Separating Truths From Provability / Phân biệt chân lý với khả năng chứng minh

Our intuition tells us that there are many facts that are true but unprovable. However, many people do not want to accept this, until Gödel’s Incompleteness Theorem forces them to accept. An article in Science magazine 06/12/2002, titled “Kurt Gödel – Separating Truths from Provability”, would explain why in mathematics the world of truths is larger than the one of provability…

Trực giác mách bảo chúng ta rằng có nhiều sự thật đúng nhưng không thể chứng minh. Tuy nhiên, nhiều người không muốn chấp nhận điều này, đến khi Định lý Bất toàn của Gödel buộc họ phải chấp nhận. Một bài báo trên tạp chí Science 06/12/2002 nhan đề “Kurt Gödel – Phân biệt Chân lý với Khả năng Chứng minh” sẽ giải thích tại sao trong toán học, thế giới chân lý rộng lớn hơn thế giới khả chứng …

Giới thiệu của người dịch

Tạp chí Science là một trong những tạp chí khoa học uy tín nhất. Bài đăng trên tạp chí này có chất lượng khoa học và độ tin cậy ở tầm cao nhất.

Bài báo “Kurt Gödel − Separating Truth from Proof in Mathematics”[1], được công bố ngày 06/12/2002, trên tạp chí Science, Vol. 298, Issue 5600, pp. 1899-1900, DOI: 10.1126/science.1079622.

Tác giả Keith Devlin là Giám đốc điều hành Trung tâm nghiên cứu ngôn ngữ và thông tin của Đại học Stanford ở Mỹ, đồng thời là Giáo sư tư vấn toán học tại đại học này.

Sau đây là bản lược dịch của Phạm Việt Hưng, với chủ trương dịch thoát ý, thay vì “dò từng câu đếm từng chữ”. Những chữ tô đậm là do người dịch nhấn mạnh.

Xin trân trọng giới thiệu cùng độc giả. PVHg

Kurt Gödel – Phân biệt Chân lý với Khả năng Chứng minh trong Toán học

Tác giả: Keith Devlin

Người dịch: Phạm Việt Hưng

Năm 1931, một nhà toán học trẻ người Áo đã công bố một bài báo làm choáng váng cộng đồng toán học và buộc các nhà toán học phải có cái nhìn hoàn toàn mới về bản chất của toán học. Nhà toán học đó là Kurt Gödel. Kết quả chứng minh trong công trình của ông được gọi là Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness) của Gödel, hay đơn giản là Định lý Gödel, mặc dù đó không phải là định lý quan trọng duy nhất mà ông đã chứng minh trong suốt sự nghiệp thành công của mình. Ông cũng được xem như một trong những người phát minh ra lý thuyết về các hàm đệ quy[2], tạo nên một phần nền tảng cho khoa học computer.

Gödel sinh ngày 28/04/1906, tại Brünn thuộc Áo, nay là Brno thuộc Cộng hòa Séc. (Khác với Einstein) Gödel là một học sinh xuất sắc trong tất cả các môn ở trường trung học. Tại Đại học Vienna, Gödel là một sinh viên ngôi sao. Tốt nghiệp đại học, Gödel tiếp tục học tập và nghiên cứu tại Đại học Vienna, lấy bằng tiến sĩ ở đó năm 1929, sau đó giành được một vị trí giảng dạy tại đại học này, và chính tại đây ông đã chứng minh Định lý Bất toàn nổi tiếng.

Gödel ở lại Vienna cho đến năm 1940, khi Đức Quốc xã hoành hành ngày càng tồi tệ và ông phải trốn sang Mỹ. Tại đây ông đảm nhận một vị trí Giáo sư tại Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, nơi ông đã đến thăm năm 1934. Ông ở Princeton mãi cho đến khi qua đời ngày 14/01/ 1978. Đó là một cái chết có nhiều dấu hỏi của một nhân vật được coi là nhà logic lỗi lạc nhất thế giới. Mắc chứng hypochondria[3] trong phần lớn cuộc đời trưởng thành của mình, lúc về già, Gödel ngày càng tin rằng mình đang bị đầu độc. Cuối cùng ông đã ngừng ăn hoàn toàn, và chết đói.

Nhưng cái kết thúc rất phi logic của Gödel không hề làm giảm thanh danh của ông. Khi tạp chí Time tiến hành một cuộc thăm dò cách đây 2 năm[4] để xác định những nhà tư tưởng có ảnh hưởng lớn nhất trong thế kỷ 20, Gödel được xem là một trong hai nhà toán học duy nhất lọt vào top 20, cùng với Alan Turing.

Định lý Bất toàn buộc các nhà toán học phải đặt câu hỏi về ý nghĩa của việc tuyên bố một điều gì đó là đúng trong toán học. Sự thay đổi (do Định lý Gödel) gây ra trong hiểu biết của chúng ta về toán học cũng chứa đựng đầy kịch tính như sự thay đổi trong quan niệm của chúng ta về hình học sau khi hình học phi Euclid được khám phá ra trong thế kỷ 19.

Cả hai khám phá lớn này đều liên quan đến vấn đề tiên đề, và cả hai đều không thể được hiểu đúng nếu không đánh giá cao ý nghĩa của cái mà các nhà toán học ngụ ý bởi thuật ngữ “tiên đề” và vai trò của các tiên đề trong toán học. Một sự hiểu lầm về bản chất của các tiên đề chính là nguồn gốc ẩn chứa đằng sau một số lượng đáng kể những điều vô nghĩa đã được viết ra về Định lý Gödel trong những năm qua.

Tóm lại, Định lý Gödel nói rằng trong bất kỳ một hệ thống toán học nào dựa trên một hệ tiên đề đủ phong phú để biểu diễn số học cơ bản, sẽ có một số phát biểu đúng nhưng không thể chứng minh (từ các tiên đề của hệ). Nói theo thuật ngữ kỹ thuật, hệ tiên đề ắt không đầy đủ.

Vào thời điểm Gödel chứng minh định lý này, người ta tin rằng, với đủ nỗ lực, các nhà toán học cuối cùng sẽ có thể tạo ra các hệ tiên đề đầy đủ để chứng minh toàn bộ toán học. Nhưng Định lý Bất toàn đã chống lại kỳ vọng này, và nhiều người đã dùng định lý này để ám chỉ rằng có một giới hạn đối với nhận thức toán học mà chúng ta có thể có. Tuy nhiên, ngày nay ít nhà toán học nghĩ như vậy. Sự thay đổi trong quan niệm của chúng ta về chân lý toán học mà Định lý Gödel mang lại là trọn vẹn đến nỗi phần lớn chúng ta ngày nay xem bản thân kết quả này đơn thuần như một lời nhận xét mang tính kỹ thuật về những hạn chế của hệ tiên đề.

Để đánh giá được tác động ban đầu của Định lý Gödel, phải hiểu cách suy nghĩ của từng thời đại. Trong thế kỷ 19, các nhà toán học đã học được một điều là nhiều khái niệm trực giác có vẻ như có vấn đề, chẳng hạn như tính liên tục của tập số thực và bản chất của các hàm liên tục. Để tránh những gì có thể phụ thuộc một cách sai lệch vào các giả định xuất phát từ trực giác không đáng tin cậy, các nhà toán học bắt đầu chú trọng hơn vào một kiểu xây dựng toán học đã được người Hy Lạp cổ đại giới thiệu, nhưng bấy lâu nay bị bỏ quên: phương pháp tiên đề. Phương pháp này bắt đầu bằng việc liệt kê chính xác một tập hợp các giả định ban đầu – được gọi là các tiên đề (axioms) − mà bạn tin vào chúng để từ đó nắm bắt các khái niệm hoặc hệ thống mà bạn quan tâm. Sau đó bạn tiếp tục thiết lập các chân lý về khái niệm hoặc hệ thống đó bằng phương pháp suy luận logic từ các tiên đề đã thiết lập.

Ví dụ quen thuộc nhất của phương pháp tiếp cận này là hệ tiên đề của Euclid cho hình học. Trong công trình đồ sộ của mình mang tên “Elements” (Cơ sở), Euclid bắt đầu bằng cách liệt kê 5 nguyên lý mà từ đó được cho là suy luận ra tất cả các chân lý về hình học phẳng. Vì các tiên đề được xem là điểm khởi đầu của một cuộc tìm kiếm chân lý nên tất nhiên là không nên có bất kỳ một nghi ngờ nào về tính hợp lý của chúng. Các tiên đề phải là những điều khẳng định đơn giản đến mức hiển nhiên đúng.

Tiên đề 5 trong hệ 5 tiên đề của Euclid nói rằng “Đối với mọi đường thẳng l và với mọi điểm P không nằm trên l, tồn tại một đường thẳng duy nhất m đi qua P và song song với l.” Những câu hỏi chất vấn Tiên đề Đường Song Song này bám theo hình học Euclid hàng trăm năm. Tiên đề này bị nghi ngờ bởi vì phát biểu của nó phức tạp hơn nhiều so với 4 tiên đề kia. Nỗ lực giải quyết mối nghi ngờ này bằng cách tìm những giả định đơn giản hơn để từ đó suy luận ra tiên đề 5 tiếp tục cho thấy là một việc vô ích, cho đến khi người ta khám phá ra một sự thật gây sốc rằng việc sát nhập tiên đề này vào hệ tiên đề – được cho là phù hợp với trực giác tự nhiên của con người về đường song song – là hoàn toàn tuỳ ý quyết định. Hình học quen thuộc của Euclid, trong đó định đề đường song song được lấy làm tiên đề, chỉ là một trong số những hình học có thể có. Quyết định chọn hình học nào hoàn toàn là vấn đề khẩu vị hoặc ứng dụng dự định.

Thực ra, với hệ tiên đề của Euclid còn có một vấn đề khác lớn hơn nhiều so với việc đưa Tiên đề Đường Song Song vào hệ tiên đề. Hệ tiên đề của Euclid đã bỏ qua nhiều giả định cơ bản khác mà ông và các thế hệ học giả sau đó, đã vô tình sử dụng trong khi nêu lên những định lý được cho là xuất phát từ các tiên đề. Vấn đề này tồn tại mãi cho đến cuối thế kỷ 19, khi nhà toán học người Đức David Hilbert bắt tay vào giải quyết, bằng cách viết ra những tiên đề quan trọng bị thiếu.

Để hiểu ý tưởng của Hilbert, hãy xét một trong những bài toán cơ bản nhất của Euclid, đó là bài toán dựng một tam giác đều bằng thước kẻ và compa. Hãy bắt đầu với một đoạn thẳng, sau đó vẽ các cung với tâm là các đầu mút của đoạn thẳng đó, với bán kính bằng độ dài của đoạn thẳng đó. Điểm mà các cung tròn giao nhau sẽ đánh dấu đỉnh thứ ba của tam giác đều. Tất cả nghe có vẻ rất ổn. Rốt cuộc, chúng ta đã dựng được một tam giác đều.

Nhưng như Hilbert đã quan sát, làm thế nào bạn có thể biết chắc rằng hai cung thực sự giao nhau? Làm thế nào để bạn biết chúng có một điểm chung? Chỉ vì các cung mà bạn vẽ trên một tờ giấy trông như thể chúng sẽ gặp nhau, điều đó không đảm bảo rằng thực sự có một giao điểm. Xét cho cùng, không giống như các đường bút chì bạn vẽ trên giấy, các vòng cung lý tưởng hóa không có độ dày. Làm thế nào bạn có thể biết chắc rằng hai cung không có độ dày sẽ có một điểm chung? Câu trả lời là bạn không thể. Nếu bạn muốn hai cung tròn giao nhau, bạn cần phải có một tiên đề ngụ ý rằng chúng sẽ giao nhau. Đó là một tiên đề hợp lý, hoàn toàn phù hợp với trực giác của chúng ta về việc vẽ các cung tròn. Nhưng vấn đề là ở chỗ đó là một giả định, chứ không phải một điều có thể chứng minh.

Từ công trình của Hilbert có thể rút ra bài học là việc xác định đầy đủ tất cả các giả định được sử dụng trong bất kỳ nhánh toán học nào có thể là một việc cực kỳ khó khăn. Sau công trình nghiên cứu về tiên đề cho hình học, Hilbert đưa ra một quan điểm về toán học nhằm đạt được sự chấp nhận đáng kể. Theo quan điểm này, một quan điểm đã trở thành nổi tiếng với tên gọi là chủ nghĩa hình thức, toán học về cơ bản nên được xem như chẳng phải cái gì khác một tập hợp các trò chơi hình thức, mỗi trò chơi được chơi theo các quy tắc hoàn toàn cụ thể.

Ví dụ, nghiên cứu hình học Euclid chẳng qua là chơi trò chơi hình học Euclid. Trong trò chơi đó, bạn bắt đầu với các tiên đề của hình học Euclid và sau đó suy ra tất cả các chân lý của hình học Euclid bằng các thao tác cơ giới của các ký hiệu theo những quy tắc hoàn toàn cụ thể. Không có gì có thể được sử dụng mà không được chỉ định bởi các tiên đề hoặc quy tắc thao tác. Cụ thể, không thể và không nên sử dụng bất kỳ trực giác nào về bản chất của các điểm hoặc đường. Như chính Hilbert đã nhận xét, trong các câu chuyện hình học bạn có thể thay thế tất cả các điểm và đường bằng các cốc bia và bàn bar, miễn là bạn xây dựng được các tiên đề về các đối tượng đó, và lý thuyết được tạo ra sẽ giống hệt nhau về mọi mặt ngoại trừ những từ ngữ thực tế đã sử dụng.

Bằng cách loại bỏ tất cả các trực giác sao cho các điểm và đường thẳng không khác với cốc bia và bàn bar, lập luận cứ thế diễn tiến, khi đó toán học sẽ luôn tránh được những nguy hiểm của những giả định không được công nhận và có thể gây hiểu lầm. Về nguyên tắc, có thể thiết kế các thiết bị cơ khí, trong đó, tất nhiên, không có trực giác nào xen vào trong khi tuân thủ các quy tắc và rút ra tất cả các chân lý (hãy nhớ rằng điều này được nói đến trước khi computer ra đời)

Việc tiếp cận toán học theo kiểu này − thiết lập tất cả các tiên đề cần thiết để từ đó suy luận một cách cơ giới ra tất cả các chân lý trong từng nhánh riêng biệt của toán học − đã trở nên nổi tiếng dưới tên gọi Chương trình Hilbert. Đối với nhiều người, việc tìm kiếm các tiên đề đã trở thành một cuộc tìm kiếm Chiếc Chén Thánh của toán học, mặc dù Hilbert, người vốn rất tôn trọng vai trò của trực giác trong thực hành toán học, không nằm trong số họ, và bản thân ông không bao giờ đề nghị phải thực hiện cái chương trình mà những người khác đã gắn tên ông vào đó.

Một trong những nỗ lực bền bỉ nhất nhằm thực hiện Chương trình Hilbert được thực hiện bởi các nhà triết học người Anh là Bertrand Russell và Alfred North Whitehead. Công trình khổng lồ của họ, tác phẩm gồm ba tập, Principia Mathematica, được xuất bản từ năm 1910 đến 1913, là một nỗ lực phát triển lý luận logic và số học cơ bản từ các tiên đề.

Bằng một ví dụ, Gödel đã lấy chính hệ tiên đề trong Principia Mathematica để chứng minh một cách không thể nghi ngờ rằng mục tiêu của Chương trình Hilbert là không thể đạt được. Ông đã gọi công trình đầy kịch tính của mình là “Về những mệnh đề hình thức không thể quyết định được trong cuốn Principia Mathematica và các hệ liên quan” (On formal undecidable statements of Principia Mathematica and related systems). Vào thời điểm Gödel chứng minh định lý của mình, Định lý Bất toàn nổi tiếng là rất khó nắm bắt. Nhưng từ lâu khó khăn đó đã nhường chỗ cho một nhận thức cho rằng kết quả của nó thực ra lại khá đơn giản. Sự phức tạp của chứng minh nguyên thuỷ của Gödel phần lớn không liên quan đến kết quả, sự phức tạp ấy là hệ quả của phương pháp đặc biệt mà ông đã sử dụng để trình bày lập luận của mình. Về bản chất, Gödel đã lấy Nghịch lý Kẻ Nói Dối (Liar Paradox) quen thuộc và chỉ ra cách tái tạo nó trong bất kỳ hệ tiên đề nào hỗ trợ số học.

Nghịch lý kẻ nói dối, có từ thời Cổ Hy Lạp, nẩy sinh khi một người đứng lên tuyên bố “Tôi đang nói dối”. Nếu người đó nói dối, thì tuyên bố đó là đúng, vì vậy họ không nói dối; và nếu họ không nói dối, tuyên bố là sai, vì vậy họ đang nói dối. Đây là một nghịch lý dường như không thể tránh khỏi. Gödel đã đưa ra một tuyên bố tương tự: “Mệnh đề này không thể chứng minh được”, và đã chỉ ra cách làm thế nào để mệnh đề ấy có thể biến thành một công thức toán học trong số học.

Trước hết điều này đòi hỏi mã hóa các mệnh đề thành các con số − một quy trình được gọi là đánh số Gödel. Vào thời của Gödel, điều này được coi là một bước tiến vô cùng sâu sắc và khó khăn, nhưng ngày nay, nhiều cuốn phim trinh thám cũng mô tả cách thức trong đó các từ ngữ và câu cú trong tiếng Anh có thể được mã hóa thành các chuỗi số, việc này thường là một phần của quá trình mã hóa các thông điệp. Bước tiếp theo của Gödel là chỉ ra cách làm thế nào để khái niệm về khả năng chứng minh có thể được nắm bắt trong số học. Đây là một động thái sâu sắc hơn, nhưng đối với các nhà toán học ngày nay, điều đó dường như là một công việc thông lệ hàng ngày.

Khi việc mã hóa đã được hoàn tất, chiếc dây thòng lọng đã được thắt chặt. Nếu người ta cho rằng hệ tiên đề là nhất quán (nghĩa là chúng không dẫn đến bất kỳ mâu thuẫn nội bộ nào), thì mệnh đề của Gödel ở trên rõ ràng là không thể chứng minh được (vì nó tuyên bố không thể chứng minh được). Do đó, mệnh đề ấy là một sự thật nhưng không thể chứng minh được.

Đối với những nhà toán học theo chủ nghĩa hình thức, những người tin rằng chân lý toán học ắt phải chứng minh được – rằng những mệnh đề toán học đúng chính là những mệnh đề có thể chứng minh từ các tiên đề một khi bạn đã thiết lập tất cả các tiên đề ấy một cách đúng đắn – thì Định lý Gödel là một cú đòn trời giáng. Tuy nhiên, ngày nay, như tôi đã nhận xét ở trên, các nhà toán học nhìn nhận định lý này đơn giản là nó xác nhận giới hạn của những gì có thể đạt được từ các hệ tiên đề.

Nhưng các nhà toán học chỉ có thể làm như vậy vì toán học đương đại đã học được bài học mà Định lý Gödel đã dạy chúng ta. Định lý này có thể không làm thay đổi toán học nhiều lắm, nhưng nó làm thay đổi cách chúng ta nhìn nhận bản chất của toán học. Việc lựa chọn Gödel là một trong những nhà tư tưởng có ảnh hưởng lớn nhất thế kỷ 20 chắc chắn là rất xứng đáng.

CHÚ THÍCH

[1] http://science.sciencemag.org/content/298/5600/1899

[2] Hàm đệ quy là hàm số được đặc trưng bởi phép truy hồi hoặc lặp lại. Nó liên quan đến hoặc dính dáng đến việc áp dụng lặp đi lặp lại một quy tắc, hoặc một định nghĩa, hoặc một quy trình cho những kết quả kế tiếp (Chú thích của ND)

[3] Một chứng bệnh tự huyễn hoặc mình bị bệnh (ND).

[4] Đó là số TIME 30/12/1999. Bài này của Keith Devlin trên Science 06/12/2002. Vậy chính xác là 3 năm (ND).

Bình luận về bài viết này