Phương trình của Chúa, Chương 14: HÌNH HỌC CỦA VŨ TRỤ

Chúa là nhà hình học vĩ đại (Plato)

Bây giờ chúng ta đi đến một câu hỏi thú vị: Hình học bao quát của vũ trụ là gì ? Chúng ta biết rằng trong phạm vi địa phương, gần một ngôi sao hoặc một vật thể có khối lượng nào khác, không gian bị cong. Không gian cong xung quanh một vật thể cầu, như đã được chứng minh bởi các thí nghiệm nhật thực. Nhưng hình dạng tổng thể của vũ trụ là gì ? Hình học liên hệ trực tiếp với các phương trình toán học. Từ việc nghiên cứu phương trình trường của Einstein, chúng ta sẽ có một ý niệm về hình học của vũ trụ.

Hình học của vũ trụ sẽ giúp xác định số phận căn bản của nó. Các nhà toán học đã xác định rằng có 3 dạng hình học có thể có của vũ trụ tổng thể. Dạng thứ nhất là hình phẳng, Euclid. Độ cong của không gian trong vũ trụ Euclid bằng 0. Độ cong là một khái niệm do Gauss đặt ra và được ký hiệu bởi chữ k. Các nhà khoa học giả định rằng vũ trụ là một mặt có độ cong không thay đổi ở mọi nơi. Đối với một vũ trụ phẳng, chúng ta nói rằng độ cong k = 0. Nếu độ cong là dương thì k = + 1. Nếu độ cong là âm thì k = – 1. Một mặt có độ cong k = + 1 thì sẽ đóng. Trong không gian 2 chiều, đó là mặt cầu. Nếu độ cong k = – 1, mặt sẽ mở và hình học của nó là hyperbolic, như mô hình của Gauss, Bolyai và Lobachevsky. Trong không gian 2 chiều, đó là mặt giả cầu (pseudosphere) mở. Ba mô hình có độ cong không đổi trong không gian 2 chiều được trình bầy như dưới đây: ^[1]

(Hình 14-1: Các dạng hình học của không gian, không gian phẳng (Euclid), cầu (Elliptic), và giả cầu (Hyperbolic))

Hãy xét không-thời-gian 4 chiều, hoặc xét bài toán tương đương, xét sự tiến hoá của một vũ trụ 3 chiều khi nó biến chuyển theo thời gian, bằng cách sử dụng ba dạng hình học khả dĩ có độ cong không đổi như đã nói ở trên. Chúng ta sẽ thấy tại sao những từ “phẳng”, “đóng”, “mở” được các nhà vũ trụ học sử dụng để xác định các dạng vũ trụ có thể có dựa trên hình dạng của chúng. Để làm điều đó, chúng ta sẽ đi đến phương trình trường của Einstein, vì phương trình này xác định dạng hình học của vũ trụ.

Phương trình không có hằng số vũ trụ của Einstein là:

R_μν – 1/2g_μνR = – 8πGT_μν

Nhưng với giải thiết vũ trụ đồng nhất, đẳng hướng, và có độ cong không đổi. Phương trình tensor ở trên (chú ý rằng các đại lượng R_μν , g_μν , T_μν là các tensor – chúng là những tập hợp có trật tự của các phần tử thay vì các con số đơn giản), có thể đơn giản hoá thành một phương trình vi phân vô hướng (tức là không có tensor) như sau:

(R’/ R)² + k/R² = (8πG / 3) ρ

trong đó ρ là mật độ khối lượng của vũ trụ. Phương trình vi phân là một phương trình liên hệ đạo hàm của một hàm với một số các đại lượng khác. Ở đây, R là nhân tố xác định tầm vóc, quy mô, kích thước của vũ trụ. Đạo hàm của nó, R’, xác định tốc độ thay đổi kích thước của vũ trụ. Do đó phương trình trên, một dạng đơn giản hoá của phương trình trường tổng quát của Einstein đối với trường hợp của một “vũ trụ đơn giản” – một vũ trụ được xem là như nhau ở mọi nơi và theo mọi hướng – là một phương trình vi phân đối với kích thước  của vũ trụ. Mô hình này dựa trên giả thiết vũ trụ bị chi phối bởi khối lượng, nghĩa là, một vũ trụ trong đó khối lượng, thay vì những dạng khác của năng lượng, tạo nên những lực chi phối. Đây là cái cho phép chúng ta thay thế tensor động lượng tổng quát của Einstein bằng đại lượng vô hướng xác định khối lượng.

Trong phương trình ở trên, khi k lần lượt lấy các giá trị bằng 0, +1, – 1 thì mật độ khối lượng vũ trụ ρ sẽ có các giá trị tương ứng bằng, hoặc lớn hơn, hoặc nhỏ hơn (R’/ R)² / (8πG / 3). Đại lượng này rất thú vị, và đóng một vai trò chủ yếu trong các mô hình vũ trụ học. Trước hết, đại lượng R, nhân tố xác định quy mô của vũ trụ, sẽ xác định bán kính cong của vũ trụ nếu vũ trụ đóng và do đó có một độ cong. Đại lượng R’/R, tỷ lệ giữa đạo hàm của đại lượng xác định kích thước với chính đại lượng ấy, bằng hằng số Hubble, được ký hiệu bởi H, chính là đại lượng xác định tốc độ giãn nở của vũ trụ (nghĩa là, tốc độ giãn nở được đo theo một tỷ lệ đối với kích thước của vũ trụ).

Toàn bộ đại lượng (R’/ R)² / (8πG / 3) là mật độ tới hạn của vũ trụ. Chúng ta thấy rằng khi vũ trụ có mật độ đúng bằng mật độ này, nghĩa là ρ bằng biểu thức nói trên, thì độ cong k phải bằng 0, ta có một vũ trụ phẳng. Khi ρ lớn hơn biểu thức trên, k = + 1. Trong trường hợp này, vũ trụ sẽ có khối lượng lớn hơn khối lượng tới hạn và do đó cuối cùng nó sẽ co lại về chính nó. Khi ρ nhỏ hơn mật độ tới hạn, hình học của vũ trụ là hyperbolic, k = – 1. Trong tường hợp này, không đủ khối lượng trong vũ trụ và lực hấp dẫn không đủ mạnh để kéo vật chất trong vũ trụ lại với nhau – vũ trụ sẽ tiếp tục giãn nở mãi mãi. Trong trường hợp vũ trụ phẳng, vũ trụ cũng sẽ giãn nở mãi mãi, nhưng với một tốc độ chậm dần đều. ^[2]

Các nhà vũ trụ học có một cái tên đặc biệt dành cho tỷ lệ giữa hai mật độ, mật độ khối lượng thực tế của vũ trụ tại một thời điểm cho trước, ρ, với mật độ tới hạn xác định bởi biểu thức nói trên. Tỷ lệ này được gọi là omega, W.

Omega đóng vai trò chủ yếu trong việc xác định dạng hình học của vũ trụ. Giả sử không có hằng số vũ trụ, ta có các trường hợp sau: Nếu W = 1, mật độ thực tế bằng mật độ tới hạn, vũ trụ sẽ phẳng – nó sẽ giãn nở mãi mãi, nhưng tốc độ giãn nở chậm dần đều.

Nếu W > 1, mật độ khối lượng của vũ trụ lớn hơn mật độ tới hạn – mật độ giữ cho vũ trụ cân bằng – và vũ trụ giãn nở chậm dần. Trong trường hợp này, có nhiều khối lượng hơn mức cần thiết để làm chậm sự giãn nở, và vũ trụ đến một lúc nào đó sẽ dừng sự giãn nở lại và bắt đầu co để cuối cùng không thể tránh được một “big crunch – vụ co lớn” nuốt chửng mọi thứ về một điểm. Sau đó có thể sẽ tái sinh một big bang mới, tiếp tục vòng tuần hoàn của các big bang và big crunch, trong đó mỗi vũ trụ mới sẽ ra đời từ đống tro tàn của vũ trụ trước đó.

Trong trường hợp W < 1, mật độ khối lượng của vũ trụ nhỏ hơn mật độ tới hạn. Không có đủ khối lượng để làm ngừng sự giãn nở và làm vũ trụ co lại, do đó vũ trụ sẽ tiếp tục giãn nở mãi mãi. Khi đó hình học của vũ trụ là hyperbolic.

Với một hằng số vũ trụ khác 0, số phận của vũ trụ có thể sẽ khác trong từng trường hợp nói trên, và điều đó phụ thuộc vào các giá trị của cả hai tham số W và l.

Hình học của vũ trụ được xác định bởi chỗ vũ trụ 3 chiều tiến hoá như thế nào theo thời gian. Một vũ trụ có dạng cầu giãn nở và sau đó bắt đầu co về chính nó – một vũ trụ với W > 1 – sẽ vẽ ra một đường cycloid biến thiên theo thời gian (trong trường hợp này, tại bất kỳ một thời điểm nào, vũ trụ được thể hiện bằng một hình tròn; chúng ta phải bỏ bớt chiều của không gian để có thể minh hoạ điều này trên giấy). Bức tranh của một vũ trụ như thế được trình bầy dưới đây.

(Hình 14-2: Một điểm trên đường tròn chuyển động sẽ vẽ ra một đường cycloid)

Một vũ trụ phẳng, nghĩa là vũ trụ có W = 1, sẽ giãn nở với tốc độ giảm dần.

Một vũ trụ có W < 1 sẽ giãn nở với tốc độ tăng dần như hình ảnh dưới đây.

(Hình 14-3: Vũ trụ có W < 1 sẽ giãn nở gia tốc)

Nhưng điều gì sẽ xẩy ra nếu còn có một yếu tố nào khác nữa trong vũ trụ ảnh hưởng đến sự giãn nở, đến hình học và số phận của vũ trụ ? Nếu một dạng “năng lượng kỳ quặc” nào đó có mặt khắp không gian, một cái gì đó mà chúng ta không thể nhìn thấy hoặc cảm thấy hoặc phát hiện thấy, nhưng nó tác động lên chính cái cơ cấu không-thời-gian đó, làm cho nó giãn nở nhanh hơn lẽ ra nó có thể, thì khi đó vật chất và lực hấp dẫn sinh ra bởi vật chất đó không còn là những tác động duy nhất nữa. Ở đây, có thể còn có một cái gì đó nữa cùng hiện diện.

Trong khi giả định khả năng này có thể xẩy ra, các nhà khoa học ngả về ý định thay đổi định nghĩa của W. Thông số này, một thông số đóng vai trò chủ yếu đối với vũ trụ, đã được gán cho một một ý nghĩa phóng khoáng hơn nhằm tính đến những yếu tố chưa được biết. Các nhà vũ trụ học quyết định chia đại lượng W thành nhiều phần: một phần do vật chất thông thường gây ra, và một phần khác do một cái gì đó gắn với hằng số vũ trụ của Einstein gây ra. Khi đó thông số xác định hình học của vũ trụ sẽ được chia ra thành các phần như sau: W = W_M + W_λ . Trong khi W xác định hình học của vũ trụ, thì số phận của vũ trụ lại được xác định chủ yếu bởi “năng lượng kỳ quặc” W_λ. Năng lượng của hằng số vũ trụ của Einstein có khả năng vô cùng lớn đến nỗi nó có thể đẩy vũ trụ giãn nở mãi mãi, hầu như bất chấp giá trị của số hạng W_M ra sao.

Khả năng xác định cả dạng hình học lẫn số phận của vũ trụ chính là động cơ thiết lập Dự án vũ trụ học về siêu tân tinh (Supernova Cosmology Project) năm 1988 bởi Saul Perlmutter và các cộng sự của ông. Những nhà khoa học này muốn sử dụng các quan sát thiên văn để cố gắng ước lượng giá trị của các thông số W. Họ sẽ hoàn tất nhiệm vụ này bằng cách nghiên cứu sự cong của ánh sáng “các ngọn nến tiêu chuẩn” của họ – các siêu tân tinh Loại Ia. Nhưng kết quả mà nhóm các nhà thiên văn tài tình này thu được đã vượt quá xa dự kiến của mọi người. Sau khi thu thập các số liệu quan sát và tiến hành tính toán trong vài năm trời, nhóm nghiên cứu đã nhìn thấy rõ rằng có một lực chưa biết nào đó, với một độ lớn trước đây chưa từng quan sát được hoặc chưa từng nghĩ đến, đóng một vai trò rõ rệt trong vũ trụ. Giá trị W_M nhỏ hơn ta tưởng rất nhiều. Các ngôi sao bùng nổ vào khoảng giữa thời gian kể từ khi vũ trụ ra đời đến nay đang kể lại cho chúng ta một câu chuyện dị thường: không có đủ khối lượng trong vũ trụ để bảo vệ cho bất kỳ lý thuyết nào dựa trên khối lượng, và nhất thiết phải có một lực nào đó không nhìn thấy đẩy mọi thứ chuyển động tách xa nhau ngày càng nhanh hơn. Hằng số vũ trụ của Einstein và số hạng tương ứng với nó, W_λ, có một ý nghĩa không thể lường hết. Nhưng những khám phá này đang nói gì với chúng ta về vũ trụ?

(Hình 14-4: Ba mô hình hình học và số phận của vũ trụ)

//