In a lecture of Gödel’s Theorem, Perry Marshall remarked: “Gödel’s Incompleteness Theorem definitively proves that science can never fill its own gaps. We have no choice but to look outside of science for answers”. In other words, that’s science which requires philosophical and theological knowledge to answer the questions posed by science itself.

Trong một bài giảng về Định lý Gödel, Perry Marshall nhận định: “Định lý Bất toàn của Gödel chứng minh một cách dứt khoát rằng khoa học không bao giờ có thể lấp kín những lỗ hổng của chính nó. Chúng ta không có lựa chọn nào khác là nhìn ra bên ngoài khoa học để tìm câu trả lời”. Nói cách khác, chính khoa học đòi hỏi những tri thức triết học và thần học để trả lời những câu hỏi do chính khoa học đặt ra.

Sau đây là toàn văn bài giảng “Gödel’s Incompleteness Theorem: The # 1 Mathematical Discovery of 20^th Century” của Perry Marshall, với bản dịch tiếng Việt được biên tập lại hoàn chỉnh hơn bởi PVHg’s Home. Trong số nhiều sách báo về Định lý Gödel, bài giảng này có lẽ là dễ hiểu nhất và thú vị nhất, đặc biệt vì nó nói rõ hơn bất kỳ một tài liệu nào khác rằng chính khoa học đòi hỏi phải có sự bổ sung những tri thức bên ngoài khoa học để lấp đầy những khoảng trống do chính khoa học đặt ra.

PVHg’s Home một lần nữa xin trân trọng giới thiệu với độc giả.

 

Định lý Bất toàn của Gödel:

Khám phá Toán học số 1 trong thế kỷ 20

 

Bài giảng của Perry Marshall, bản dịch của Phạm Việt Hưng

Năm 1931, Kurt Gödel giáng cho các nhà toán học trong thời của ông một đòn nặng nề

Năm 1931, nhà toán học trẻ Kurt Gödel có một khám phá mang tính bước ngoặt, gây ra những chấn động lớn như những gì Albert Einstein đã làm.

Khám phá của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà thực ra áp dụng cho tất cả các ngành của khoa học, logic và hiểu biết của con người nói chung. Nó thực sự làm rung chuyển trái đất.

Nhưng trớ trêu thay, rất ít người biết về nó.

Vậy hãy cho phép tôi nói với các bạn câu chuyện về định lý này.

Các nhà toán học vốn thích chứng minh mọi thứ. Vì thế họ nóng lòng và băn khoăn trong suốt nhiều thế kỷ vì có một số định đề toán học họ nghĩ là đúng nhưng không thể chứng minh[1].

Chẳng hạn nếu bạn đã từng học Hình học ở trường trung học, hẳn là bạn đã làm những bài tập chứng minh các tính chất của tam giác dựa trên một số định lý cơ bản.

Môn hình học đó được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid. Mọi người đều thấy những tiên đề đó là đúng, nhưng sau 2500 năm vẫn không có ai nghĩ ra cách chứng minh chúng.

Vâng, dường như hoàn toàn hợp lý khi cho rằng một đường thẳng có thể kéo dài vô tận về hai phía, nhưng không ai có thể CHỨNG MINH điều đó. Chúng ta chỉ có thể bày tỏ rằng đó là một tập hợp 5 tiên đề hợp lý, và thực tế là cần thiết.

Trong hơn 2000 năm, những thiên tài toán học hạng nhất đã thất vọng bởi vì họ không thể chứng minh tất cả các định lý của họ. Có rất nhiều điều “rõ ràng” là đúng nhưng không ai có thể tìm ra cách chứng minh.

Tuy nhiên, vào những năm đầu của thập niên 1900, một niềm lạc quan to lớn bắt đầu phát triển trong giới toán học. Các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới lúc đó (như Bertrand Russell, David Hilbert và Ludwig Wittgenstein[2]) tin rằng họ đang nhanh chóng tiến gần tới một phương pháp tổng hợp cuối cùng.

(Họ tin rằng) một sự thống nhất “Lý thuyết về mọi thứ” rốt cuộc sẽ thít chặt các đầu mối lỏng lẻo. Toán học sẽ kiện toàn, đạn bắn không thủng, không có kẽ hở cho không khí lọt vào, và toán học sẽ đắc thắng.

(Nhưng) năm 1931, nhà toán học trẻ người Áo, Kurt Gödel, đã công bố một công trình CHỨNG MINH một lần và mãi mãi rằng một Lý thuyết Duy nhất về Mọi thứ thực ra là không thể có.

Khám phá của Gödel được gọi là “Định lý Bất toàn”.

Nếu bạn dành cho tôi vài phút, thì tôi sẽ giải thích với bạn định lý đó nói gì, Gödel đã khám phá ra định lý đó như thế nào, và định lý đó có ý nghĩa gì – tôi nói bằng một ngôn ngữ mộc mạc, đơn giản đến nỗi ai cũng hiểu.

Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng:

“Bất cứ điều gì mà bạn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó sẽ không thể tự giải thích được bản thân nó mà không tham chiếu đến một cái gì đó ở bên ngoài vòng tròn – một cái gì đó mà bạn phải thừa nhận là đúng nhưng không thể chứng minh.”

Bạn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh tất cả các khái niệm trong cuốn sách hình học trung học của bạn. Nhưng tất cả chúng được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid, những tiên đề này rõ ràng là đúng nhưng không thể chứng minh. 5 tiên đề đó nằm ngoài cuốn sách, tức là bên ngoài vòng tròn bạn vừa vẽ.

Bạn có thể vẽ một vòng tròn quanh một chiếc xe đạp nhưng sự tồn tại của chiếc xe đạp phụ thuộc vào một nhà máy ở bên ngoài chiếc xe đạp đó. Chiếc xe đạp không thể tự giải thích bản thân nó.

Phát biểu dưới dạng ngôn ngữ chính thức, Định lý Gödel nói rằng:

“Bất kỳ lý thuyết nào được tạo ra một cách hiệu quả đủ khả năng thể hiện số học sơ cấp đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào nhất quán, được tạo ra một cách hiệu quả cho phép chứng minh một số chân lý số học căn bản, sẽ có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh trong lý thuyết ấy.”

Luận đề Church-Turing nói rằng một hệ vật lý có thể thể hiện số học sơ cấp y như con người, và rằng số học của Máy Turing (tức computer, ND) không thể chứng minh được bên trong hệ thống đó và do đó computer cũng bất toàn.

Bất kỳ hệ vật lý nào tuân thủ những phép đo lường có khả năng thể hiện số học sơ cấp (Nói cách khác, trẻ em có thể làm toán bằng cách đếm ngón tay, nước chảy vào thùng sẽ tạo nên một lượng nước đếm được, và các hệ vật lý luôn luôn đưa ra câu trả lời rõ ràng).

Do đó vũ trụ có khả năng thể hiện số học sơ cấp và giống như toán học và computer, nó cũng bất toàn.

Lý luận trên có thể tóm tắt bằng tam đoạn luận sau đây:

1. Mọi hệ thống đủ phức tạp có thể tính toán được đều bất toàn.
2. Vũ trụ là một hệ đủ phức tạp có thể tính toán được.
3. Do đó vũ trụ là bất toàn.

Gödel chứng minh rằng LUÔN LUÔN có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh. Trong bất kỳ hệ logic hay hệ thống số nào mà các nhà toán học đã từng xây dựng được từ trước tới nay đều luôn luôn tồn tại ít nhất một vài giả định không thể chứng minh.

Định lý bất toàn của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà cho mọi đối tượng tuân thủ các định luật của logic. Tính bất toàn đúng trong toán học; nó cũng đúng trong khoa học, ngôn ngữ học hoặc triết học.

Và: Nếu vũ trụ tuân thủ toán học và logic, tính bất toàn cũng áp dụng cho vũ trụ.

Gödel sáng tạo ra chứng minh của mình bằng cách khởi đầu với “Nghịch lý Kẻ nói dối” (The Liar’s Paradox) – đó là mệnh đề:

“Tôi đang nói dối.” (I am lying)

Mệnh đề “Tôi đang nói dối” là một mệnh đề tự mâu thuẫn, bởi nếu mệnh đề ấy phản ánh đúng sự thật, rằng tôi là một kẻ nói dối, thì suy ra mệnh đề vừa nói là nói dối, tức là mệnh đề ấy mâu thuẫn với chính nó; nếu mệnh đề ấy sai, lập luận tương tự cũng đi đến mâu thuẫn .

Sau đó, bằng một trong những biến đổi khéo léo nhất trong lịch sử toán học, Gödel đã chuyển Nghịch lý Kẻ Nói Dối thành một công thức toán học[3]. Ông chứng minh rằng bất kỳ một mệnh đề nào cũng đòi hỏi một quan sát viên bên ngoài.

Không có một mệnh đề nào có thể một mình nó tự chứng minh nó đúng.

Định lý bất toàn của Gödel là một đòn nặng nề giáng vào “chủ nghĩa thực chứng” trong thời đại đó[4]. Gödel chứng minh định lý của ông rõ ràng trắng đen đến nỗi không ai có thể tranh cãi với logic của ông.

Tuy nhiên một số đồng nghiệp toán học của ông cho đến lúc xuống mồ vẫn phủ nhận ông, tin rằng bằng cách này hay cách khác, trước sau Gödel chắc chắn phải sai.

Nhưng Gödel không sai. Định lý của ông thực sự đúng. Có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh.

Một “lý thuyết về mọi thứ” – dù trong toán học hay vật lý, triết học – sẽ không bao giờ có. Đơn giản vì nó bất khả thi về mặt toán học (mathematically impossible).

OK, vậy điều này thực ra có ý nghĩa gì? Tại sao vấn đề này lại trở thành vô cùng quan trọng, thay vì chỉ là một chuyện phiếm mua vui?

Đây là ý nghĩa của định lý:

• Đức tin và Lý lẽ không phải là kẻ thù của nhau. Thực ra điều ngược lại mới đúng! Cái này nhất thiết cần cái kia để tồn tại. Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn không thể chứng minh.
• Mọi hệ thống đóng kín đều phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống.
• Bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn lớn hơn nhưng sẽ luôn luôn tồn tại một cái gì đó bên ngoài vòng tròn.
• Lý lẽ hướng từ một vòng tròn lớn hơn vào một vòng tròn nhỏ hơn được gọi là “suy diễn” (deductive reasoning). Thí dụ:

1. Mọi người đều sẽ chết.
2. Socrates là một con người.
3. Vậy Socrates sẽ chết.

• Lý lẽ hướng từ một vòng tròn nhỏ hơn ra một vòng tròn lớn hơn là “quy nạp”. Thí dụ:

1. Khi tôi thả đồ vật ra, chúng sẽ rơi.
2. Do đó tồn tại một định luật về hấp dẫn chi phối mọi vật thể rơi.

Chú ý rằng khi bạn chuyển từ vòng tròn nhỏ hơn ra vòng tròn lớn hơn, bạn phải thừa nhận rằng bạn không thể chứng minh 100%.

Chẳng hạn bạn không thể CHỨNG MINH lực hấp dẫn luôn luôn tồn tại vào mọi lúc. Bạn chỉ có thể nhận thấy lực hấp dẫn tồn tại vào mọi lúc bạn quan sát. Bạn không thể chứng minh vũ trụ là hợp lý. Bạn chỉ có thể nhận thấy những công thức toán học như E = mc^2 dường như mô tả hoàn hảo cái mà vũ trụ vận hành.

Gần như mọi định luật khoa học đều dựa trên lý lẽ quy nạp. Toàn bộ khoa học đều dựa trên một giả định cho rằng vũ trụ là trật tự, logic và mang tính chất toán học dựa trên những định luật cố định có thể khám phá.

Bạn không thể CHỨNG MINH giả định đó ( Bạn không thể chứng minh mặt trời sẽ mọc vào buổi sớm mai). Đúng ra bạn phải chấp nhận điều đó bằng niềm tin. Trên thực tế nhiều người không biết rằng bên ngoài vòng tròn khoa học là vòng tròn triết học. Khoa học được xây dựng trên những giả định triết học mà bạn không thể chứng minh bằng khoa học. Thật vậy, phương pháp khoa học không thể chứng minh, nó chỉ có thể suy ra (Khoa học xuất phát từ tư tưởng nguyên thủy cho rằng Chúa tạo ra một vũ trụ có trật tự tuân thủ các định luật cố định có thể khám phá được).

Bây giờ hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta vẽ vòng tròn lớn nhất có thể có – vòng tròn bao quanh toàn thể vũ trụ (nếu có đa vũ trụ thì vẽ môt vòng tròn chứa tất cả những vũ trụ đó):

• Phải có một cái gì đó bên ngoài vòng tròn đó. Một cái gì đó mà chúng ta phải thừa nhận nhưng không thể chứng minh được.
• Vũ trụ mà chúng ta biết là hữu hạn – hữu hạn vật chất, hữu hạn năng lượng, hữu hạn về không gian và tuổi đời của nó đến nay là 13.7 tỷ năm.
• Vũ trụ tuân thủ toán học. Bất kỳ hệ vật lý nào cũng đều là đối tượng của các phép đo thể hiện bằng số học (Bạn không cần biết toán học để làm tính cộng – đúng ra bạn có thể sử dụng bàn tính gẩy và nó sẽ cho bạn câu trả lời đúng vào mọi lúc).
• Vũ trụ (tất cả mọi vật chất, năng lượng, không gian, thời gian) không thể tự giải thích chính bản thân nó.
• Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là vô hạn. Vì thế không thể vẽ một vòng tròn bao quanh cái vô hạn đó .
• Nếu chúng ta vẽ một vòng tròn bao quanh mọi vật chất, năng lượng, không gian và thời gian và áp dụng định lý Gödel, chúng ta sẽ thấy cái gì ở ngoài vòng tròn đó sẽ không phải là vật chất, không phải năng lượng, không phải không gian và cũng không phải thời gian. Đó là thế giới phi vật chất.
• Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều không phải là một hệ thống – nghĩa là không phải một tập hợp bao gồm các thành phần. Nếu không thì chúng ta đã có thể vẽ một vòng tròn quanh nó. Cái nằm ngoài vòng tròn lớn nhất là không thể phân chia được.
• Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là nguyên nhân không có nguyên nhân, bởi vì bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh một kết quả[5].

Chúng ta có thể áp dụng lý lẽ quy nạp tương tự cho Nguồn gốc của Thông tin:

• Trong lịch sử vũ trụ, chúng ta cũng đã biết sự xuất hiện của thông tin, vào khoảng 3.5 tỷ năm trước (Hoặc có thể lâu hơn? Phải chăng vì lý do này hoặc lý do khác thông tin hiện diện ngay từ đầu?). Nó xuất hiện từ mã Di truyền (Genetic code), một thứ ký hiệu phi vật chất.
• Thông tin dường như phải xuất phát từ bên ngoài, bởi vì thông tin được biết không phải là một đặc trưng vốn thuộc về vật chất, năng lượng, không gian hoặc thời gian.
• Mọi mã mà chúng ta biết nguồn gốc đều được thiết kế bởi những thực thể có ý thức.
• Do đó bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất cũng phải là một thực thể có ý thức.

Cuốn sách của tôi nhan đề “Tiến hóa 2.0: Phá vỡ bế tắc giữa học thuyết Darwin và lý thuyết Thiết kế Thông minh” (Evolution 2.0: Breaking the Deadlock Between Darwin and Design)[6] đã thảo luận vấn đề Nguồn gốc của Thông tin theo chiều sâu. Giải thưởng mang tên “Evolution 2.0 Prize” giá trị nhiều triệu dollar sẽ được trao tặng cho một công trình về Nguồn gốc Thông tin[7].

Khi chúng ta nạp thông tin vào trong phương trình, chúng ta có thể kết luận rằng cái ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất không chỉ là vô hạn và phi vật chất, mà còn có ý thức.

Chẳng phải là thú vị hay sao khi ta thấy những vấn đề này có vẻ tương tự một cách đáng nghi vấn như những gì mà các nhà thần học đã mô tả về Chúa trong hàng ngàn năm nay?

Vì thế sẽ chẳng có gì đáng ngạc nhiên khi thấy 80-90% dân chúng trên thế giới tin vào Thượng đế theo một cách nào đó. Thật vậy, đó là trực giác đối với phần lớn các dân tộc. Nhưng định lý Gödel chỉ ra rằng đó cũng chính là logic tối cao. Thực ra đó là lập trường duy nhất mà người ta có thể nắm giữ trong vương quốc của lý lẽ và logic.

Người nào tự phụ tuyên bố “Bạn là người của đức tin, còn tôi là người của khoa học” thì người ấy không hiểu gốc rễ của khoa học hoặc bản chất của tri thức!

Một khía cạnh thú vị khác…

Nếu bạn có dịp thăm một trang mạng vô thần lớn nhất thế giới có tên là Infidels, bạn sẽ thấy trên trang chủ lời tuyên bố sau đây:

“Chủ nghĩa duy tự nhiên (naturalism) là giả thuyết cho rằng thế giới tự nhiên là một hệ đóng, ngụ ý rằng không có cái gì không phải là thành phần của thế giới tự nhiên mà lại ảnh hưởng lên nó”

Nếu bạn biết định lý Gödel, bạn sẽ thấy mọi hệ logic phải phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống. Vậy theo định lý bất toàn của Gödel, tuyên bố của trang mạng Infidels không đúng. Nếu vũ trụ là logic, nó ắt phải có một nguyên nhân bên ngoài.

Do đó chủ nghĩa vô thần vi phạm các định luật của lý lẽ và logic.

Định lý Bất toàn của Gödel chứng minh một cách dứt khoát rằng khoa học không bao giờ có thể lấp kín những lỗ hổng của chính nó. Chúng ta không có lựa chọn nào khác là nhìn ra bên ngoài khoa học để tìm câu trả lời.

Tính Bất toàn của vũ trụ không phải là chứng minh cho việc Chúa tồn tại. Nhưng… đó LÀ chứng minh cho nhận định rằng để kiến tạo nên một mô hình vũ trụ hợp lý thì niềm tin vào Chúa không chỉ logic 100%… mà đó là điều cần thiết.

5 tiên đề của Euclid không thể chứng minh được một cách hình thức và Chúa cũng không thể chứng minh được một cách hình thức . Nhưng… giống như bạn không thể xây dựng một hệ thống hình học chặt chẽ mà không có 5 tiên đề của Euclid, bạn cũng không thể xây dựng một lý thuyết mô tả vũ trụ chặt chẽ mà không có Nguyên nhân Ban đầu và một Nguồn gốc của Trật tự.

Do đó đức tin và khoa học không phải là kẻ thù của nhau, mà liên minh với nhau. Điều đó đã đúng trong hàng trăm năm, nhưng đến năm 1931 thì nhà toán học trẻ gầy ốm Kurt Gödel đã chứng minh điều đó một cách rõ ràng.

Không có thời kỳ nào trong lịch sử nhân loại mà đức tin vào Chúa lại trở nên có lý hơn, logic hơn, hoặc hoàn hảo hơn bằng khi nó được hỗ trợ bởi chính khoa học và toán học.

 

Perry Marshall

Bản dịch được PVHg’s Home biên tập lại tại Sydney, ngày 11/06/2018

Giới thiệu về tác giả Perry Marshall:

Là tác giả của nhiều sách khoa học nổi tiếng, Perry Marshall đồng thời là một diễn giả xuất sắc, một kỹ sư giỏi về phần mềm và một chuyên gia tư vấn kinh doanh nổi tiếng thế giới ở Chicago. Với một thập kỷ nghiên cứu, ông đã đưa ra một viễn cảnh mới mẻ cho cuộc tranh luận về tiến hóa đã kéo dài hơn 150 năm nay (cuốn sách “Evolution 2.0” của ông đã phá vỡ sự bế tắc giữa học thuyết Darwin và lý thuyết Thiết kế thông minh). Ông đặc biệt nổi tiếng bởi việc treo Giải thưởng Perry trị giá 5 triệu dollars cho ai chứng minh được Nguốn gốc Thông tin của Sự Sống (Nguồn mã DNA). Đây vừa là một phần thưởng khuyến khích khoa học vừa là một thách thức giới khoa học. Giải thưởng này sẽ được giới thiệu trong một dịp khác trên PVHg’s Home.

CHÚ THÍCH

[1] Tô đậm để nhấn mạnh bởi người dịch (ND).

[2] Có lẽ tác giả đã nhầm Ludwig Wittgenstein với Alfred Whitehead (Ludwig Wittgenstein chủ yếu là nhà ngôn ngữ học, Alfred Whitehead là đồng tác giả với Bertrand Russell viết cuốn Principia Mathematica), ND.

[3] Để có khái niệm về cách biến đổi nghịch lý đó thành một công thức toán học, xem Phụ lục 2, “Từ xác định đến bất định”, David Peat, người dịch: Phạm Việt Hưng, NXB Tri Thức 2011.

[4] Chủ nghĩa này cho rằng bất kể cái gì không thể đo lường hoặc chứng minh được đều vô nghĩa. Nhưng Định lý Gödel cho thấy chính quan điểm của chủ nghĩa thực chứng là vô nghĩa.

[5] Nếu cái bên ngoài vòng tròn lớn nhất có nguyên nhân thì nguyên nhân ấy phải nằm bên ngoài nó, nhưng cái bên ngoài vòng tròn lớn nhất không thể có cái nằm bên ngoài (ND).

[6] https://www.amazon.com/Evolution-2-0-Breaking-Deadlock-between/dp/1940363802/

[7] https://www.herox.com/evolution2.0