Về Hệ Tiên đề Hilbert (On Hilbert’s Set of Axioms)

Abstract: For a long time, many mathematicians have said that Hilbert’s Set of Axioms for Euclidean Geometry is a typical model of axiomatic methodology. But after reading “The Foundations of Geometry” by David Hilbert, I have doubts about the sufficiency of Hilbert’s Set of Axioms. It is not as complete as eulogised.

Trong một thời gian dài, nhiều nhà toán học đã nói rằng Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid là một mô hình điển hình của phương pháp tiên đề. Nhưng sau khi đọc cuốn “Cơ sở Hình học” của David Hilbert, tôi nghi ngờ về tính đầy đủ của Hệ Tiên đề Hilbert. Nó không hoàn hảo như được ca tụng.

(Bài đã đăng trên Tia Sáng Tháng 08/2002)

Năm 1899, David Hilbert công bố tác phẩm “Cơ sở Hình học”, trong đó đã nêu lên một hệ tiên đề cho hình học Euclid, sau này được gọi là Hệ Tiên Đề Hilbert.

Hệ Tiên đề Hilbert từng được coi là một hệ tiên đề hoàn hảo của Hình học Euclid, vì nó thoả mãn 3 điều kiện khắt khe của một hệ tiên đề do chính Hilbert nêu lên: độc lập, đầy đủ, phi mâu thuẫn. Đến nay công trình này đã được coi là một vấn đề cổ điển thuộc cơ sở của hình học, chẳng có gì đáng bàn thêm. Tuy nhiên, sau khi xem xét kỹ cuốn Cơ sở Hình học và một số tài liệu liên quan, tôi xin mạnh dạn nêu lên một số nghi vấn về tính hoàn hảo của Hệ Tiên đề Hilbert.

1-Hệ Tiên đề Hilbert có bao nhiêu tiên đề ?

Tài liệu đầu tiên tôi được đọc về Hệ Tiên đề Hilbert là cuốn “Bách khoa toán học trẻ” của Liên xô (cũ), trong đó nói “hình học có khoảng 19 tiên đề”[1]. Chữ “khoảng” (nguyên văn tiếng Nga là okolo) làm tôi nghi ngờ tính chính xác của thông tin, thậm chí nghĩ rằng tác giả cuốn bách khoa này không nắm vững Hệ Tiên đề Hilbert.

Năm 1996, GS Văn Như Cương tuyên bố trên báo chí rằng “Phải chờ đến cuối thế kỷ XIX nhà toán học Hilbert mới đề nghị một hệ tiên đề đầy đủ cho Hình học Euclide bao gồm 19 tiên đề…”, nhưng không cho biết thông tin đó dựa vào tài liệu nào. Phải chăng cũng dựa theo Bách khoa toán học trẻ của Liên Xô cũ ? Nếu đúng như thế thì số liệu của GS Cương không đáng tin cậy.

Vài năm sau, sau khi tham khảo thêm nhiều tài liệu mới, tôi hết sức ngạc nhiên thấy số tiên đề trong các tài liệu đó không thống nhất với nhau. Cụ thể:

1 Bách khoa toàn thư Americana 1999 của Mỹ : 21 tiên đề

2 Từ điển toán học 1989 của NXB Penguin của Anh: 28

3 Đại từ điển Larousse 1990 của Pháp: 27

4 Bách khoa toàn thư Britannica 1998 của Anh: 21

5 Bách khoa toán học xô viết 1989 của Liên xô (cũ): 20

6 Bách khoa toàn thư The World Book 1999 của Mỹ 21

7 Bách khoa toán học giản yếu CRC của Eric Weisstein: 21

8 CD Bách khoa toàn thư Encarta 1998 của Microsoft: 21

9 Bách khoa toàn thư Universalis 1994 của Pháp: khoảng 30

Xin chú ý tài liệu 9, “Bách khoa toàn thư Universalis”, cũng chỉ cung cấp một con số gần đúng “khoảng 30 tiên đề” (une trentaine d’axiomes), thay vì một số tiên đề xác định.

Sự mâu thuẫn giữa các tài liệu đã thúc đẩy tôi viết thư phỏng vấn một số nhà toán học, và họ đã trả lời.

Giáo sư toán học Edmund Robertson tại Đại học Saint Andrews ở Anh tỏ ra ngạc nhiên và nói: “Tôi luôn luôn nghĩ rằng Hilbert nêu lên 21 tiên đề. Tôi hoàn toàn không biết tại sao những nguồn tài liệu khác mà ông trích dẫn lại đưa ra những số liệu khác“.

Giáo sư toán học John O’Connor cũng tại Đại học St Andrews đã trả lời bằng cách cung cấp một địa chỉ internet về đề tài này:

http://mathworld.wolfram.com/HilbertsAxioms.html

Tôi vào địa chỉ đó và thấy ngay rằng không có gì mới. Đó là trang web của tài liệu 7 đã thống kê ở trên. Tuy nhiên, tài liệu này nói rõ nguồn tư liệu tham khảo, đó là cuốn Cơ sở Hình học của Hilbert bằng tiếng Anh, do Open Court tái bản lần thứ hai tại Chicago năm 1980. Như vậy theo Cơ sở Hình học 1980, Hệ Tiên đề Hilbert có 21 tiên đề.

Sau khi đọc bài “Một thế kỷ tranh cãi về nền tảng của toán học” trên internet, một bài giảng hấp dẫn của Gregory Chaitin, giáo sư toán học thuộc Viện Thomas Watson của IBM, trong đó đề cập khá sâu sắc đến chương trình tiên đề hoá của Hilbert, tôi nghĩ chắc chắn tác giả phải nắm vững Hệ Tiên đề Hilbert. Tôi liên lạc và nhận được trả lời : “Tôi e rằng tôi không trả lời được các câu hỏi lý thú của ông về các tiên đề của Hilbert, vì hình học không thuộc lĩnh vực của tôi“. Bù lại, giáo sư cung cấp một thông tin liên quan đến tính đầy đủ của hình học sơ cấp, sẽ trình bầy ở phần II.

Tóm lại đến lúc đó, số tiên đề của Hệ Tiên đề Hilbert vẫn là một ẩn số.

Nhưng rồi “cái gì sẽ xẩy ra, phải xẩy ra”, “Que sera, sera”. Đầu năm 2000 tôi được một người bạn ở Anh, bác sĩ Dư Tấn Hỷ, mua tặng tôi một cuốn Cơ sở Hình học mới tinh, nhan đề “Foundations of Geometry”, tác giả David Hilbert, tái bản bằng tiếng Anh lần thứ hai, do Open Court, La Salle xuất bản năm 1971 tại Illinois, Mỹ, in lại năm 1999.

Ngay tại chương I, mục 1, sau phần định nghĩa các khái niệm, Hilbert viết :

“Các tiên đề của hình học có thể được chia thành 5 nhóm. Mỗi nhóm thể hiện những yếu tố xác định dựa trên trực giác của chúng ta. Các nhóm tiên đề này sẽ được đặt tên như sau:

Nhóm I-Các tiên đề về sự khu trú (Axioms of Incidence), gồm 8 tiên đề.

Nhóm II-Các tiên đề về thứ tự (Axioms of Order), gồm 4 tiên đề.

Nhóm III-Các tiên đề về sự bằng nhau (Axioms of Congruence), gồm 5 tiên đề.

Nhóm IV-Tiên đề đường song song (Axiom of Parallels), gồm 1 tiên đề.

Nhóm V-Các tiên đề về tính liên tục (Axioms of Continuity), gồm 2 tiên đề.”

Như vậy, theo Cơ sở Hình học 1971, Hệ tiên đề Hilbert có 20 tiên đề !

Đến đây, xin đọc giả thử cùng với tôi làm một phân tích so sánh số liệu.

2-Phân tích so sánh:

Trước hết xin độc giả đọc kỹ một đoạn trích trong Lời tựa của Cơ sở Hình học 1971: “Kể từ lần xuất bản đầu tiên trở đi, cuốn Cơ sở Hình học của Hilbert bản thân nó đã trải qua những thay đổi lớn (major changes) đến nỗi cuốn xuất bản lần cuối cùng khó mà nhận ra cuốn xuất bản lần đầu tiên. Vì lý do đó, điều rất quan trọng đối với một học sinh nghiêm túc và giáo viên trung học là nên sử dụng cuốn xuất bản lần cuối cùng này“. Đó là ý kiến của Harry Goheen, giáo sư toán học tại Đại học Oregon ở Mỹ. Goheen viết tiếp: “Nhiều nhà toán học đã phát biểu ý kiến rằng công trình của Hilbert là một công trình sơ cấp (elementary) hoặc ít quan trọng (of small importance), đầy rẫy sai sót (full of error), và không có ý nghĩa hiện đại (devoid of modern significance). Với sự kính trọng đối với tất cả những ai đã có những chỉ trích đó, tôi xin đặc biệt nhấn mạnh tầm quan trọng to lớn của ý định xây dựng một hệ tiên đề đầy đủ phi mâu thuẫn của hình học và một sự tổng hợp của các tiên đề này bên trong giải tích các số thực“.

Từ ý kiến trên, kết hợp với những bằng chứng rõ ràng khác, có thể tin rằng Hilbert đã nhiều lần thay đổi hệ tiên đề của ông, và đó là những thay đổi chủ yếu.

Thật vậy, có thể thấy rõ sự thay đổi này ngay trong Cơ sở Hình học 1971: Ghi chú ở trang 6 nói rằng Định lý 5 trong lần xuất bản đầu tiên vốn được coi là một tiên đề, nhưng năm 1902, E.H.Moore đã chứng minh đó là hệ quả của các tiên đề nhóm I và II. Ghi chú ở trang 27 cho biết Định lý 32 trong những lần xuất bản trước đây vốn được coi là một tiên đề về tính đầy đủ. Vậy có thể biết chắc chắn rằng số tiên đề trong lần xuất bản đầu tiên (1899) ít nhất phải là : 20 + 2 = 22. Năm 1902, một tiên đề thành Định lý 5, vậy số tiên đề là: 22 – 1 = 21. Đến khi Tiên đề về sự đầy đủ biến thành Định lý 32 thì số tiên đề còn lại là 21 – 1 = 20. Nhưng nếu chú ý đến ý kiến của Goheen thì sự thay đổi chắc chắn đã xẩy ra nhiều hơn như thế. Nghĩa là không phải chỉ có 2 lần thay đổi, và số tiên đề ban đầu không phải là 22, mà lớn hơn nhiều.

Đến đây, tôi mạnh dạn phỏng đoán rằng số tiên đề ban đầu là “khoảng 30”, đúng như “Bách khoa Universalis” của Pháp (tài liệu 9) đã nói. Sau đó số tiên đề được giảm dần, xuống 28 (tài liệu 2), rồi 27 (tài liệu 3), rồi 21 (tài liệu 1, 4, 6,7,8 và Cơ sở Hình học 1980) và 20 (tài liệu 5 và Cơ sở Hình học 1971) như những con số trong bảng thống kê ở trên.

Chú ý rằng chính Hilbert đã thể hiện rõ mong muốn tìm một hệ tiên đề với số tiên đề càng ít càng tốt. Ông viết trong phần dẫn nhập: “Công trình nghiên cứu hiện tại này là một cố gắng mới để thiết lập cho hình học một tập hợp các tiên đề đầy đủ, và càng đơn giản càng tốt và để từ đó rút ra những định lý hình học quan trọng nhất…“. Mặt khác, có thể tin rằng không có một thiên tài nào ngay lúc đầu có thể định ra một số tiên đề chính xác được, vì quá trình xây dựng hệ tiên đề, như chính Hilbert nói, phải bắt đầu từ trực giác. Tất nhiên sau đó phải chứng minh. Nhưng dù là thiên tài, không có gì để bảo đảm rằng chứng minh hôm nay tưởng là đúng sẽ vĩnh viễn đúng.

3-Nghi vấn tính hoàn hảo của Hệ Tiên đề Hilbert:

i)Về tính độc lập: Hai tiên đề được coi là độc lập với nhau nếu tiên đề này không phải là hệ quả của tiên đề kia và ngược lại. Vậy mỗi lần 1 tiên đề bị phát hiện không phải là tiên đề mà là 1 định lý thì có nghĩa là chứng minh trước đó về tính độc lập của hệ tiên đề là sai. Nếu sự phỏng đoán số tiên đề ban đầu là “khoảng 30” và cuối cùng là 20 là đúng, thì suy ra Hilbert đã sai lầm “khoảng 10 lần” trong việc chứng minh tính độc lập của hệ tiên đề (!). Nhận xét này có thể không làm đẹp lòng những người vốn quen thần thánh hoá Hilbert, nhưng lại phù hợp với ý kiến của những người chỉ trích Hilbert mà Goheen đã nói trong Lời tựa của CSHH 1971 như ở trên đã dẫn, rằng công trình của Hilbert “đầy rẫy sai sót”.

ii) Về tình phi mâu thuẫn: Bách Khoa Toán Học Xô Viết 1989 viết: “Hệ tiên đề Hilbert là phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn“. Số học có phi mâu thuẫn hay không ? Định lý bất toàn của Kurt Godel đã chứng minh rằng không thể chứng minh được tình phi mâu thuẫn của số học. Vậy suy ra tình phi mâu thuẫn của Hệ tiên đề Hilbert cũng chỉ có giá trị tương đối mà thôi.

ii) Về tính đầy đủ: Tính đầy đủ là điểm hơn hẳn của Hệ Tiên đề Hilbert so với Hệ Tiên đề của Euclid. Nhưng làm thế nào để chứng minh tính đầy đủ của Hệ Tiên đề Hilbert? Trong cuốn Cơ sở Hình học 1971 không có phần nào trình bầy tính đầy đủ (điều này làm tôi ngạc nhiên). Gregory Chaitin trả lời phỏng vấn của tôi, nói : “Khoảng 1940, Alfred Tarski, một nhà toán học Balan, khám phá ra một quy trình có thể chứng minh tính đầy đủ của Hình học Euclid. Thông qua đại số Descartes và sử dụng Lý thuyết các trường số thực đóng, quy trình Tarski cho phép chứng minh hoặc phủ định bất kỳ một định lý nào của Hình học Euclid trình bầy dưới dạng hình thức. Công trình của Tarski có tên là “Tính đầy đủ của đại số và hình học sơ cấp” hiện chỉ có bằng tiếng Pháp do Armand Colline xuất bản tại Paris năm 1974. Về sau người ta cho chạy thử quy trình Tarski trên computer nhưng cực kỳ chậm. Tôi nhớ không rõ lắm rằng quy trình này hình như dựa trên thủ tục Sturm để tìm nghiệm của các phương trình đại số. Nhưng đáng tiếc là công trình này không nhận được sự chú ý cần thiết“. Tuy nhiên Chaitin không nói gì về mối liên hệ giữa công trình của Tarski với Hệ Tiên đề Hilbert.

Cũng trong thư trả lời phỏng vấn của tôi, Giáo sư toán học Giuseppe Longo tại École Normale Supérieure ở Pháp, nói: “Có một truyền thống mạnh mẽ của những người đi theo chủ nghĩa toán học hình thức (chủ nghĩa Hilbert) trong thế kỷ này (20) đi theo hướng viết lại lịch sử và trình bầy nó như một cuộc hành quân dài (a long march) tiến tới việc thiết lập hệ tiên đề như ngày nay. Trong công trình của Hilbert không có một cấu trúc nào định trước làm chỗ dựa để người ta kiểm chứng tính đầy đủ (giống như số học của Peano và cấu trúc số), do đó tính đầy đủ có thể chỉ là một đặc thù mang tính lý thuyết“.

4-Kết :

Qua những phân tích ở trên, tôi thấy cần phải nghi vấn mức độ hoàn hảo của Hệ Tiên đề Hilbert mà nhiều tài liệu, sách báo và một số nhà toán học vẫn thường quảng cáo rùm beng. Cần có những nghiên cứu toán học sâu sắc hơn để trả lại cho Hệ Tiên Đề Hilbert giá trị đúng với thực chất của nó, tránh bệnh sùng bái thiếu căn cứ.

Sydney ngày 22 tháng 07 năm 2002

PVHg

Tài liệu tham khảo:

01-Foundations of Geometry, David Hilbert , 1899, Second English Edition, Open Court Publishing, La Salle, Illinois 1971.

02-The Encyclopedia Americana 1999, Grolier, NSW Library

03-Encyclopedia Encarta 1998, Microsoft (CD)

04-CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Eric Weisstein, CRC Press, 1999

05-Grand Larousse en 5 volumes, Larousse 1999, NSW Library

06-Encyclopedia Universalis, Paris 1994, NSW Library.

07-Soviet Mathematical Encyclopedia, I.M.Vinogradov chủ biên, Kluwer Academic Publishers, Netherland, 1989, NSW Library.

08-The New Encyclopedia Britannica, Macropaedia, Geometry, Encyclopedia Britannica Incorporation, 1998, NSW Library.

09-The World Book Encyclopedia, World Book Inc., 1999, NSW Library.

10-The Penguin Dictionary of Mathematics, John Daintith & R.D. Nelson, Penguin Books, 1989.

[1] Rất tiếc hiện nay tôi không có tài liệu này trong tay để ghi rõ tên sách, tên nhà xuất bản, năm xuất bản theo nguyên văn tiếng Nga. Tuy nhiên tôi nhớ đã mua nó tại hiệu sách ngoại văn Tràng Tiền Hà Nội khoảng cuối những năm 1980. Sách dày khoảng 1 cm, khổ A4, bìa cứng bọc vải, bên ngoài lại bọc thêm một bìa mỏng, mầu trắng in tên sách, tên nhà xuất bản.

	Thích trong On the book “Gödel’s Theorem”…
	CON NGƯỜI: CÂY SẬY… trong Man: a thinking reed / Con ngư…
	Khoa trong On the book “Gödel’s Theorem”…
	Phạm Việt Hưng: Ý Ng… trong SÁCH ĐỊNH LÝ GÖDEL
	Phạm Việt Hưng trong On the book “Gödel’s Theorem”…
	Phạm Việt Hưng trong Animals’Consciousness / Ý thức…
	Phạm Việt Hưng trong Animals’Consciousness / Ý thức…
	Cao Son Nguyen trong Animals’Consciousness / Ý thức…
	Cao Son Nguyen trong Animals’Consciousness / Ý thức…
	Khoa trong On the book “Gödel’s Theorem”…

H	B	T	N	S	B	C
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

PhamVietHung's Home

My true thinking

Về Hệ Tiên đề Hilbert (On Hilbert’s Set of Axioms)

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời