Phương trình của Chúa
Chương 7: KHOẢNG CÁCH CỦA RIEMANN
Một nhà hình học như Riemann có thể hầu như đã thấy trước những đặc trưng quan trọng hơn của thế giới hiện thực (Arthur S. Eddington)
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) là con thứ hai trong sáu người con của một vị mục sư tin lành tại một ngôi làng nhỏ ở Breselenz trong vùng lân cận của thành phố Hanover thuộc Đức. Riemann lớn lên trong những điều kiện sinh hoạt khiêm tốn và chịu đựng ốm yếu suốt cả cuộc đời ngắn ngủi của mình. Nghe nói rằng nếu Riemann có sức khoẻ tốt hơn và sống lâu thêm chút nữa, thì sự phát triển của một số ngành toán học có thể đã tăng tốc hơn nhiều.
Lúc 6 tuổi cậu bé Riemann đã bắt đầu thể hiện dấu hiệu thiên tài toán học khi cậu không những giải được bất kỳ một bài toán số học nào các thầy giáo giao cho, mà còn nêu lên những bài toán thách thức các thầy giáo đó. Lên 10, Riemann theo học toán của một thầy giáo có nhiều kinh nghiệm, ông này phát hiện thấy lời giải của Riemann còn tốt hơn của chính ông. Năm 14 tuổi, Riemann đã phát minh ra một kiểu lịch vĩnh cửu làm quà tặng bố mẹ.
Bernhard Riemann là một cậu bé rất nhút nhát, và cậu cố gắng vượt qua tính cả thẹn này bằng cách chuẩn bị thật kỹ lưỡng cho mọi dịp phải nói năng trước mặt mọi người. Từ một cậu bé ngây thơ, cậu đã trở thành một kẻ kỹ tính không để bất kỳ một mẩu công việc nào cho người khác biết, chừng nào công việc đó đạt tới độ hoàn mỹ mới thôi. Cái tính cẩn thận tránh làm cho người khác phải ngỡ ngàng này sẽ đóng một vai trò quan trọng trong cuộc đời nghiên cứu của Riemann sau này.
Năm 1846, chàng thanh niên 19 tuổi Riemann đỗ vào Đại học Gottingen nổi tiếng để học thần học. Quyết định của anh xuất phát từ động cơ làm vừa lòng ông bố, người muốn anh noi theo ông để trở thành tăng lữ. Nhưng chàng thanh niên Riemann nhanh chóng bị thu hút bởi những bài giảng toán học của những nhà toán học lỗi lạc giảng dạy tại trường đại học này, trong đó có Gauss vĩ đại. Với sự cho phép miễn cưỡng của cha, Riemann chuyển sang ngành toán. Sau một năm ở Gottingen, Riemann chuyển về Đại học Berlin, ở đó anh nhận được một nền giáo dục toán học xuất sắc, tư tưởng của anh tiến xa hơn thông qua bài giảng của các nhà toán học nổi tiếng như Jacobi, Steiner, Dirichlet, Eisenstein, và những người khác. Anh học 2 năm ở đại học Berlin. Sau đó có những thay đổi chính trị đột ngột trong năm 1848 và Riemann bị tuyển mộ vào quân đoàn sinh viên, có lần đã phải canh giữ trong cung điện nhà vua 16 giờ liền để đề phòng những người biểu tình giận dữ.
Năm 1849, Riemann trở lại Đại học Gottingen để làm luận án tiến sĩ. Người hướng dẫn luận án tiến sĩ của ông là Karl Friedrich Gauss. Riemann đã có một đóng góp quan trọng cho hình học, và tiếp tục làm công trình về lý thuyết số. Riemann nổi tiếng với hàm zeta mà ông phát minh, một lý thuyết giúp nghiên cứu số nguyên tố thông qua giải tích hàm phức. Bài toán tìm những giá trị của một biến phức sao cho hàm zeta triệt tiêu đã trở thành một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong toán học. Năm 1850, sau khi xem xét những bài toán trong nhiều lĩnh vực của toán học cũng như vật lý, Riemann đi đến một niềm tin triết học sâu sắc rằng cần phải thiết lập một lý thuyết toán học đầy đủ, một lý thuyết chứa đựng những định luật cơ bản chi phối các điểm và biến đổi những định luật đó về dạng tổng quát gọi là plenum – ngụ ý một không gian được lấp kín liên tục. Cuối cùng tư tưởng này đã cho phép ông tạo ra một đột phá quan trọng trong toán học – một đột phá tạo nên một cuộc cách mạng đối với tương lai của toàn bộ vật lý học một thế kỷ sau đó.
Đầu tháng 11 năm 1851, Riemann trình bầy luận án tiến sĩ trước mặt Gauss, người hướng dẫn luận án, với tiêu đề Cơ sở của lý thuyết tổng quát của hàm biến phức. Công trình có một trình độ cao và thể hiện một đóng góp lớn đối với tri thức đến nỗi Gauss phải ca ngợi hết lời, một sự ca ngợi dành cho công trình của một người không phải là chính ông – một cử chỉ chưa từng có và cũng sẽ không bao giờ lặp lại. Và đây là dấu hiệu của những sự kiện trọng đại sẽ xẩy ra, mặc dù chỉ không lâu sau đó cả Gauss lẫn Riemann đều sẽ từ giã cõi đời.
Năm 1854, Riemann lần đầu tiên được bổ nhiệm giảng dạy tại Đại học Gottingen với tư cách một giảng viên được trả lương bằng tiền của chính sinh viên đóng góp (đây là vị trí thông thường đầu tiên của các giảng viên tại các đại học ở Đức). Đó là một thủ tục truyền thống tại các đại học ở Đức thời gian đó nhằm mục đích yêu cầu mọi giảng viên phải trình bầy một công trình chưa được công bố với hội đồng khoa học của nhà trường như một nghi thức bắt đầu (một công trình như thế được gọi là một Habilitationschrift). Và Riemann, người đã có những đóng góp quan trọng trong giải tích hàm biến phức và các lĩnh vực khác, đã chuẩn bị trình bầy bài giảng thử rất kỹ càng với một sự hoàn mỹ theo thói quen vốn có của ông. Con sư tử già Gauss và mọi nhà toán học xuất sắc tại trường đại học đều có mặt ở đó để nghe thuyết trình.
Riemann làm việc không ngừng nghỉ với một sự khó tính cỗ hữu của ông. Theo truyền thống, ông phải đưa cho hội đồng khoa học ba chủ đề nghiên cứu khác nhau, xếp hạng theo thứ tự ưa thích của ông, để xem xét và ấn định một công trình ông phải trình bầy. Hai lựa chọn đầu tiên của ông thuộc những lĩnh vực nghiên cứu sở trường của ông, và Riemann hy vọng rằng một trong hai chủ đề đó sẽ được chọn. Chủ đề thứ ba thuộc về hình học, nhưng ông chuẩn bị không được kỹ lắm. Thông thường, hội đồng khoa học ấn định chủ đề thứ nhất cho người dự thi, hoặc ít ra cũng là chủ đề thứ hai, chứ không mấy khi chọn chủ đề thứ ba. Vì thế Riemann dồn hết công sức để chuẩn bị hai chủ đề đầu tiên đến mức hoàn mỹ.
Nhưng Gauss suy nghĩ khác. Hãy nhớ lại rằng Gauss đã từng ấp ủ vấn đề tiên đề 5 của Euclid và hình học phi-Euclid trong nhiều năm trời, trong khi Bolyai và Lobachevsky đã phát triển lý thuyết trong lĩnh vực này. Gauss, trong những suy nghĩ về hình học, đã phát triển một tư tưởng về độ cong. Ông đã xác định độ cong của không gian Euclid (phẳng) là zero, độ cong của mặt cầu là dương, và độ cong của mặt hyperbolic (“trái ngược” với mặt cầu) là âm.
Gauss biết rõ tài năng của Riemann, và nghĩ rằng người bạn trẻ này có thể sẽ tạo ra một đột phá. Và thế là Gauss ấn định Riemann trình bầy chủ đề thứ ba.
Để trình bầy, Riemann đã phát triển một lý thuyết hoàn toàn mới. Ông đã vun trồng những hạt giống của nó từ lâu. Trong khi nghiên cứu các lĩnh vực số phức và lý thuyết số, Riemann đã dành một phần thời gian dư thừa để theo đuổi những tư tưởng của ông về không gian, và do đó đã nghiên cứu một cách hoàn toàn độc lập khái niệm của Gauss về độ cong cùng với những khái niệm của Bolyai và Lobachevski. Ông cảm nhận lờ mờ rằng một lý thuyết rộng lớn, có khả năng thâu tóm vẫn nằm đằng sau tất cả những khái niệm về không gian và hình học khác biệt này. Phải chăng có thể thống nhất các lý thuyết đó vào trong một nguyên lý mới mang tính tổng quát? Ý nghĩ này từ trước đến nay vẫn chỉ nằm trong óc ông mà thôi, vì ông còn mải theo đuổi các bài toán trong những lĩnh vực khác. Ông không biết liệu có thể tổng quát hoá được hay không, trong khi buổi thuyết trình đã tới gần rồi. Cuối cùng thì ngày đó đã tới, bài giảng thử của một giảng viên đại học đã được nộp lên các giáo sư kỳ cựu. Bài thuyết trình của Riemann đã trở thành một lý thuyết làm thay đổi bộ mặt của cả hình học lẫn vật lý học mãi mãi. Tư tưởng đột phá của Riemann là gì vậy?
Riemann là một trong những nhà toán học thuần tuý xuất sắc nhất trong thế kỷ của ông. Nhưng tư duy của ông còn vượt xa tư duy toán học thuần tuý. Trong đáy sâu ý nghĩ của ông luôn luôn bùng cháy khát vọng hiểu được bản chất của thế giới vật lý xung quanh mình. Đi trước thuyết tương đối và vũ trụ học hiện đại, Riemann biết rằng muốn hiểu rõ bản chất của thế giới vật lý thì phải hiểu rõ bản chất của không gian. Và không gian theo ông là hình học. Do đó, Riemann quan tâm đến việc mô tả các định luật vật lý vì chúng gắn liền với hình học của không gian mà chúng ta đang sống trong đó. Ông luôn luôn là một người làm công việc tổng quát hoá, không thích những chi tiết vụn vặt và những việc lao dịch buồn tẻ mà chỉ ưa thích lý thuyết trừu tượng và tổng quát. Riemann biết rằng có ba loại hình học: Euclid, hyperbolic, và elliptic hoặc cầu. Nhưng ông cũng biết rằng hình học của một mặt có thể thay đổi: chẳng hạn một mặt nào đó không phải chỉ có tính chất cầu hoặc chỉ mang tính Euclid. Một mặt có thể có hình học biến đổi từ điểm này sang điểm khác. Riemann muốn có một công cụ nào đó mạnh hơn nhiều để xác định sự thay đổi đó. Ông muốn có một phương pháp xác định khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt bất kể hình học của nó thay đổi ra sao. Và đây chính là chỗ mà Riemann đã khám phá để cuối cùng đã cho phép Albert Einstein hoàn thiện thuyết tương đối tổng quát của mình.
Riemann quyết định rằng tính chất của một mặt mà ông cần hiểu rõ và tóm bắt được là khái niệm khoảng cách, hoặc còn gọi là metric. Trong không gian Euclid phẳng, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm A và C là độ dài cạnh huyền AC của tam giác vuông ABC trong đó khoảng cách dọc theo trục hoành là BC và dọc theo trục tung là AB như hình vẽ dưới đây:
Thiên tài của Riemann là tổng quát hoá khoảng cách này đối với các trường hợp trong đó không gian không còn phẳng nữa. Chẳng hạn, nếu không gian bị cong sao cho góc vuông không còn vuông nữa mà biến đổi thành góc ф , thì định lý Pythagoras c2 = a2 + b2 có thể tổng quát hoá thành công thức: c2 = a2 + b2 – 2abcosф. Tương tự như thế, Riemann đã xác định được một hàm số tổng quát cho phép đo khoảng cách ngay tức khắc (instantaneous) giữa hai điểm của một mặt, bất kể độ cong của không gian như thế nào, và thậm chí độ cong biến đổi từ điểm này tới điểm khác trên mặt đó. Bình phương hàm khoảng cách của Riemann được xác định như sau: ds2 = gμνdxμdxν, trong đó và lấy các giá trị nguyên 1, 2.
Sáu mươi năm sau, Albert Einstein sẽ dùng công thức này, với các chỉ số và lấy các giá trị nguyên 1, 2, 3, 4 và tính toán đối với không-thời-gian 4 chiều (3 chiều không gian và 1 chiều thời gian), để cuối cùng rút ra các phương trình của thuyết tương đối tổng quát. Số hạng sẽ là thành phần cốt yếu trong phương trình tensor của Einstein, mang ý nghĩa như một metric tensor (tensor khoảng cách), cho phép Einstein xác định được độ cong mà trường hấp dẫn áp đặt lên không gian của vũ trụ. Khi các chỉ số và lấy các giá trị nguyên 1, 2, 3, 4, không tính các số hạng đối xứng (dx1dx2 và dx2dx1 là như nhau) thì sẽ có tất cả 10 thành phần có mặt trong bình phương khoảng cách trong không gian 4 chiều (gồm 4 thành phần dạng gμν và 6 thành phần dạng dxμdxν).
Tư tưởng của Riemann, trình bầy trong bài giảng thử nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học, mở ra một lĩnh vực mới. Bây giờ có thể không cần bận tâm đến bất kể điều gì xẩy ra cục bộ trên một mặt và cần tập trung vào một bức tranh lớn – vì hàm khoảng cách sẽ giải quyết được tất cả. Nhưng khái niệm metric cũng có ích lợi trong việc nghiên cứu từng khu vực cục bộ của bất kỳ bề mặt nào. Điều này dẫn tới một lý thuyết hoàn toàn mới: hình học vi phân, một lĩnh vực được phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ 19. Những nghiên cứu tổng quát của nó liên quan đến lĩnh vực topo. Lý thuyết topo là khoa học nghiên cứu những không gian và hàm liên tục. Nó xem xét các vấn đề kiểu như liệu một mặt này có liên hệ hoặc được tạo ra từ một số thành phần khác không liên hệ gì với nó hay không; và liệu có thể bao phủ một không gian vô hạn bằng một số hữu hạn các tập hợp con hay không. Đây là những câu hỏi tổng quát hơn những câu hỏi nêu lên bởi hình học, nhưng có một mối liên hệ chặt chẽ giữa hai lĩnh vực này. Lý thuyết topo cũng được coi là một lĩnh vực nghiên cứu mà trong đó tính tương đương được rút ra thông qua việc sử dụng các hàm liên tục (hoạc biến dạng) –theo nghĩa này mặt chiếc bánh doughnut tương đương với mặt một cái chén có một quai, một mặt cầu tương đương với bất kỳ một mặt ba chiều khép kín nào, và mặt doughnut hai lỗ tương đương với một cái chén hai quai. Những tương đương này được giới thiệu dưới đây.
Về cơ bản, topo nói về những tính chất hình học bao phủ một bề mặt (cũng gọi là các đa tạp – manyfolds). Và trong lĩnh vực này, có thể tìm được một sự tổng quát hoá. Bằng cách nghiên cứu topo, các nhà toán học có thể đi đến những sự thật trừu tượng và tổng quát hơn những sự thật của hình học. Hai thí dụ nổi tiếng là mặt Mobius – một mặt hai chiều xoắn theo chiều thứ ba – và chai Klein – một mặt ba chiều xoắn theo chiều thứ tư. Mặt Mobius, được đặt tên theo tên của A.F.Mobius (1790 – 1868), chỉ có một phía. Mặt này được sử dụng trong các băng chuyền chuyển động để làm giảm độ mòn (vì cả “hai phía”, như thường quen gọi, đều được sử dụng liên tục). Chai Klein là một cái chai không có bên trong. Nó được đặt tên theo tên của Felix Klein (1849 – 1925). Klein là một sinh viên của Plucker, người có cảm hứng đặc biệt với tư tưởng của Riemann trình bầy trong Bài giảng thử năm 1854. Klein có một niềm cảm hứng to lớn đối với hình học và đã làm việc để mở rộng những tư tưởng hình học trong topo. Trong nhiệm vụ này, ông đã sử dụng công cụ rất mạnh của đại số là các nhóm. Sử dụng lý thuyết nhóm, Klein đã làm đối với topo cái mà Riemann đã làm đối với hình học: đạt được sự tổng quá hoá và trừu tượng hoá.
Công trình của Riemann đã đóng góp vừa trực tiếp vừa gián tiếp các thành phần chủ yếu cần thiết đối với việc hiểu thế giới vật lý. Bài giảng thử của ông, được Gauss và các đồng nghiệp của ông ở Gottingen ca ngợi như một công trình bậc thầy, đã cung cấp một công cụ trực tiếp và đặc trưng cho phép Einstein viết phương trình trường của thuyết tương đối tổng quát. Công trình của Riemann về topo, và sự gợi hứng trong công trình của ông đã cung cấp cho Klein và những người nối gót một thế kỷ sau, tạo cảm hứng cho nhà toán học Anh Roger Penrose nêu lên một định lý gây kinh ngạc. Định lý của ông, dựa trên thuyết tương đối tổng quát của Einstein, nhưng sử dụng các phương pháp tổng quát của topo, có thể giải thích được vũ trụ của chúng ta phải bắt đầu như thế nào.
Công trình hình học của Riemann, dẫn tới lý thuyết phương trình vi phân hiện đại, có thể đã đạt tới cực điểm trong những kết quả được trình bầy trong một bài thuyết trình tại Đaị học Princeton năm 1979 nhân dịp kỷ niệm 100 năm sinh nhật Einstein (công bố năm 1980) bởi nhà hình học cỡ hàng đầu thế giới, S.S Chern. Dưới tiêu đề “Tương đối và Hình Học Vi Phân Hậu-Riemann “, bài thuyết trình nêu lên luận điểm rằng tương lai của thuyết tương đối tổng quát nằm trong hướng tổng quát hoá toán học cao hơn nữa. Chern chỉ ra rằng khái niệm khoảng cách của Riemann có thể tổng quát hoá thành những khái niệm phức tạp và cao cấp hơn nữa, những khái niệm này chỉ được phát triển vào giai đoạn cuối của thế kỷ 20. Có thể những công cụ toán học mạnh hơn này – một số chưa được nghiên cứu đầy đủ – một ngày nào đó sẽ cho chúng ta thấy cách hiểu bản chất thật sự của vũ trụ. Có thể thậm chí chúng sẽ cho phép chúng ta đạt tới mục tiêu mà Einstein chưa đạt được trong phần cuối của cuộc đời của ông, bất chấp những nỗ lực bền bỉ : một lý thuyết thống nhất tất cả các lực của vật lý – “Lý thuyết về mọi thứ”.
Việc thảo luận hình học, cả trong phạm vi hẹp lẫn rộng, cũng như lý thuyết topo với những sự tổng quát hoá đẹp đẽ về hình và không gian, dẫn chúng ta tới một câu hỏi quan trọng: hình học của toàn vũ trụ mà chúng ta đang sống trong đó là cái gì ? Phải chăng chúng ta đang sống trong một quả cầu 4 chiều, hay một mặt torus, hay một chai Klein khổng lồ ? Đây là một trong những câu hỏi triết học quan trọng do thuyết tương đối tổng quát của Einstein và công trình của các nhà vũ trụ học trong thế kỷ 20 nêu lên.
Theo một nghĩa hẹp hình học Riemann cung cấp một mô hình đối với hình học phi-Euclid suy ra từ một giả định bởi Sacchery về các góc tù. Một mô hình cho dạng hình học phi-Euclid này là mặt cầu ba chiều. Ở đây, tổng các góc trong tam giác lớn hơn 180 độ. Các “đường” trong hình học này – những đường cong có khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt cầu đó – là những đường tròn lớn. Một tam giác có một đỉnh ở bắc cực và hai đỉnh trên đường xích đạo, các cạnh bao gồm hai kinh tuyến và đường xích đạo, rõ ràng là có tổng ba góc lớn hơn 180 độ. Một đường tròn trong hình học này sẽ có chu vi nhỏ hơn tích của Pi và đường kính. Do đó một mặt cầu khi được nhìn như một vật thể bốn chiều sẽ cung cấp một mô hình cho vũ trụ phi-Euclid dạng đặc biệt này. Không gian Euclid bốn chiều mở là một mô hình khác có thể có đối với vũ trụ trong phạm vi rộng. Nhưng làm thế nào để biết một không gian bốn chiều là phi-Euclid theo ý nghĩa của hình học Bolyai và Lobachevsky ? Ở đây, như trước đây đã nhận xét, tổng các góc trong tam giác nhỏ hơn 180 độ, và chu vi của một đường tròn lớn hơn tích của Pi và đường kính. Trong không gian Euclid phẳng có độ cong bằng zero, và mặt cầu hoặc mặt elliptic có độ cong dương, thì độ cong của hình học Bolyai-Lobachevski là âm. Làm thế nào để chúng ta nhìn thấy một không gian như thế ?
Năm 1868, nhà toán học Ý Eugenio Beltrami (1853 – 1900) cung cấp một mô hình cho hình học hyperbolic này. Beltrami cũng có rất nhiều cảm hứng với công trình vĩ đại của Riemann, và ông tìm mọi cách để trông thấy một không gian thực tế biểu lộ các tính chất Bolyai-Lobachevssky. Cuối cùng Beltrami cũng tìm ra một không gian như thế, được ông đặt tên là mặt giả cầu (pseudosphere), vì nó có một ý nghĩa trái ngược với mặt cầu: độ cong của nó tại mọi điểm đều âm. Mặt giả cầu thu được trong không gian 3 chiều bằng cách quay tròn một đường tractix như được mô tả trong hình vẽ dưới đây
Hình học của vũ trụ của chúng ta, trong không gian 4 chiều, có thể là một sự tổng quát hoá của một trong ba hình đã nêu ở trên. Nhưng đó là hình nào?
Tài năng xuất chúng và thói kỹ tính của Riemann không thể không trả giá. Vì ông quá giỏi nên Gauss hối thúc ông, và đối với những gì ông đã tạo ra dưới áp lực đó, thế giới toán học và toàn bộ khoa học vật lý phải biết ơn ông. Nhưng cái áp lực đó, áp dụng với một người có khuynh hướng tự thúc ép mình đi tới tận cùng, đè nặng lên sức khoẻ vốn ốm yếu của Riemann, dẫn đến sự ngã quỵ về thể xác. Thậm chí sự hoan nghênh nồng nhiệt vượt mức thông thường dành cho Bài giảng thử của ông, với tiêu đề Về những giả thuyết đối với nền tảng của hình học, cũng không thể cải thiện được sức khoẻ của ông. Riemann viết cho bố rằng những nghiên cứu cực kỳ khó khăn chuẩn bị cho Bài giảng thử và những nghiên cứu khác của ông trong vật lý toán và lý thuyết hàm đã làm ông đổ bệnh. Ông không thể làm bất kỳ việc gì thêm nữa trong vài tuần nếu thời tiết không khá hơn. Để hồi phục, Riemann thuê một ngôi nhà có một khoảnh vườn, và cố gắng dành nhiều thời gian ra ngoài vườn, xa cách những căn phòng ngộp hơi mà ở đó ông làm việc hàng giờ cho tới cùng.
Bài giảng thử có một thắng lợi học thuật lớn lao vì những tư tưởng mới mẻ của nó. Trước hết Riemann có thể nhận được 8 sinh viên theo học, thay vì chỉ 2 hoặc 3 như thường lệ. Vì ông được sinh viên trả tiền nên thu nhập của ông có khá hơn. Năm 1857, Riemann trở thành phó giáo sư tại trường đại học, lúc tuổi 31. Chỉ 2 năm sau, Riemann trở thành người nối tiếp chiếc ghế uy tín của Gauss tại trường đại học (Gauss đã mất vài năm trước đó, và Dirichlet là người giữ chiếc ghế đó). Được lựa chọn vào vị trí của Gauss tại Gottingen là một sự phản ánh một sự kính trọng lớn mà Riemann nhận được từ các đồng nghiệp, và thực tế là từ toàn thể thế giới toán học.
Nhưng sức khoẻ của ông không được cải thiện, và năm 1862 Riemann lại bị ốm lại. Ông có những vấn đề nghiêm trọng trong phổi và chính phủ Đức trợ cấp cho ông đi du lịch đến vùng khí hậu êm dịu của Ý để bình phục. Vài năm sau, Riemann đi đi về về giữa các thành phố của Ý và Gottingen. Trở về Gottingen, ông lại đổ ốm lần nữa, trong khi ở Ý sức khoẻ đã được cải thiện. Hiểu rõ tình trạng của ông, trường Đại học Pisa đề nghị dành cho ông một chức giáo sư, nhưng Riemann suy yếu thêm và lại cố gắng quay trở về cuộc sống hàn lâm quen thuộc ở Gottingen. Sức khoẻ của ông trở nên tồi tệ nghiêm trọng. Riemann mất vì bệnh lao phổi tại một biệt thự ở Lago Maggiore tại miền bắc Ý vào tháng 7 năm 1866, thọ 39 tuổi.
PhamVietHung's Home 