt, due to a very “trivial” error: meters and kilograms were used confusedly with feet and pounds. Richard Cook, a NASA major scientist, acknowledged: “The units thing has become the lore, the example in every kid’s textbook from that point on. Everyone was amazed we didn’t catch it”. This is a very expensive lesson not only for science, but especially for education.
Tóm tắt: Mười sáu năm trước, Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa của NASA bị cháy, do một lỗi rất “tầm thường”: mét và kilôgam được sử dụng lẫn với feet và pounds. Một nhà khoa học lớn của NASA là Richard Cook thú nhận: “Đơn vị đo lường là kiến thức cơ bản trong mọi cuốn giáo khoa của trẻ em, vậy mà chúng tôi không nắm được. Điều đó làm mọi người sửng sốt”. Đây là một bài học rất đắt không chỉ với khoa học, mà đặc biệt với giáo dục.

Sự cố Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa xẩy ra năm 1999, đến nay đã bị coi là một “chuyện cũ”, nhưng bài học của nó chẳng bao giờ cũ. Thật vậy, trong 16 năm qua báo chí thế giới đã nói nhiều về những bài học rút ra từ sự cố Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa, nhưng không có một bài báo nào nhắc đến bài học dành cho môn Toán ở nhà trường – nơi học trò được dạy trình bầy các phép toán không có đơn vị đo – một tàn dư của Chủ nghĩa Hình thức trong toán học thế kỷ 20.
Trước khi phân tích bài học đó, xin lược lại sự kiện Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa.

Tổn thất của NASA

Ngày 30/09/1999, CNN đưa tin: “Việc lẫn lộn đơn vị đo lường của NASA dẫn tới tổn thất Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa” (NASA’s metric confusion caused Mars Orbiter loss).

Rất may không có tổn thất sinh mạng. Nếu có, không biết các nhà khoa học sẽ nghĩ gì? Liệu đây là một thảm họa do bất cẩn hay ngu dốt? Nhưng dẫu thế nào thì NASA cũng đã ném 125 triệu dollars vào sọt rác, chỉ vì một sai lầm rất “vớ vẩn” và “ấu trĩ”, như Richard Cook đã thừa nhận: vấn đề sử dụng đơn vị đo lường không được chú trọng như nó cần phải có.

Hình bên: Mầu xanh là quỹ đạo dự kiến; mầu đỏ là quỹ đạo thực tế (bay vào vùng khí quyển nên bốc cháy)

Cụ thể, nhóm khoa học thuộc tổ hợp Lockheed Martin ở Colorado, đơn vị chịu trách nhiệm sản xuất con tầu vũ trụ, sử dụng hệ đơn vị đo lường của Anh (feet, pounds); trong khi nhóm khoa học thuộc NASA, chủ dự án Trạm Quỹ Đạo Sao Hỏa, sử dụng hệ đơn vị đo lường quốc tế (meters, kilograms). Tổ hợp Lockheed Martin phải chuyển dữ liệu cho NASA trong quá trình theo dõi và điều khiển chuyến bay, nhưng việc sử dụng lẫn lộn hai hệ đơn vị đo lường khác nhau trong công trình khoa học hợp tác này đã dẫn tới thất bại thảm hại – thay vì hướng dẫn Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa bắt vào quỹ đạo bay vòng quanh Sao Hỏa theo đúng chương trình đã định thì các nhà khoa học được coi là tài ba nhất thế giới đã để cho nó lao vào bầu khí quyển của Sao Hỏa rồi bốc cháy. [1]

Rất khó để tin rằng hai tổ chức khoa học bậc nhất thế giới như thế lại có thể “quên” không thống nhất với nhau việc sử dụng hệ đơn vị đo lường trong các chương trình sản xuất con tầu và thực hiện chuyến bay. Càng không thể tin rằng việc kiểm tra mọi điều kiện trước khi bắt đầu chuyến bay lại có thể sơ suất đến mức không phát hiện ra việc sử dụng lẫn lộn hai hệ đơn vị đo lường khác nhau trong các chương trình điều khiển chuyến bay.

“Một nhà toán học đơn độc có thể phạm sai lầm, nhưng liệu một tập thể các nhà khoa học có thể phạm sai lầm không?” Đó là câu hỏi của The Doc, tác giả bài báo “Science Myth or Truth? Can you tell?” (Chuyện khoa học hư cấu hay sự thật?). Hỏi để tự trả lời: “Thật đáng tiếc là toàn bộ các nhà khoa học trong một tập thể lớn cũng có thể phạm sai lầm, và khi điều đó xẩy ra, tổn thất còn lớn hơn rất nhiều, có khi phải trả giá đắt và vô cùng phiền phức”. Đó chính là trường hợp Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa.

Phó Ban khoa học không gian của NASA là Edward Weiler nói: “Con người đôi khi phạm sai lầm. Nhưng vấn đề ở đây không phải là sai lầm, mà là thất bại của công nghệ quản lý hệ thống của NASA, và thất bại của việc kiểm tra và cân đối trong các quá trình phát hiện sai lầm của chúng ta. Đó là lý do vì sao chúng ta mất con tầu không gian”.

Có nghĩa là có nhiều sai lầm cả về quản lý lẫn kỹ thuật công nghệ. Báo cáo điều tra đầu tiên nêu lên 8 lý do trực tiếp hoặc gián tiếp dẫn tới thất bại, nhưng nhấn mạnh rằng lý do chủ yếu là vấn đề sử dụng lẫn lộn hai hệ đơn vị đo lường khác nhau.

Hình bên: Dữ liệu không nằm trong khung cảnh thích hợp không chỉ vô nghĩa, mà còn nguy hiểm

Đó là những ý kiến khảng khái của những người trong cuộc – những người phải chịu trách nhiệm ít hoặc nhiều, trực tiếp hoặc gián tiếp, về tổn thất to lớn này. Tuy nhiên, tất cả những ý kiến đó đều chưa liên hệ với một sai lầm tương tự trong giáo dục toán học. Đó là trào lưu Toán học Mới trong thập kỷ 1960, trong đó thầy giáo dạy học trò trình bầy các phép toán không có đơn vị đo, thể hiện tư tưởng của Chủ nghĩa Hình thức trong toán học đầu thế kỷ 20 một cách rõ rệt. Mặc dù Toán học Mới đã thất bại thảm hại, nhưng ảnh hưởng tiêu cực của nó vẫn còn tồn tại ở nhiều nơi. Vì thế sự cố Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa năm 1999 phải được coi là một bài học có ý nghĩa lớn đối với giới toán học. Đó là bài học về Chủ nghĩa Hình thức, một chủ nghĩa không tưởng trong toán học, có ảnh hưởng hết sức tiêu cực đối với giáo dục toán học trong thế kỷ 20.

Vậy chủ nghĩa hình thức là gì? Ảnh hưởng tiêu cực của nó đối với nền giáo dục ra sao? Trong hơn 10 năm qua, tôi đã nhiều lần trả lời câu hỏi này. Một trong số đó là bài báo “Dạy toán ở trường phổ thông: Poincaré – Hiện thực là linh hồn của toán học”, đã đăng trên tạp chí TIA SÁNG số Tháng 6 năm 2002. Xin công bố toàn văn bài báo đó với những sửa chữa bổ sung cần thiết như dưới đây.

Poincaré: Hiện thực là linh hồn của toán học

Henri Poincaré, người được mệnh danh là “ Mozart của toán học”, với trực giác thiên tài luôn coi hiện thực là linh hồn của toán học. Ông đã kiên quyết chống đối chủ nghĩa toán học hình thức (CNHT) của Hilbert.
Ngày nay, mặc dù CNHT của Hilbert đã chính thức phá sản, nhưng ảnh hưởng của nó trên thực tế vẫn còn đáng kể, đặc biệt trong lĩnh vực giáo dục. Vì thế, việc giới thiệu tư tưởng của Poincaré là điều hết sức cần thiết, nhằm vạch rõ sai lầm và tác hại của CNHT trong giảng dậy toán học.

1*) Đặc trưng cốt lõi của CNHT

Đặc trưng cốt lõi của CNHT là tin rằng tồn tại một hệ thống chân lý toán học siêu hình, tách rời thế giới vật chất cụ thể và chân lý ấy là chân lý tối thượng, cao hơn bất kỳ chân lý nào khác. Thật vậy: Trong cuốn “Portraits From Memory”, Bertrand Russell viết: “Tôi tin rằng toán học là nguồn chủ yếu của niềm tin vào một sự thật chính xác và vĩnh cửu, cũng như vào một thế giới có thể nhận thức được bằng siêu-nhận-biết (a super-sensible intelligible world)”.

Cũng Russell, cùng với Alfred Whitehead, trong tác phẩm Principia Mathematica, tuyên bố: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết là người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”.

Nhưng “bất hủ” nhất vẫn là câu nói nổi tiếng của David Hilbert: “ Điểm, đường, mặt có thể là cái bàn, cái ghế, cốc bia, miễn là chúng thỏa mãn hệ tiên đề (hình học)”.

Với tư duy đó, dần dần toán học bị chia rẽ thành toán học thuần túy và toán học ứng dụng, trong đó chỉ có toán học thuần túy mới được coi là toán học thực sự và toán học ứng dụng được coi là toán học loại hai, hoặc thậm chí không phải là toán học. Điều này dẫn đến hậu quả không lành mạnh: ai cũng muốn tỏ ra mình là người hiểu biết các chân lý toán học “chính xác và vĩnh cửu”, “siêu-nhận-biết”, để chối bỏ phương pháp cụ thể, hình tượng.

Tại Việt Nam chưa bao giờ nghành giáo dục chính thức đề cao CNHT để áp dụng vảo giảng dạy toán học. Đây là một điều may mắn. Tuy nhiên, CNHT cuối cùng cũng đã len lỏi thông qua một vài nhà sư phạm toán học và đã biểu lộ “nhỏ giọt” hoặc có mức độ trong một số phương pháp được áp dụng khá phổ biến, điển hình nhất là việc dạy các em nhỏ làm toán không được ghi đơn vị đo bên cạnh con số. Có thể thấy rất rõ điều này trong phương pháp sư phạm của giáo sư X từng viết sách giáo khoa toán.

2*) Tư tưởng sư phạm hình thức của GSX

■ Trong một bài báo trên Tia Sáng tháng 1 năm 2002, sau khi nói đến một kiểu dạy số 2 theo cách đếm các vật cụ thể, GSX kết luận: “Cách dạy như trên là hoàn toàn đúng mặc dầu học sinh học xong vẫn không trả lời được câu hỏi: Số 2 là gì?”.

Tại sao đã hoàn toàn đúng mà lại vẫn chưa biết “số 2 là gì?”. Người ngoài ngành toán có thể hơi bỡ ngỡ không hiểu, nhưng người trong ngành thì hiểu ngay là GSX muốn nói đến cái số 2 theo tinh thần trừu tượng, cao siêu, “chính xác và vĩnh cửu, siêu-nhận-biết”, kiểu Russell.. Khổ quá, hình như GSX muốn nói với chúng ta rằng, này coi chừng đấy, đừng có nhầm “số lượng” với “số” đấy nhé, phải dạy các em biết phân biệt hai khái niệm này thì mới được coi là dạy giỏi đấy nhé, v.v. Về cái khát vọng “khai sáng tư duy và nhận thức toán học” – một căn bệnh rất chướng của CNHT – thì tôi sẽ bình luận thêm ở phần 3.

■ Theo bài “Môn toán ở trường phổ thông” của GS Lê Hải Châu trên Tia Sáng số tháng 4 năm 2002, GSX giảng: “Khi cộng hai phân số ta cho họ thấy 1/3 + 1/6 = 1/2 mà không nên minh họa là 1/3 cái bánh + 1/6 cái bánh = 1/2 cái bánh, bởi lẽ 1/3 x 1/6 = 1/18 không thể minh họa là 1/3 cái bánh x 1/6 cái bánh = 1/18 cái bánh”.

Xin phỏng vấn GSX:

GS có thấy thầy giáo nào dạy trình bày phép nhân 1/3 cái bánh x 1/6 cái bánh = 1/18 cái bánh không? Tôi nghĩ may ra có một em học trò nào viết như thế, nhưng chắc chắn em đó là học sinh kém cá biệt. Vậy tại sao lại lấy thí dụ của một học sinh kém cá biệt để coi là sai lầm phổ biến, và để làm chỗ dựa cho một quan điểm học thuật? Tôi nghĩ đây là một cách ngụy tạo thí dụ cốt để đạt mục đích. Và thí dụ ngụy tạo đó phản lại chính người sáng tác ra thí dụ đó. Nếu tôi là thầy giáo, tôi sẽ dạy học sinh trình bày phép toán phản ánh chính xác thực tế. Thí dụ: 1/3 m x 1/6 m = 1/18 m2 hoặc 1/3 m x 1/6 = 1/18 m. Vậy mục đích của GSX là muốn áp dụng tư tưởng “số 2 là gì” vào các phép toán, nhưng không biết cách làm thế nào để truyền bá cái tư tưởng cao siêu “số 2 là gì” cho trẻ em, nên đành phải sáng tác ra những thí dụ vô nghĩa như trên để áp đặt phương pháp hình thức mà GS mong muốn. Chúng ta sẽ thảo luận “số 2 là gì” sau, còn bây giờ thì cần phải nói rằng lý lẽ của GSX dựa trên thí dụ ngụy tạo không có tính thuyết phục. Có lẽ vì quá say sưa với tư tưởng toán học cao siêu nên GSX đã bỏ qua hai yếu tố sư phạm cực kỳ quan trọng sau đây:

a) Cách viết “cái bánh” kèm theo số lượng xưa nay vẫn làm ra biết bao nhiêu thiên anh hùng ca của toán học. Nó chẳng hề có lỗi gì cả. Chính trào lưu bột phát và tự phụ của CNHT đã vô cớ và chủ quan hạ bệ nó, gây ra thảm họa giáo dục (trào lưu Toán học Mới) ở Pháp những năm 1960 đấy thôi. Trong khi đó những ai có tư tưởng thực tiễn đều yêu mến nó, bởi xét cho cùng, nó thấm nhuần tư tưởng duy vật của tổ tiên ta là “có thực mới vực được đạo”.

b) Cách trình bày không có “cái bánh” bên cạnh con số, không biết sẽ giúp cho học trò nhận thức được cái thế giới “siêu-nhận-biết” đến đâu, nhưng chắc chắn là nó gây tác hại nghiêm trọng trong thế giới thông thường. Có lẽ vì thế nên GS Hoàng Tụy, trong bài viết trên Tia Sáng số tháng 12 năm 2001, đã phải lưu ý: “Chúng ta chưa quan niệm rõ ràng, đúng đắn dạy toán ở trường phổ thông để làm gì, nhằm mục đích gì”. Đúng vậy, nếu không quan niệm đúng, chúng ta có thể sẽ dẫn các em đi lạc vào cái thế giới “siêu-nhận-biết” mung lung ấy, làm hỏng mọi chuyện trong thế giới thông thường hàng ngày. Nói cụ thể hơn, nếu lối dạy của GSX áp dụng vào môn vật lý thì sao đây? Tất nhiên GS có thể nói: toán là toán, lý là lý, tại sao lại lẫn lộn? Ôi, thế hóa ra lại phải dạy hai môn toán hay sao? Một môn toán theo kiểu “số 2 là gì?” của GSX, và một môn toán đối lập lại, dùng để học vật lý và áp dụng trong đời sống hàng ngày?

Để bớt căng thẳng, xin hiến độc giả một chuyện vui tôi chép được trên tạp chí Engineer của Úc, giúp chúng ta cảm nhận rõ hơn cái “tuyệt vời” của khái niệm logic hình thức.
Đặt ký hiệu hình thức: Công = W (work); Thời gian = T (time); Công suất (sức mạnh) = P (power); Vàng/Tiền bạc = M (money); Tri thức = K (knowledge)
Def (Định nghĩa): P = W/T (công suất là công trong một đơn vị thời gian)
Ax1 (Tiên đề 1): T = M (thời gian là vàng/thời gian là tiền bạc)
Ax2 (Tiên đề 2): K = P (tri thức là sức mạnh)
{Def, Ax1} => P = W/M (#)
{ (#), Ax2} => K = W/M (*) . Từ kết luận này, phát biểu thành định lý:
Theorem (Định lý): Tri thức (K) tỷ lệ nghịch với M (tiền bạc) – càng nhiều tiền tri thức càng thấp, càng ít tiền tri thức càng cao!

Hay quá! Với phương pháp tiên đề và suy diễn logic hình thức, bất chấp ý nghĩa thật sự của các đại lượng tham gia vào phương trình, chúng ta đã có một định lý xã hội học tuyệt vời. Đúng là một tiếu lâm khoa học đáng được tặng giải thưởng báo chí.

Phải chăng vì thấy sự nguy hiểm của chủ nghĩa hình thức nên tạp chí Engineer phải cảnh cáo các kỹ sư , yêu cầu các kỹ sư phải nắm vững ý nghĩa thực tế của các đại lượng vật lý trong thiết kế tính toán của họ? Phải chăng cảnh cáo này là bài học rút ra từ thảm họa năm 1999 của NASA: Trạm quỹ đạo Sao Hỏa bốc cháy?

Chuyện đã như thế rồi mà GSX vẫn có cách để thanh minh: “Tôi cho rằng nói 2 + 3 = 5 hoặc 1/3 + 1/6 = 1/2 chưa hẳn đã khô khan và nghèo nàn hơn là nói 2 quả nho khô + 3 quả nho khô = 5 quả nho khô hoặc 1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp” (trang 21 Tia Sáng tháng 1/2002).

Lại một lần nữa tôi phải nhấn mạnh rằng GSX đã ngụy tạo thí dụ 1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp. Đây là một sự bóp méo thực tế sư phạm, vì không có thầy cô giáo nào dạy như thế. Một người có tư tưởng hiện thực sẽ không bao giờ viết 1/3 cái xe đạp… Một khi đã thấm nhuần tư tưởng hiện thực, người viết sẽ đòi hỏi những gì mình viết ra phải phù hợp với hiện thực. Vậy rõ ràng là GSX đã “sáng tác” ra những thí dụ vô nghĩa để biện minh cho quan điểm hình thức của ông.

■ Cũng trên Tia Sáng số 1 năm 2002, sau khi nêu các ví dụ để nhận mình là người ủng hộ phương pháp giảng dạy đi từ cụ thể đến trừu tượng (tại sao phải tự nhận?), GSX tuyên bố: “Tiếc thay không phải bao giờ cũng có thể sử dụng phương pháp đó, bởi lẽ có những khái niệm toán học không có cái cụ thể nào để minh họa. Cũng như không có một điểm tựa trực giác nào cả”. Rồi để thuyết minh cho quan điểm này, ông nêu ví dụ căn bậc hai của 2.

Có thật thế không? Có thật là có những khái niệm tuyệt đối trừu tượng đến nỗi không thể tìm được một điểm tựa cụ thể hay trực giác không? Đến đây chúng ta đã đụng tới một vấn đề thuộc về triết học nhận thức. Theo tôi, cần hiểu khái niệm “cụ thể” và “trực giác” một cách tinh tế hơn.

Cụ thể và trực giác không tầm thường đến nỗi chỉ là “con gà, con vịt” mà còn có thể là kinh nghiệm tích lũy được qua quá trình tư duy. Một khái niệm A hôm qua là trừu tượng nhưng nếu hôm nay ta hiểu rồi (nằm trong kinh nghiệm rồi) thì nó sẽ thành cái cụ thể. Khái niệm cụ thể và trừu tượng của GSX và tôi trong từng trường hợp cụ thể có thể sẽ khác nhau, tùy theo mức độ cảm nhận thế giới của từng người. Tiếng Hán gọi “hình” là những cái trông thấy, nghe thấy, sờ thấy, ngửi thấy, nếm thấy, trực giác thấy. Ngược lại, cái gì không phải là “hình” thì là “siêu hình”, tức là trừu tượng. Tuy nhiên ranh giới giữa hình và siêu hình trong thực tế không dễ phân loại. Khái niệm Big Bang trong khoa học (hình) rất giống khái niệm Sáng Thế trong Kinh Thánh (siêu hình). Lúc đầu các nhà vật lý đề xướng Big Bang (Georges Lemaitre, một thầy tu người Bỉ) bị các nhà duy vật thô sơ quy kết là “siêu hình”, nhưng hôm nay Big Bang là “hình” rồi. Cách đây hai hôm, các bản tin khoa học loan báo lại vừa thu được “tiếng vọng” của Big Bang. Đối với căn bậc hai của 2, định nghĩa thuần túy số học mà GSX nói là trừu tượng 100% chính là cái “siêu hình”. Nhưng đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 cung cấp cho chúng ta “hình” của cái “siêu hình” đó.

Hình bên: Có thể dễ dàng xác định số căn bậc hai của 2 trên trục số thực để thấy rõ tính cụ thể của số này (mỗi điểm trên trục số thực là một số thực).

Dùng “hình” để tả cái “siêu hình” chính là biết lợi dụng hình học để trực quan hóa các khái niệm trừu tượng của số học hay đại số. Tách số học ra khỏi hình học thì sẽ làm cho số vô tỷ trở nên trừu tượng, “không linh thiêng”, làm cho một vĩ nhân như Pythagore phải đau đầu đến nỗi không dám công bố phát minh số vô tỷ. Nhưng xin đừng quên rằng cũng chính Pythagore đã khôn ngoan chấp nhận nó dưới dạng hình học. Vì thế, trong thời buổi ngày nay mà vẫn còn muốn tách số học ra khỏi hình học để huyễn hoặc số vô tỷ như một cái gì đó trừu tượng, không có điểm tựa thực tế hoặc trực giác thì đó là một sự cố chấp của chủ nghĩa hình thức, vì bản chất của số học và hình học là một, như hai mặt của một đồng xu mà thôi. Thậm chí Gottlob Frege, một lãnh tụ của chủ nghĩa hình thức đầu thế kỷ 20, sau khi công trình Cơ sở Số học của ông bị sụp đổ, đã nhận ra sai lầm của mình và tuyên bố: “Thực ra toàn bộ toán học là hình học”. Đáng tiếc là rất nhiều người nghiên cứu toán và dạy toán hiện nay không hề biết gì về những sự kiện lịch sử toán học này, nên họ vẫn cứ ôm những mộng tưởng hình thức, tưởng đó là toán học “chân chính”.

3*) CNHT là chủ nghĩa không tưởng và phi sư phạm

Sai lầm thứ nhất của CNHT là tự coi đường lối toán học của mình là chân lý tối thượng, chính xác nhất. Reuben Hersh, GS Đại học New Mexico, trong cuốn “What is Mathematics, Really?” (Thực ra toán học là gì?), đã làm một phân tích so sánh Euclid với Hilbert, rồi kết luận Euclid là nhà duy vật 100% vì ông đòi hỏi các bước suy luận logic của ông phải được minh họa bằng hình vẽ, cái mà Hilbert không cần. Ngược lại Hilbert duy tâm 100% khi coi điểm, đường, mặt chỉ là các đối tượng thuần túy hình thức, không cần biết ý nghĩa thực tế, miễn là thỏa mãn các cấu trúc logic toán học. Nếu tước đoạt của Euclid các hình vẽ thì lập tức Euclid cũng sẽ biến thành nhà logic duy tâm. Nhưng đó là giả thiết phi lý, vì ngôn ngữ logic của Euclid gắn chặt với hình vẽ. Vậy mà trào lưu Toán học Mới ở Pháp những năm 1960 đã “hạ bệ” Euclid và đến nay ở phương Tây người ta vẫn chưa chịu “phục hồi” Euclid, như GS Hoàng Tụy nói. Tại sao vậy? Vì người ta cho rằng toán học của Euclid còn bám sát đời thường, và do đó tầm thường (!). Và hình học Euclid bị thay thế bằng hình học Hilbert, trong đó các suy luận chỉ dựa trên hệ tiên đề. Đây là một thảm họa của nền giáo dục phương Tây. René Thom, nhà hình học Pháp nổi tiếng từng đoạt Giải Field vì sáng tạo ra Lý thuyết về tai ương (Catastrophe Theory), đã mô tả phương pháp dạy hình học theo kiểu Hilbert tại Pháp trong thế kỷ qua là một “sự phức tạp dễ sợ và chán ngấy” không có sức sống trong cuộc đời thông thường. Kết quả Toán học Mới đã thất bại nhưng hình học Euclid vẫn không được khôi phục như xưa kia.

Sai lầm thứ hai của CNHT trong giáo dục là bất chấp tâm sinh lý trẻ em. Vấn đề tâm sinh lý trong sư phạm là vấn đề quyết định hiệu quả sư phạm, quan trọng hơn cả chuyện hình thức hay cụ thể. Một công trình của McFadden trên tạp chí Journal of Consciousness ngày 16/05/2002, trong khi đưa ra tiên đoán cơ sở vật chất của ý thức là một trường điện từ (các nhà sinh học quen gọi là trường sinh học), đã phân tích rằng sự học bao gồm cả vô thức lẫn ý thức. Một nhà sư phạm tài ba sẽ là người biết hướng dẫn và kích thích một cách hài hòa tư duy vô thức với tư duy ý thức trong trẻ em. Ngược lại, áp đặt vội vàng tư duy ý thức nhất là những ý thức cao siêu trừu tượng, chính là một cách làm yếu hoặc tê liệt hoạt động tư duy vô thức của trẻ em. Lối học mà ta thường gọi là học “vẹt” thực ra chính là kiểu tư duy vô thức. Lối học này thường bị lên án mạnh mẽ, đặc biệt trong môn toán, nơi các quy tắc logic thống trị. Nhưng quan điểm giáo dục mới ở Mỹ gần đây cho rằng học thuộc như vẹt không hoàn toàn sai. Bách khoa toàn thư Americana 1999 viết: “Việc không chú ý tới cách học thuộc bài tỏ ra phản sư phạm: chẳng hạn, ít nhất thì việc cần phải làm phép tính: 3/4 + 2/3 = ? cũng quan trọng ngang với việc giải thích ý nghĩa của phép tính đó”. Trong thao tác tính toán hàng ngày, thực ra chúng ta đã sử dụng rất nhiều thao tác thuộc như vẹt, đó chính là kết quả những năm tháng mài đũng quần ở nhà trường. Xin độc giả đừng chụp cái mũ “cổ võ học vẹt” lên đầu tôi, vì vấn đề là ở chỗ khi nào có thể học vẹt, khi nào không. Chẳng hạn khi làm con tính 5236 chia cho 4389, các em không cần hiểu tại sao quy tắc chia lại phải như thế, như thế, mà vẫn cứ nhanh chóng tìm ra kết quả đúng. Loại tư duy này được coi là nặng về vô thức và thực chất là học vẹt, nhưng đó là một thứ học vẹt có lợi. Học vẹt hoặc học bằng vô thức đặc biệt có lợi trong việc học ngôn ngữ. Vì thế trẻ nhỏ học ngôn ngữ rất nhanh, trong khi người lớn học chậm, vì học bằng ý thức. Vậy việc đòi hỏi trẻ em hiểu “số 2 là gì?”, ý nghĩa “ánh xạ” trong các phép tính là gì,… thực chất là việc áp đặt quá vội vàng tư duy ý thức lên trẻ em, bất chấp tư duy vô thức (thực ra các vị ấy có phân biệt vô thức với ý thức gì đâu), có nghĩa là sai hoàn toàn về tâm lý sư phạm (không hiểu gì về tâm lý sư phạm thì đúng hơn). Đó là chưa nói đến cái tư duy ý thức rất vô bổ của chủ nghĩa hình thức đối với cuộc sống hiện thực.

4*) Cái chết của Chủ nghĩa Hình thức

Khi chương trình Hilbert – chương trình xây dựng lại toàn bộ toán học thành một hệ thống thuần túy logic hình thức tách rời thế giới hiện thực – mới được phát động, nó thu hút mạnh mẽ các nhà toán học vì nhiều lẽ. Một trong các lẽ đó là nó hứa hẹn sẽ tìm ra một phương pháp logic suy diễn hình thức tuyệt đối phi mâu thuẫn, cho phép chứng minh hoặc bác bỏ bất kỳ một mệnh đề toán học nào, thậm chí tự động chứng minh hoặc khám phá ra mọi định lý toán học. Nói cách khác, nó hứa hẹn sẽ tìm ra phương pháp cơ giới hóa, tự động hóa toàn bộ chứng minh toán học. Điều đó giống như một lý tưởng đẹp đẽ ngang với việc hứa hẹn sẽ đưa mọi người lên thiên đàng. Đó là lý do nó có sức hấp dẫn mạnh mẽ, lôi cuốn được số đông các nhà toán học.

Nhưng những nhà toán học nhìn xa trông rộng thấy rõ đó là một cuộc phiêu lưu không tưởng. Nổi bật trong số những người chống đối Hilbert là Henri Poincaré, người được coi là nhà đại quảng bác cuối cùng (the last universalist) trong lịch sử khoa học. Poincaré đã phản bác mạnh mẽ và khẳng định rằng trực giác sẽ không bao giờ vắng mặt trong suy luận chứng minh toán học. Cuộc tranh luận kéo dài bất phân thắng phụ. Nhưng đùng một cái, năm 1931, nhà toán học trứ danh Kurt Godel công bố Định lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) giáng một đòn chí tử vào CNHT, chứng minh rằng chương trình Hilbert là BẤT KHẢ. Giấc mơ xây dựng hệ thống toán học “chính xác, vĩnh cửu và siêu-nhận-biết” đổ vỡ tan tành. Chính Godel đã giải thích ý nghĩa định lý của ông rằng “ không thể cơ giới hóa toàn bộ các chứng minh toán học mà phải để chỗ cho trực giác xen vào”. Những biến động vĩ đại đó trong lịch sử toán học đã xác nhận trực giác thiên tài của Poincaré, đồng thời khẳng định rằng chủ nghĩa hiện thực là lẽ sống, là hơi thở, là sinh khí của toán học.

Hình bên: Sự học phải kích thích chúng tôi, đừng gây áp lực lên chúng tôi!! Chủ nghĩa hình thức trong sư phạm toán học là chủ nghĩa phức tạp hóa, hình thức hóa, trừu tượng hóa những cái đơn giản và cụ thể, làm rối loạn tâm trí trẻ em.

Những ai chưa thấy rõ tác hại của chủ nghĩa hình thức và trào lưu toán học mới trong giáo dục, xin đọc những bài báo về giáo dục và toán học trên PVHg’s Home (hầu hết đã đăng trên báo giấy tại Việt Nam, chủ yếu là Tia Sáng và Khoa học & Tổ quốc). Đây là một chủ đề rất lớn về lịch sử toán học và triết học toán học. Không thể hiểu vấn đề này một cách hời hợt đại khái dựa trên một vài quan sát trong thế giới chật hẹp của cá nhân mình rồi từ đó phát biểu thành những ý kiến chủ quan. Bản thân Hilbert trước khi từ giã cõi đời (1943) vẫn không nhận ra sai lầm của bản thân, mặc dù Định lý Godel đã ra đời trước khi ông mất 12 năm. Điều đó có nghĩa là để nhận thức đúng bản chất của toán học, giỏi toán không đủ, mà phải có một cái nhìn triết học toán học sâu sắc, thông qua việc nắm vững lịch sử toán học.

Nói một cách dễ hiểu, nếu bạn không biết gì về Hilbert, Frege, Russell, Poincaré, Godel, Bourbaki, Toán học Mới,… bạn sẽ không thể hiểu rõ chủ nghĩa hình thức là gì.

Nếu bạn biết rõ Toán học Mới, biết rõ nó đã truyền bá cái gì, gây rối loạn nền giáo dục Pháp những năm 1960 ra sao, bạn sẽ giật mình nhận ra những cái sai trong nền giáo dục mà bạn đang thực hành, hoặc những người xung quanh bạn đang thực hành. Để kết lời khuyên này, tôi xin nhắc lại một trải nghiệm của GS Phạm Xuân Yêm, nhà vật lý hạt nhân nổi tiếng ở Pháp. Lẽ ra ông theo ngành toán, nhưng trước những bài giảng chán ngấy của môn toán, ông đã bỏ ban toán để chuyển sang vật lý. Toán học là ngôn ngữ nền tảng của vật lý, tại sao ông lại chán nó? Đơn giản vì đó không phải là thứ toán học ông muốn. Đó là thứ toán học của chủ nghĩa hình thức, thứ toán học trên mây trên gió, toán học lý thuyết suông, toán học mà Einstein đã từng phải thốt lên rằng “Tôi không tin vào toán học”. Để tìm hiểu cái toán học mà Einstein cũng chán ngấy ấy, bạn có thể đọc kỹ tất cả những bài báo về giáo dục và toán học trên PVHg’s Home, đặc biệt hãy nghiên cứu Định lý Bất toàn. Chừng nào hiểu ý nghĩa của Định lý Bất toàn, chừng ấy bạn sẽ hiểu chủ nghĩa hình thức chỉ là một giấc mơ hão huyền.

Đối với một người theo chủ nghĩa hình thức thì số ảo i đơn giản chỉ là một số sao cho i  bình phương bằng –1. Định nghĩa về i như thế là đủ. Nhưng với một nhà toán học có đầu óc thực tiễn thì i còn là một cái gì đó rất thực tế: i  tương ứng với một phép quay vector trong mặt phẳng phức một góc vuông theo chiều ngược kim đồng hồ. Nói cách khác, i  có ý nghĩa vật lý cụ thể.

Hình bên: Phép nhân một vector trong mặt phẳng phức với i  tương ứng với một phép quay vector đó một góc vuông theo chiều ngược kim đồng hồ.

Đối với một người theo chủ nghĩa hình thức thì vector zero có phương chiều tùy ý, vì vector zero bằng zero nhân với vector bất kỳ, và như thế cũng là đủ. Nhưng với một nhà toán học có đầu óc thực tiễn thì vector zero chính là điểm ban đầu của vũ trụ, sau Big Bang nó nở thành một vector có chiều tùy ý trong không gian.

Đó là lý do vì sao tư tưởng thực tiễn bao giờ cũng sinh động, gợi cảm, hấp dẫn và dễ hiểu đối với người học. Ngược lại, chủ nghĩa hình thức là một thứ ngôn ngữ chết. Tất nhiên, ngôn ngữ hình thức được ứng dụng rất tốt cho khoa học computer, nhưng trẻ em không phải là computer, thậm chí toán học cũng không phải là computer. Ngôn ngữ computer chỉ là một phần của toán học, thay vì của toàn bộ toán học. Sai lầm chết người của chủ nghĩa hình thức là đánh đồng ngôn ngữ hình thức với toán học. Xét cho cùng, toán học là một dạng nhận thức của CON NGƯỜI, nó phải mang TÍNH NGƯỜI, và do đó nó phải sinh động, gắn với thực tế cuộc sống. Cuộc sống là nguồn kích thích toán học sáng tạo, thay vì đống ngôn ngữ chết làm việc đó. Ngôn ngữ hình thức chỉ là một trong những công cụ mà con người cần dùng. Con người có rất nhiều công cụ khác nhau. Một người thông minh phải biết dùng công cụ nào vào lúc nào. Sự lạm dụng công cụ hình thức rốt cuộc chỉ nói lên sự ấu trĩ về nhận thức. Sự ấu trĩ đó từng dẫn tới thảm họa giáo dục. Câu chuyện “Tuổi của vị thuyền trưởng” thiết tưởng là quá đủ để nói về thảm họa đó.

“Tuổi của vị thuyền trưởng” (L’âge du Capitaine) là tên một cuốn sách rất hay của Stella Baruk, một tài liệu kinh điển về sư phạm, rất bổ ích đối với học trò, thầy cô giáo và phụ huynh học sinh. Tựa đề của cuốn sách được lấy từ một bài toán “nổi tiếng” mà Bộ Giáo Dục Pháp đã dùng để điều tra hậu quả của lối dạy toán theo phương pháp hình thức trong chương trình Toán Học Mới những năm 1960. Nội dung bài toán như sau:

Trên một con thuyền, có 26 con cừu và 10 con dê, hỏi tuổi của vị thuyền trưởng là bao nhiêu.

Kết quả: 76 trong số 97 học sinh được hỏi đều trả lời: 36 (!).

Chuyện nghe như tiếu lâm, nhưng than ôi, đó là một sự thật trong nền giáo dục Pháp những năm 1960, một sự thật cười ra nước mắt, một cái tát vào mặt CNHT – học sinh đã hồn nhiên làm phép toán 26 + 10 = 36, không cần biết ý nghĩa vật chất cụ thể của các con số, đúng như các em đã được dạy.

Stella Baruk chứng minh không mệt mỏi rằng chân lý của giáo dục nằm ở học trò: Học trò hiểu bài và thích học là biểu hiện của một nền giáo dục đúng; Học trò rối trí và sợ học là biểu hiện của một phương pháp giáo dục sai lầm.

Vậy cớ gì lại khuyên học trò viết 2 + 3 = 5 và không nên viết 2m + 3m = 5m. Cớ gì lại bắt học trò phải hiểu “số 2 là gì” theo tinh thần của GSX? Nếu nhân loại có 7 tỷ người thì bao nhiêu người cần hiểu “số 2 là gì” theo kiểu trừu tượng “siêu-nhận-biết”? Bao nhiêu người cần hiểu ý nghĩa thực tế của các con số?

Những người hiểu rõ lịch sử toán học sẽ thừa biết khái niệm “số 2 là gì” của GSX thực ra chỉ là sự sùng bái và lặp lại định nghĩa về số của Gottlob Frege mà thôi (số 2 là tập hợp các tập hợp chứa 2 phần tử). Nhưng dường như GSX không biết Gottlob Frege đã thú nhận sai lầm, đã từ bỏ chủ nghĩa hình thức mà ông theo đuổi, và đã trở về với chủ nghĩa hiện thực với tuyên bố “Toàn bộ toán học thực ra là hình học”. Những ai muốn biết rõ sự thật này, xin đọc cuốn “What is Mathematics, Really?” (Thực ra toán học là gì?) của Reuben Hersh.

Trở lại với Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa

Chúng ta đã biết chủ nghĩa hình thức trong toán học không đếm xỉa đến ý nghĩa vật lý của các con số. Trào lưu Toán học Mới dạy học trò đừng quan tâm tới đơn vị đo khi trình bày các phép toán. Và chúng ta cũng đã biết các nhà khoa học ở NASA không chú ý tới đơn vị đo lường trong các chương trình vận hành con tầu vũ trụ, và điều đó đã dẫn tới thảm họa. Vậy tất cả những sự kiện nói trên có liên hệ gì với nhau không? Hay đây chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên? Liệu có nhà khoa học nào của NASA từng chịu ảnh hưởng của Toán học Mới không? Sự kiện Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa xẩy ra năm 1999, vậy phải chăng có nhiều nhà khoa học của NASA từng là học trò trong giai đoạn Toán học Mới ở Pháp hoặc ở Mỹ nên họ có thói quen coi thường hoặc không đếm xỉa đến các đơn vị đo lường? Nhưng khó có thể tin rằng sự nhồi sọ của Toán học Mới đã tạo ra những nhà khoa học của NASA coi thường đơn vị đo lường. Tôi cho rằng chỉ có điên rồ mới sáng tác ra phương pháp dạy học xóa bỏ đơn vị đo lường, dẫu rằng các phép tính trên computer không trình bày đơn vị đo. Nhưng một người không điên rồ chắc chắn phải tỉnh táo để biết rằng những con số mà mình đang thao tác trên computer là USD hay VND. Một kế toán sơ suất chuyện này thì sẽ có ngày phải đối diện với pháp luật. Nhưng trẻ em làm sao biết điều đó.

Hình bên: Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa năm 1999. Khó có thể tin NASA đã không quan tâm tới hệ đơn vị đo lường trong các chương trình sản xuất và điều khiển chuyến bay để dẫn tới thảm họa. Vô tình điều này phù hợp với cách dạy học của Toán học Mới không đếm xỉa đến đơn vị đo lường khi trình bày các phép toán.

Chúng ta dạy các em thế nào, các em sẽ tin thế ấy. Trẻ em sẽ không bận tâm tới câu hỏi “số 2 là gì”. Nói như William Shakespeare rằng “Mừng như chú bé được rời sách vở”. Chúng ta bảo các em đừng ghi đơn vị đo thì các em sẽ mừng, vì đỡ phải phiền phức lo lắng về đơn vị đo lường. Nhưng điều đó dẫn tới thảm họa “Tuổi của vị thuyền trưởng” – thảm họa về nhận thức. So với thảm họa Trạm Quỹ đạo Sao Hỏa, thảm họa nào lớn hơn?

Tôi không biết, nhưng tôi biết trong hai thảm họa đó, có một thảm họa đo được bằng thiệt hại tiền bạc hoặc tính mạng con người, còn thảm họa kia không đo được mức độ thiệt hại, nhưng chính vì thế nó mới đáng sợ, vì người ta không thấy rõ thảm họa do nó gây ra!

PVHg, 17/10/2015

CHÚ THÍCH:
[1] Sao Hỏa có bầu khí quyển chứa khoảng 95.3% dioxide carbon (CO2) và 2.7% nitrogen, phần còn lại là một hỗn hợp các loại khí gas khác. Tuy nhiên, đó là lớp khí quyển rất mỏng, chỉ bằng khoảng 1/100 độ đặc của khí quyển trái đất.

Tài liệu tham khảo:
NASA’s metric confusion caused Mars orbiter loss http://edition.cnn.com/TECH/space/9909/30/mars.metric/
Nov. 10, 1999: Metric Math Mistake Muffed Mars Meteorology Mission http://www.wired.com/2010/11/1110mars-climate-observer-report/
Science Myth or Truth? Can you tell? By The Doc http://www.famousscientists.org/science-myth-or-truth-can-you-tell/
MARS CLIMATE ORBITER FAILURE BOARD RELEASES REPORT, NUMEROUS NASA ACTIONS UNDERWAY IN RESPONSE https://mars.jpl.nasa.gov/msp98/news/mco991110.html