Unprovable Truths / Chân lý bất khả chứng

Scientists want to explain everything, but Gödel’s Theorem forces them to recognize that “To explain everything is impossible!”. That is a world-view revolution which changes once and for all our perception of the nature of science and of the perception itself…

Các nhà khoa học muốn chứng minh mọi thứ, nhưng Định lý Gödel buộc họ phải nhận ra rằng “Không thể giải thích mọi thứ được!”. Đó là một cuộc cách mạng về thế giới quan làm thay đổi một lần cho mãi mãi nhận thức của chúng ta về bản chất của khoa học và về chính bản thân sự nhận thức…

Vâng, chính Kurt Gödel đã tóm gọn ý nghĩa Định lý Bất toàn của mình bằng một tuyên bố dứt khoát, rành mạch, rằng “Không thể giải thích mọi thứ được!”. Đến hôm nay những ai còn cho rằng khoa học sẽ có thể lần lượt khám phá ra mọi sự thật thì chắc chắn những người ấy rất ngây thơ, hoặc kém hiểu biết, hoặc không biết gì về Định lý Gödel.

Một số người lý luận rằng Định lý Gödel chỉ áp dụng cho những hệ logic hình thức, chứ không thể áp dụng rộng rãi cho khoa học và nhận thức nói chung. Đây là một kiểu lý luận “hủ nho, dò từng câu đếm từng chữ”, biểu hiện tâm lý sợ hãi trước tính chất “phê phán”[1] của Định lý Gödel đối với toán học nói riêng và nhận thức duy lý nói chung. Tâm lý này bắt nguồn từ hai lý do:

Một, chủ nghĩa “tôn thờ khoa học” (scientism) không muốn chấp nhận bất cứ ý kiến nào chỉ ra chỗ yếu của khoa học. Họ bỏ ngoài tai ngay cả lời khuyên của nhà khoa học bậc nhất như Albert Einstein, rằng “Hãy chú ý đừng tôn tri thức lên thành chúa; tất nhiên nó có sức mạnh cơ bắp, nhưng phi nhân tính” (We should take care not to make the intellect our god; it has, of course, powerful muscles, but no personality)[2].

Hai, tư duy ngây thơ chỉ quen đóng khung, không biết quy nạp. Thật vậy, nếu toán học (hệ logic mạnh nhất) mà bất toàn thì suy ra mọi hệ thống nhận thức khác (yếu hơn về logic) càng bất toàn!

Vì thế Định lý Gödel đã dội một gáo nước lạnh lên đống lửa đang cháy hừng hực trong tâm can các nhà toán học đầu thế kỷ 20 – ngọn lửa khao khát muốn giải thích mọi bí mật của thế giới, biểu lộ mạnh mẽ trong tuyên bố của David Hilbert: “Chúng ta phải biết; chúng ta sẽ biết!”.

Gáo nước lạnh ấy buộc các nhà toán học phải trấn tĩnh lại, vắt tay lên trán để suy ngẫm xem thực ra toán học là cái gì, khả năng nhận thức duy lý có thể với tới đâu,… Đây là giai đoạn biến động đầy kịch tính trong lịch sử toán học nửa đầu thế kỷ 20. Thiếu hiểu biết về lịch sử toán học trong giai đoạn này sẽ khó có thể có một nhận thức đúng đắn về bản chất của toán học nói riêng, và do đó khó có thể có một thế giới quan khoa học đúng đắn.

Để giải thích bối cảnh lịch sử ra đời của Định lý Gödel và tư tưởng cơ bản của nó, tạp chí SCIENCE ngày 06/12/2002 đã công bố bài báo “Kurt Gödel – Separating Truths From Provability[3] của Keith Devlin, Giám đốc điều hành Trung tâm nghiên cứu ngôn ngữ và thông tin của Đại học Stanford, Mỹ, đồng thời là Giáo sư tư vấn toán học tại đại học này. Bản dịch tiếng Việt dưới tiêu đề “Kurt Gödel – Phân biệt Chân lý với Khả năng chứng minh[4] cũng đã được công bố trên PVHg’s Home ngày 10/01/2019. Một người yêu khoa học và triết học nhất thiết nên đọc bài báo này, vì tạp chí SCIENCE là tạp chí có uy tín khoa học bậc nhất, những bài báo đăng trên đó có độ tin cậy khoa học bậc nhất.

1/ Tóm lược bài báo của Keith Devlin trên SCIENCE

1.1 – Định lý Bất toàn của Gödel, công bố năm 1931, buộc các nhà toán học phải nhìn nhận lại bản chất của toán học.

1.2 – Giống như cuộc cách mạng về hình học phi Euclid, Định lý Gödel buộc các nhà toán học phải xem xét lại nền tảng của toán học: Hệ tiên đề (Axioms) và phương pháp tiên đề (Axiomatic).

1.3 – Đầu thế kỷ 20, các nhà toán học theo trường phái Hilbert (chiếm đa số), có tham vọng tìm ra một hệ tiên đề đầy đủ cho phép chứng minh mọi sự thật của toán học.

1.4 – Nhưng Định lý Gödel ra đời năm 1931 bác bỏ tham vọng của trường phái Hilbert. Định lý này chứng minh rằng không tồn tại một hệ tiên đề đầy đủ của toán học – Tồn tại những chân lý toán học bất khả quyết định (undecidable), tức là không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ.

1.5 – Kinh nghiệm toán học thế kỷ 19 (tiên đề đường song song của Euclid, tính liên tục của tập số thực,…) làm cho các nhà toán học thấy trực giác toán học có thể có những sai lầm, và do đó cần thiết phải có một hệ thống suy luận logic tuyệt đối chặt chẽ và chính xác, nhằm loại trừ sai lầm có thể có của trực giác. Đó là lý do ra đời chủ nghĩa hình thức (formalism) – chủ nghĩa chủ trương loại bỏ mọi trực giác vật chất cụ thể ra khỏi toán học, biến toán học thành một tập hợp các suy diễn logic thuần tuý, tuyệt đối tách rời thế giới hiện thực. Chủ nghĩa này cho rằng về nguyên tắc, có thể chế tạo ra các thiết bị máy móc để thực hiện các phép toán logic hình thức một cách khách quan, không phụ thuộc vào trực giác của con người.

1.6 – Hệ 5 tiên đề của Hình học Euclid không đầy đủ. Đó là lý do ra đời Hệ tiên đề Hilbert, với hy vọng xây dựng một hệ tiên đề đầy đủ cho hình học.

1.7 – Việc xây dựng hệ thống toán học theo đường lối của chủ nghĩa hình thức được gọi là Chương trình Hilbert.

1.8 – Tác phẩm tiêu biểu của chủ nghĩa hình thức là cuốn Principia Mathematica của Bertrand Russell và Alfred Whitehead.

1.9 – Gödel đã lấy chính hệ tiên đề trong Principia Mathematica để chứng minh rằng mục tiêu của Chương trình Hilbert là không thể đạt được.

1.10 – Mệnh đề “I am a Liar” (Tôi là kẻ nói dối) là một mệnh đề tự quy chiếu tiêu biểu. Mọi mệnh đề tự quy chiếu đều dẫn tới mâu thuẫn nghịch lý. Gödel tạo ra một mệnh đề tự quy chiếu tương tự: “Mệnh đề này không thể chứng minh được”.

1.11 – Bằng một kỹ thuật tài tình, được gọi là quy trình “đánh số Gödel” (Gödel numbering), tức một phương pháp mã hoá ngôn ngữ thông thường thành các chuỗi số, Gödel đã biến mệnh đề tự quy chiếu do ông sáng tạo thành một mệnh đề số học. Vì bản chất mệnh đề ấy là tự quy chiếu và dẫn tới nghịch lý, Gödel đã chỉ ra sự tồn tại của một mệnh đề số học hoặc mâu thuẫn, hoặc không thể chứng minh được.

1.12 – Kết luận: Định lý Gödel buộc chúng ta thừa nhận rằng toán học là bất toàn, thay vì đó là một hệ logic tuyệt đối chính xác và hoàn hảo như nhiều người vẫn tưởng. Đây là một cuộc cách mạng chưa từng có trong nhận thức về bản chất của toán học nói riêng và của sự nhận thức nói chung.  

2/ Bình luận bài báo của Keith Devlin trên SCIENCE 

2.1 – Thực sự tồn tại những chân lý không thể chứng minh  

  • Năm 1878, nhà toán học Đức Georg Cantor nêu lên “Giả thuyết Continuum” (Continuum Hypothesis): Không tồn tại một tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập số tự nhiên và nhỏ hơn lực lượng của tập số thực.

Giả thuyết Continuum đã trở thành Bài toán số 1 trong 23 bài toán thách đố thế kỷ 20, do David Hilbert nêu lên trong Hội nghị Toán học Thế giới tại Paris năm 1900.

Năm 1938, Gödel chứng minh rằng Giả thuyết Continuum không thể bác bỏ được.

Năm 1963, Cohen, học trò của Gödel, chứng minh rằng Giả thuyết Continuum không thể chứng minh được.

Tóm lại, Giả thuyết Continuum là một bài toán bất khả quyết định (undecidable problem), một bằng chứng điển hình cho thấy trong toán học có những sự thật không thể chứng minh, đúng như Định lý Gödel đã khẳng định.

  • Năm 1742, nhà toán học Phổ Christian Goldbach gửi thư cho nhà toán học Thuỵ sĩ Leonard Euler, trong đó nêu lên một giả thuyết, sau này được gọi là “Giả thuyết Goldbach”: Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.

Ngày nay, với computer mạnh nhất, người ta thấy Giả thuyết Goldbach đúng với mọi số chẵn bằng hoặc nhỏ hơn 400.000.000.000.000, nhưng không ai tìm ra cách chứng minh giả thuyết đó trong trường hợp tổng quát. Điều này làm cho rất nhiều nhà khoa học cho rằng Giả thuyết Goldbach có thể là một chân lý toán học không thể chứng minh.

  • Mọi số nguyên dương đều có thể phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố, nhưng không ai có thể chứng minh điều khẳng định này trong trường hợp tổng quát.
  • Năm 1936, khi chưa có computer, nhà toán học Anh Alan Turing đã phác thảo sơ đồ của một chiếc máy tự động tính toán theo chương trình (tức là computer sau này), từ đó nêu lên “Sự cố Dừng” (The Halting Problem): Không thể đoán trước một chương trình computer sẽ bị dừng hay chạy mãi mãi. Mãi tới cuối thế kỷ 20, khi khoa học computer thực sự bùng nổ, nhân loại mới vỡ nhẽ ra rằng Sự cố Dừng chính là một biểu hiện cụ thể của Định lý Bất toàn trong khoa học tính toán. Nó cho thấy trong computer − một hệ logic điển hình − có những cái không thể biết được (unknowable). Sau này, Greg Chaitin, nhà toán học thuộc Viện Watson của tổ hợp IBM, gọi xác suất để một chương trình computer bị dừng là Omega (Ω), lập tức suy ra rằng Omega là một số thực (một số có thật), vì chương trình có thể dừng hoặc không dừng, nhưng không thể tính được (uncomputable). Nếu Omega có thể tính được thì điều đó đồng nghĩa với việc có thể xác định được khả năng một chương trình có dừng hay không, điều đó trái với “Sự cố Dừng” đã được Turing chứng minh. Đây là lần đầu tiên trong toán học xuất hiện một số thực không thể tính được. Công trình của Chaitin cho thấy trong toán học cái ta biết chỉ lác đác như những hòn đảo, cái ta không biết như đại dương.
  • Bản thân Gödel cũng nói: “Hoặc toán học quá rộng đối với trí óc con người, hoặc trí óc con người quá rộng so với một chiếc máy” (Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine)[5]

2.2 – Nỗ lực tìm kiếm một hệ tiên đề đầy đủ cho toán học thất bại

  • Trong mục 1.6 ở trên, chúng ta đã biết Hệ tiên đề của Euclid là không đầy đủ, và David Hilbert muốn xây dựng một hệ tiên đề đầy đủ cho hình học. Đã có một thời, sách báo tuyên truyền rùm beng rằng Hệ tiên đề Hilbert là một hệ tiên đề mẫu mực của phương pháp tiên đề. Nhưng thực tế không phải như vậy. Để biết sự thật, xin đọc bài báo “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?”[6] trên tạp chí Tia Sáng Tháng 08/2002. Trong đó độc giả sẽ thấy người ta đã thổi phồng giá trị của Hệ tiên đề Hilbert như thế nào, và điều này thể hiện sự thiếu hiểu biết về Định lý Gödel như thế nào.

Thật vậy, theo Hilbert một hệ tiên đề được coi là hoàn hảo phải thoả mãn 3 điều kiện:

– Độc lập (independent): không có tiên đề nào là hệ quả của một tiên đề khác trong hệ tiên đề. 

– Nhất quán (consistent): nhất quán, các tiên đề trong hệ tiên đề không mâu thuẫn với nhau.

– Đầy đủ (complete): cho phép chứng minh mọi sự kiện trong lý thuyết dựa trên hệ tiên đề đó.

Thực tế, trong công trình mang tên “Cơ sở của Hình học” (Grundlagen der Geometry), xuất bản lần đầu tiên năm 1899, Hilbert chỉ chứng minh được 2 điều kiện đầu tiên, không có một chứng minh nào về tính đầy đủ của hệ tiên đề. Tại sao vậy? Đơn giản vì không thể chứng minh được tính đầy đủ. Sự kiện hình học là vô hạn, hệ tiên đề là hữu hạn. Làm thế nào để lấy cái hữu hạn chứng minh cái vô hạn? Điều này là bất khả cả về mặt logic lẫn mặt triết học!

  • Năm 1900, tại Hội nghị toán học quốc tế tại Paris, Hilbert nêu lên 23 bài toán thách thức thế kỷ 20, trong đó Bài toán số 2 là “Thiết lập một hệ tiên đề đầy đủ cho Số học”. Nhưng Định lý Gödel năm 1931 chỉ ra rằng Bài toán số 2 là bất khả thi, như bái báo trên SCIENCE đã nói (mục 1.4).

Tóm lại, thực tiễn toán học thế kỷ 20 cho thấy Định lý Gödel hoàn toàn đúng: Không tồn tại một hệ tiên đề nào là đầy đủ! Đó chính là bản chất bất toàn của toán học nói riêng và khoa học duy lý nói chung.

2.3 – Vai trò của logic

Việc cảnh giác với sai lầm của trực giác là cần thiết, nhưng từ đó đi đến chỗ đồng nhất toán học với logic hình thức là hoàn toàn sai lầm. Logic hình thức là ngôn ngữ thích hợp với khoa học computer nhưng không phải là toàn bộ toán học. Nó chỉ là một bộ phận của toán học. Logic hình thức cũng chỉ cần thiết với những nhà khoa học chuyên ngành logic toán hoặc khoa học computer, thay vì là một ngôn ngữ thích hợp với con người nói chung. Vì thế, việc đề cao logic hình thức đến mức cố gắng nhồi sọ học sinh ở nhà trường sao cho mọi học sinh phải trình bày lập luận toán học theo tinh thần logic hình thức là một biểu hiện dốt nát về tâm lý học. Sự dốt nát này xuất phát từ sự thiếu hiểu biết về bản chất của toán học, không hiểu gì về Định lý Gödel.

Trong cuốn “What is Mathematics, Really?” (Thực ra Toán học là gì?”, một cuốn sách đoạt Giải sách phổ biến khoa học hay nhất năm 1998, Reuben Hersh nêu câu hỏi: “Logic là gì?”. Rồi ông trả lời: “Kinh nghiêm thực tế hàng ngày và những nghiên cứu tỉ mỉ của các nhà tâm lý học cho thấy tư duy của chúng ta phần lớn là phi logic. Vậy logic là gì? Logic là tư duy của computer! Logic cũng có thể là tư duy của con người khi con người tự biến mình thành những robots!”.

Bài báo của Keith Devlin trên Science 06/12/2002 viết: “Về nguyên tắc, có thể thiết kế các thiết bị cơ khí, trong đó, tất nhiên, không có trực giác nào xen vào trong khi tuân thủ các quy tắc và rút ra tất cả các chân lý”. Có nghĩa là theo chủ nghĩa hình thức của Hilbert thì tư duy toán học có thể cơ khí hoá toàn bộ, không có chỗ cho trực giác xen vào. Ngay cả việc thiết lập hệ tiên đề, thiết tưởng đó là một công việc được soi dẫn chủ yếu bởi trực giác, nhưng theo Hilbert, người ta cũng có thể kiểm tra tính hoàn hảo của hệ tiên đề đó. Vì uy tín Hilbert quá lớn, bệnh sùng bái Hilbert quá nặng, nên phần lớn các nhà toán học đều tin theo Hilbert. Những người có tư duy độc lập với Hilbert rất hiếm.

Không kể Henri Poincaré là người ngay từ đầu đã chống đối Chương trình Hilbert quyết liệt, một nhà toán học khác cũng sớm tỉnh ngộ để từ bỏ Chương trình Hilbert, đó là John von Neumann. Ông vốn là một trong những trợ thủ đắc lực của Hilbert, nhưng ngay sau khi biết tin Định lý Gödel ra đời, Neumann đã lập tức từ bỏ chủ nghĩa hình thức để quay sang truyền bá Định lý Gödel. Ông tuyên bố:

“Thành tựu của Kurt Gödel trong logic hiện đại là vô cùng độc đáo và kỳ vĩ – thực ra nó còn lớn hơn một tượng đài, đó là một cột mốc có thể nhìn thấy từ xa cả về không gian lẫn thời gian… Với thành tựu của Gödel , chủ đề của logic chắc chắn đã hoàn toàn thay đổi bản chất và các khả năng của nó” (Kurt Gödel’s achievement in modern logic is singular and monumental – indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time. … The subject of logic has certainly completely changed its nature and possibilities with Gödel’s achievement)[7].

Thật trớ trêu, Neumann còn thề rằng ông sẽ vĩnh viễn từ bỏ logic, và rằng từ nay trở đi ông không còn gì để làm với logic nữa. Nhưng định mệnh thật oái ăm: Tại Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, người ta lại giao cho ông việc thiết kế những chiếc máy tính điện tử đầu tiên, ENIAC và EDVAC[8]. Chính tại đây, Neumann trở lại với các mạch logic…

Câu chuyện về Neumann dạy chúng ta điều gì?

Nó dạy rằng logic là ngôn ngữ rất cần thiết cho… computers và robots, hoặc trí thông minh nhân tạo,… nhưng không phải là ngôn ngữ của con người bằng xương bằng thịt.

Roger Penrose, nhà toán học lừng danh đồng tác giả khám phá ra lỗ đen (với Stephen Hawking), từng nhắc nhở: “Tư duy của con người không phải là một chiếc computer bằng máu-thịt”. (The human mind is not a flesh-and-blood computer)[9].

Nếu logic, và đặc biệt logic hình thức, là tư duy của con người, thì nó chỉ là một bộ phận của tư duy của con người. Theo khoa học thần kinh, bộ phận này được quản lý bởi não trái.

Thậm chí Douglas Hofstadter, Giáo sư về khoa học nhận thức tại Đại học Stanford, tác giả cuốn sách nổi tiếng đoạt Giải Pulitzer năm 1980 “Gödel , Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”, không coi tư duy tính toán là phần tư duy chủ yếu của con người. Theo ông:

“Khi một hoạt động trí não nào đó đã được chương trình hoá thì người ta sẽ mau chóng ngừng coi nó như một thành phần chủ yếu của tư duy thực sự”[10].

Việc đồng nhất toán học với logic hình thức, và đồng nhất tư duy của con người với tư duy logic hình thức, là sự ngây thơ ấu trĩ về nhận thức bản chất của toán học và không hiểu bản chất người của con người.

Từ Định lý Gödel có thể suy ra những hệ quả triết học về nhận thức để thấy rằng toán học rộng hơn rất nhiều so với logic hình thức (nhiều bài toán không thể giải bằng computer) và tư duy của con người rộng hơn rất nhiều so với máy móc!

2.4 – Vai trò của trực giác

Càng thấy rõ sự khiếm khuyết của logic hình thức bao nhiêu sẽ càng thấy rõ vai trò của trực giác bấy nhiêu. Trực giác là ngọn đèn pha giúp chúng ta soi rọi sự thật, đánh hơi chân lý. Logic là chỉ là công cụ kiểm tra và củng cố những niềm tin do trực giác nhận thấy.

Những nhà khoa học và triết học giỏi nhất, vĩ đại nhất đều coi trọng trực giác, xem trực giác là yếu tố quyết định khám phá ra sự thật.

  • Blaise Pascal: “Đầu óc đần độn không bao giờ có trực giác hoặc toán học” (Dull minds are never either intuitive or mathematical)[11].
  • Immanuel Kant: “Mọi tri thức của con người đều bắt đầu bằng trực giác, tiến từ khái niệm này đến khái niệm khác, và kết thúc bằng các ý tưởng” (All human knowledge begins with intuitions, proceeds from thence to concepts, and ends with ideas)[12].
  • Albert Einstein: “Cái duy nhất có giá trị là trực giác” (The only valuable thing is intuition)[13].
  • Einstein còn nói rõ: “Không có con đường logic để đi tới khám phá ra những định luật cơ bản này. Chỉ có con đường của trực giác, được hỗ trợ bởi cảm xúc đối với một trật tự ẩn sau cái vỏ bề ngoài” (There is no logical way to the discovery of these elemental laws. There is only the way of intuition, which is helped by a feeling for the order lying behind the appearance)[14].

Còn David Hilbert thì sao? Ông nghĩ gì về vai trò của trực giác?

Bài báo của Devlin trên Science 06/12/2002 viết: “Đối với nhiều người, việc tìm kiếm các tiên đề đã trở thành một cuộc tìm kiếm Chiếc Chén Thánh của toán học, mặc dù Hilbert, người vốn rất tôn trọng vai trò của trực giác trong thực hành toán học, không nằm trong số họ…”.

Phải nói ngay rằng nhận xét trên của Devlin hoàn toàn SAI. Bản thân việc Hilbert và chủ nghĩa hình thức coi toán học là một hệ logic hình thức thuần tuý tách rời hiện thực đã là một cách loại bỏ vai trò của trực giác trong toán học! Thậm chí, theo Hilbert, về nguyên tác, chuỗi suy diễn logic hình thức có thể cơ giới hoá – có thể chế tạo ra một chiếc máy tự động khám phá và chứng minh các định lý toán học (!)… Vì thế nhận xét của Devlin trái với lập luận của chính ông về chủ nghĩa hình thức của Hilbert. Vả lại, chúng ta có những bằng chứng không thể chối cãi rằng Hilbert phủ nhận vai trò của trực giác.

Thật vậy, năm 1934, dường như không hiểu hoặc không muốn hiểu Định lý Gödel, Hilbert vẫn công bố tác phẩm “Die Grundlagen der Mathematik” (Cơ sở của Toán học), trong đó ông dõng dạc tuyên bố:

Toán học là một khoa học không có cái gì là tiền giả định. Để khám phá ra nó, tôi không cần đến Chúa như Kronecker, không cần giả định về một năng lực đặc biệt… như Poincaré, không cần trực giác bẩm sinh như Brower…” (Mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker, or the assumption of a special faculty of our understanding attuned to the principle of mathematical induction, as does Poincaré, or the primal intuition of Brouwer,…)[15].

Tóm lại với Hilbert, toán học xét cho cùng, là một cỗ máy logic hình thức, tuân thủ những nguyên tắc xác định, và do đó sớm hay muộn, nhân loại sẽ tìm ra cỗ máy đó. Khi ấy, cỗ máy sẽ tự động khám phá ra mọi chân lý toán học, chứng minh hoặc phủ nhận bất kỳ một mệnh đề toán học nào. Loài người sẽ không còn phải mệt óc suy nghĩ nữa. Trực giác là không cần thiết! Vì không có cái gì là tiền giả định cả, hệ tiên đề cũng có thể kiểm tra xem nó có hoàn hảo hay không…

Một số người, có lẽ bao gồm cả tác giả bài báo trên SCIENCE 06/12/2002, hoặc mắc bệnh sùng bái Hilbert, hoặc thiếu thông tin, nên đã nhận định sai lầm rằng Hilbert tôn trọng trực giác.

Nếu phải bênh vực cho Hilbert, tôi sẽ không bênh vực những gì ông sai. Tôi sẽ ca ngợi công lao của ông như cách Greg Chaitin đã ca ngợi, rằng Hilbert tuy thất bại, nhưng đó là “một thất bại vinh quang” (a glory failure)! Tại sao? Vì Hilbert là người xới lên Bài toán Quyết định (Decision Problem) − “liệu có thể có một lý thuyết toán học nào cho phép quyết định dứt khoát bất kỳ một mệnh đề toán học nào là đúng hay sai không?”. Nói cách khác, Hilbert đã mở một cánh cổng nhìn ra một thế giới mới, kêu gọi mọi người nhìn vào đó để khám phá sự thật!

Năm 1931, Gödel đã trả lời “KHÔNG!” đối với Bài toán Quyết đinh.

Trong khi đó, Hilbert và chủ nghĩa hình thức tiếp tục nghĩ rằng CÓ. Đó chính là “Chiếc Chén Thánh Toán học” (The Holy Grail of Mathematics) mà họ ra sức đi tìm!

Đáng tiếc là cho tới khi rời bỏ thế giới về cõi vĩnh hằng (1943), Hilbert đã không bao giờ thừa nhận Định lý Gödel. Vì thế một phần lớn các nhà toán học đã theo đuôi Hilbert, để mãi cho tới cuối thế kỷ 20, Định lý Gödel mới được tái khám phá, khi những sự kiện trong khoa học computer trở thành bằng chứng không thể chối cãi của định lý này.

3/ Thay lời Kết

Quả thật, khó có thể tin rằng David Hilbert, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20, lại có thể tuyên bố một cách sai lầm rằng: “Toán học là một khoa học không có cái gì là tiền giả định” (Mathematics is a presuppositionless science). “Tiền giả định” là cái gì nếu không phải là tiên đề? Vậy toán học có thể không cần có các tiên đề hay sao?

Ngược lại, trong một bài báo rất hay nhan đề “Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá toán học số 1 trong thế kỷ 20”, Perry Marshall kết luận rất chính xác: “Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn không thể chứng minh”[16].

Thực ra ngay từ thế kỷ 17, Blaise Pascal, nhà toán học và triết học vĩ đại người Pháp, đã thảo luận rất kỹ về vai trò nền tảng của các tiên đề trong toán học, từ đó suy ra tính chất hạn chế bất khả kháng của toán học nói riêng và tư duy duy lý nói chung. Thật vậy, trong tác phẩm triết học toán học “De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader” (Về tinh thần hình học và Nghệ thuật thuyết phục), xuất bản năm 1658, Pascal nhấn mạnh:

  • “Tất cả những chân lý này (tức những tiên đề, ND) không thể chứng minh được; ấy thế mà chúng lại là nền tảng và nguyên lý của Hình học” (Toutes ces vérités ne se peuvent démontrer, et cependant ce sont les fondements et les principes de la géométrie)[17].
  • “…nếu khoa học này (tức hình học, ND) không xác định và chứng minh được mọi thứ thì lý do đơn giản là vì nó không thể” (…si cette science ne définit pas et ne démontre pas toutes choses, c’est par cette seule raison que cela nous est impossible)[18].
  • “Nếu nền tảng không đảm bảo vững chắc thì tòa nhà xây trên đó cũng không thể đảm bảo vững chắc” (Si on n’assure le fondement on ne peut assurer l’édifice)[19]

Nhận định về tư tưởng của Pascal, Bách khoa toàn thư New World nhận xét:

  • “Quy trình (suy diễn) được sử dụng trong hình học là hoàn hảo hết mức có thể, với những nguyên lý nhất định được thừa nhận và những mệnh đề khác được phát triển từ đó. Tuy nhiên, không có cách nào để biết những nguyên lý được thừa nhận ấy là đúng” (the procedure used in geometry was as perfect as possible, with certain principles assumed and other propositions developed from them. Nevertheless, there was no way to know the assumed principles to be true).
  • “Nhấn mạnh rằng những nguyên lý đầu tiên này (các tiên đề, ND) chỉ có thể nắm bắt được bằng trực giác, và rằng sự thật này khẳng định sự cần thiết phải nhờ cậy đến Chúa trong việc khám phá chân lý” (He asserted that these principles can be grasped only through intuition, and that this fact underscored the necessity for submission to God in searching out truths)[20].

Qua đó có thể thấy Pascal đã nhìn thấy trước tất cả những gì mà 300 năm sau, Định lý Bất toàn của Gödel tuyên bố.

Tuy nhiên, nếu không có Định lý Gödel với chứng minh toán học chặt chẽ không thể tranh cãi, có lẽ các nhà toán học đến hôm nay vẫn đang trong cơn mê, để khăng khăng cho rằng toán học nói riêng và khoa học nói chung sẽ có thể chứng minh tất cả mọi sự thật, và sẽ lần lượt khám phá ra mọi sự thật, vấn đề chỉ là thời gian…

Nhưng Gödel đã chấm dứt cơn mê đó!

Cám ơn Pascal, cám ơn Gödel, những nhà toán học vĩ đại có tầm nhìn triết học vượt thời gian!

 

Sydney, PVHg, 12/01/2019

CHÚ THÍCH

[1] Chữ “phê phán” ở đây được dùng theo cách nói của GS Phan Đình Diệu, trong bài “Một bài học khó” của ông trong cuốn “Giáo sư Tạ Quang Bửu, cuộc đời và sự nghiệp”, NXB Đại học Quốc gia, 2000.

[2] https://www.goodreads.com/quotes/55712-we-should-take-care-not-to-make-the-intellect-our

[3] http://science.sciencemag.org/content/298/5600/1899

[4] https://viethungpham.com/2019/01/10/separating-truths-from-provability-phan-biet-chan-ly-voi-kha-nang-chung-minh/

[5] Wikiquote > Kurt Gödel  https://en.wikiquote.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

[6] https://viethungpham.com/2013/12/16/ve-he%CC%A3-tien-de-hilbert-on-hilberts-set-of-axioms/

[7] https://www.goodreads.com/quotes/7601013-kurt-g-del-s-achievement-in-modern-logic-is-singular-and-monumental

[8] ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN (5): Những “quả trứng vàng” đẻ ra từ … “một thất bại vinh quang” https://viethungpham.com/2010/07/10/d%E1%BB%8Bnh-ly-b%E1%BA%A5t-toan-5-nh%E1%BB%AFng-%E2%80%9Cqu%E1%BA%A3-tr%E1%BB%A9ng-vang%E2%80%9D-d%E1%BA%BB-ra-t%E1%BB%AB-%E2%80%A6-%E2%80%9Cm%E1%BB%99t-th%E1%BA%A5t-b%E1%BA%A1i-vinh-quang/

[9] Kurt Gödel: from loopholes and dictators to the incompleteness theorems February 9, 2017 http://theconversation.com/kurt-godel-from-loopholes-and-dictators-to-the-incompleteness-theorems-72376

[10] “Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”, Douglas Hofstadter, Pulitzer Prize 1980 https://viethungpham.com/2011/06/07/dau-la-b%E1%BA%A3n-ch%E1%BA%A5t-dich-th%E1%BB%B1c-c%E1%BB%A7a-con-ng%C6%B0%E1%BB%9Di-1/

[11] https://www.goodreads.com/quotes/68914-dull-minds-are-never-either-intuitive-or-mathematical

[12] https://todayinsci.com/QuotationsCategories/I_Cat/Intuition-Quotations.htm

[13] https://www.brainyquote.com/topics/intuition

[14] https://www.brainyquote.com/topics/intuition

[15] David Hilbert, Die Grundlagen der Mathematik http://www.celebatheists.com/wiki/David_Hilbert

[16] https://viethungpham.com/2018/06/11/the-most-interesting-lecture-of-godels-theorem-bai-giang-hay-nhat-ve-dinh-ly-godel/

[17] Pascal, De l’Esprit Géométrique https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/pascal/de_lesprit_geometrique.pdf

[18] Pensées de Pascal http://www.penseesdepascal.fr/Soumission/Soumission4-approfondir.php

[19] Les Pensées de Blaise Pascal http://www.penseesdepascal.fr/Fondement/Fondement-suite.php

[20] http://www.newworldencyclopedia.org/entry/Blaise_Pascal

Advertisements

3 thoughts on “Unprovable Truths / Chân lý bất khả chứng

  1. Pingback: Share – Unprovable Truths / Chân lý bất khả chứng — PhamVietHung’s Home – Nguyen Phi Long

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s