Ngày 20 tháng 3 năm 1916, Einstein gửi tới tạp chí Annale der Physik công trình của ông, với phương trình R_μν – 1/2g_μνR =  – 8πGTμν , đánh dấu sự ra đời của Thuyết Tương Đối Tổng quát, một trong những khám phá vĩ đại nhất của nhân loại (lời ND, PVHg)

Phương trình của Chúa

Chương 8: BERLIN: PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG

Có hai loại nhà vật lý ở Berlin: một bên là Einstein, một bên là tất cả những người còn lại (Rudolf Ladenburg, một trong “phần còn lại”)^[1]

Ngày 3 tháng 7 năm 1913, Viện hàn lâm Phổ tại Berlin bỏ phiếu bầu Einstein làm một thành viên trong một cuộc bầu cử gồm 23 phiếu thuận 1 phiếu chống. Ngày 6 tháng 4, Einstein và gia đình chuyển đến Berlin.

Sau khi chia tay với Mileva, Einstein sống trong một căn hộ dành cho người độc thân tại số 13 Wittlesbacherstrasse trong khu vực của tầng lớp trung lưu lớp dưới của Wilmersdorf  thuộc khu tây nam Berlin. Căn hộ nằm trên một phố yên tĩnh, ba đường xe chạy, trong một toà nhà nhiều tầng kiến trúc không có gì khác biệt. Ngày nay, đây là một khu vực chung sống lẫn lộn giữa người gốc Berlin và người sinh đẻ ở nước ngoài. Có những chậu hoa với những cây phong lữ hoa đỏ thắm trang trí trên hầu hết các ban-công, xe ôtô đậu hai bên hè phố thường là các loại xe Nhật bản loại nhỏ, đời cũ, rẻ tiền  khác với những xe Mercedes, BMW trong nhiều khu vực khác của Berlin. Nhưng không có dấu hiệu nào để chỉ ra rằng nhà vật lý vĩ đại nhất của thế kỷ 20 đã có một giai đoạn sống ở đó và rằng trong một căn hộ ở tầng trên nhà vật lý đó đã sáng tạo nên thuyết tương đối tổng quát làm cả thế giới phải kinh ngạc.

Cách căn hộ này về phía bắc khoảng hai mươi phút đi bộ là khu vực thời thượng Kurfurstendamm, mà người Berlin gọi tắt là Ku’damm. Tại đây, trên một phố rộng và tấp nập đã có và vẫn có những cửa hàng đủ loại và những hiệu café theo mốt mới . Xa hơn về phía đông, đằng sau Ku’damm, là khu vườn thú Tiergarten , một trong các công viên ở giữa thành phố lớn nhất châu Âu. Những lúc ông tìm kiếm sự bình an và riêng tư, Einstein có thể đến đây và đi bộ dọc theo những hành cây sồi lớn, hoặc ngồi dưới gốc liễu trầm tư bên một dòng nước phẳng lặng nhìn đàn vịt bơi tung tăng và nghe tiếng chim đủ loại hót lanh lảnh. Ông có thể lang thang hàng giờ dọc theo những lối đi rộng của Tiergarten khó gặp được một bóng người nào. Trước đây nơi đây là vườn săn hoàng gia nơi người ta thả súc vật sống tự do để thoả mãn thú chơi săn của nhà vua.

Nếu đi bộ thông qua phía đông công viên, sau khoảng một giờ, sẽ đến trung tâm Berlin, Mitte, nơi Einstein làm việc trong một toà nhà nhà nước bằng đá mầu xám – Viện hàn lâm Phổ (Preussiche Akademie der Wissenschaften) tại số 8 phố Unter den Linden, một toà nhà lịch sự sang trọng nhất Berlin.  Đây là một toà nhà rất ấn tượng với một cái sân bên trong và vòi phun nước ở giữa, bao quanh bởi những chiếc ghế dài. Bên phải là một tấm biển kỷ niệm viết ngắn gọn về 17 năm Einstein làm việc tại đây. Bên trong cái sân hình vuông, những cây thường xuân lớn lên trên những bức tường. Ngày nay toà nhà này dành cho Thư viện nhà nước Berlin và Thư viện Phổ.

Quán café gần nhất là hai khối nhà ở phía tây Viện hàn lâm, trên phố Unter den Linden, gần Cổng Brandenburg. Quán đó được đặt tên là Café Einstein. Nhưng nếu hỏi người hầu bàn về nguồn gốc của cái tên đó, anh ta sẽ trả lời: “Chẳng có gì liên quan đến nhà vật lý nào ở đây cả”. Trong một giọng Đức nặng anh ta nói rằng Einstein đơn giản chỉ có nghĩa là ein stein – tức là “one stone” (một hòn đá). “Ông thấy đấy”, anh ta nói, “ông chủ nói trước đây ở đây chỉ có một hòn đá, và do đó ông ta xây dựng nó thành một quán café”. Phía bên kia Viện hàn lâm là toà nhà của Đại học Humbolt. Ở đó, một tấm biển kỷ niệm lớn ghi rõ rằng tại đây Max Planck đã khám phá ra một khái niệm của lý thuyết lượng tử được đặt tên theo tên của ông ta, ký hiệu là h và được trình bầy trên tấm biển đó.

Khi danh tiếng mang lại cho ông thêm của cải, và sau khi cưới Elsa, gia đình Einstein dọn đến một căn hộ khác. Ở phía đông Wilmersdorf trong một khu gần trung tâm hơn thuộc một vùng trung lưu chắc chắn, địa chỉ số 5 đường Haberlandstrasse. Ngày nay, một toà nhà mới hơn đã thay thế ngôi nhà cao lớn có căn hộ của Einstein ở đó, và không có một dấu hiệu nào cho thấy Einstein đã sống ở đó. Bên kia đường có một tấm biển kỷ niệm Rudolf Breitscheid, một bộ trường Phổ sống ở đó những năm 1932 – 1933. Cạnh nhà số 5 đường Haberlandstrasse có một dấu hiệu kỷ niệm trên đường phố cho biết người Do Thái đã bị cắt điện và nước ở đây như thế nào và tài sản của họ bị tịch thu năm 1942 ra sao.

Einstein hồi phục một cách chậm chạp sau thất bại của cuộc thám hiểm ở Crimea của Freundlich nhằm kiểm chứng lý thuyết của ông. Sau khi không còn băn khoăn về những tấm phẳng chụp hình và những chi tiết thiên văn nữa, ông đã có thể trở lại với cái mà ông có khả năng làm tốt nhất – vật lý lý thuyết. Như lịch sử đã phán xét, đây là một quyết định hết sức hợp lý. Vào năm 1914 thuyết tương đối tổng quát còn xa mới trở thành một lý thuyết hoàn thiện. Vì thế trong khi cuộc chiến tranh thế giới đang diễn ra ác liệt tại Âu châu, Einstein theo đuổi nghiên cứu một cách êm ắng. Về mặt chính trị, không có nơi nào tệ hơn đối với Einstein như ở Berlin. Vào thời gian đó không khí Berlin tràn ngập thái độ căm thù, tinh thần hăng máu chiến tranh, và bắt đầu nẩy sinh chủ nghĩa không khoan dung và chống Do Thái. Như sau này ông nhớ lại, lần đầu tiên Einstein phải đương đầu với bóng ma của chủ nghĩa chống Do Thái không phải tại trường công giáo, nơi ông là học sinh Do Thái duy nhất, cũng không phải tại trường trung học, và không phải tại Praha, mà chính là tại Berlin. Đây chỉ là sự khởi đầu của một quá trình lịch sử sẽ làm cho thủ đô của nước Đức chìm dần vào trong bóng tối. Nhưng Einstein vẫn sống trong sự bình yên đáng ngạc nhiên và có một cuộc sống cực kỳ hiệu quả tại một thành phố đang có chiến tranh, để có thể hoàn thiện lý thuyết phi thường của mình.

Về mặt trí tuệ, Einstein không thể tìm đâu ra một nơi chốn tốt hơn thế nữa, bất chấp chính trị và chiến tranh. Trong những năm ông ở Berlin, những bộ não vĩ đại nhất của vật lý trên thế giới tập trung ở đó. Những người này bao gồm Planck và Nernst, hai nhân vật khổng lồ của nền khoa học Đức; Max von Laue, người khám phá ra sự nhiễu xạ tia X; James Frank và Gustav Herz, những người khám phá ra sự va chạm của electron tốc độ cao sẽ sản ra anh sáng với những mầu xác định; và Lise Meitner, một nhà vật lý ở Vienne đã có những đóng góp về phóng xạ và là người mà Einstein phải nhận xét rằng công trình của bà đã vượt qua bà Curie. Trong những năm sau này, nhóm các nhà khoa học phi thường này được bổ xung thêm một nhà khoa học ngưới Áo khác, người phát triển lý thuyết lượng tử Erwin Schrodinger.

Do đó, bất chấp việc Einstein rất không ưa thích mọi thứ mang tính cách Phổ, bất chấp nhận thức của Einstein về tính không khoan dung và chống Do Thái, và những sự kiện chẳng hài lòng gì về chiến tranh, cuộc sống chuyên môn của Einstein vẫn trở nên thịnh vượng. Các thành viên của hội đồng khoa học của Viện hàn lâm theo thông lệ vẫn gặp gỡ hàng tuần để thảo luận các chủ đề nghiên cứu mới, và Einstein có mặt trong hầu hết các cuộc họp mặt đó. Ông thường nêu lên những câu hỏi thách thức tư duy và tham gia tích cực vào các cuộc thảo luận đó, hoàn toàn không nhằm gây ra sự chú ý đối với cá nhân ông. Tác phong này giữ mãi trong giai đoạn ông ở Berlin và cả sau khi ông đã trở thành một nhân vật quốc tế. Bất chấp tính dễ chan hoà của ông, một bản chất dễ dãi hay cười và tốt bụng, và sự tham gia của ông vào những sự kiện và các cuộc tụ họp xã hội, một số người mô tả ông như một kẻ lãnh đạm. “Những người tóc vàng lạnh lùng này làm tôi cảm thấy không thoải mái; họ không hiểu biết tâm lý của những người khác”, một lần ông giải bầy với một người bạn ^[2]. Nhưng những ứng xử đó là điều dễ hiểu. Lúc này Einstein đang ở trong giai đoạn cuối trong một cuộc chạy đua dài nhằm phát triển thuyết tương đối tổng quát. Ông phải cống hiến sức lực cho nhiệm vụ này, và giữ những quan hệ xã hội bắt buộc ở mức tối thiểu.

Cuộc chạy đua để hoàn thành thuyết tương đối tổng quát là một câu chuyện về sự thử thách và những sai lầm toán học trong quá trình giải quyết những thách đố vĩ đại của vật chất và trường hấp dẫn, mà Einstein đã biểu diễn với một tốc độ phi thường không thể hiểu nổi trong vòng một tháng: tháng 11 năm 1915. Trong công trình này, Einstein đã sửa chữa được sai lầm trong công trình làm chung với Grossmann năm 1913 và tổng quát hoá hơn nữa công trình làm chung với A.Fokker, một nghiên cứu sinh làm luận án tiến sĩ tại ETH. Từ tháng 7 đến tháng 10 năm 1915, Einstein ngập sâu vào việc tháo gỡ những hạn chế nghiêm trọng mà ông đã nhận thức được trong những công trình kết hợp này.

Những phương trình ông đã nghiên cứu trong nỗ lực đạt tới một lý thuyết tương đối tổng quát về hấp dẫn không bao gồm khả năng của những chuyển động quay đồng nhất mà nghiên cứu khảo sát vật lý đòi hỏi. Các định luật vật lý cần phải được duy trì ngay cả khi hệ toạ độ thay đổi, do đó một hệ thống chuyển động quay tròn cần tuân theo cũng những định luật mà một hệ tĩnh tuân thủ. Vấn đề thứ hai là các phương trình không giải thích được độ tuế sai tổng cộng đã quan sát được (một độ lệch của trục quay) taị điểm cận nhất (điểm gần Mặt Trời nhất) của Sao Thuỷ. Vấn đề thứ ba là chứng minh của Einstein về một chi tiết kỹ thuật trong lý thuyết – tính duy nhất của Hàm Lagrange về hấp dẫn (động năng) – là không chính xác. Vấn đề thứ tư, mà Einstein không biết, là dự đoán của ông về độ lệch của tia sáng do trường hấp dẫn của Mặt Trời gây ra bị sai một nửa. Trong một cơn lốc nghiên cứu ứng dụng hình học Riemann, toàn bộ những vấn đề này được Einstein sửa chữa chỉ trong vòng tháng 11.

Ngày 4 tháng 11, Einstein gửi tới Viện hàn lâm Phổ một công trình về thuyết tương đối tổng quát. Đây là một văn bản hoàn toàn mới trong đó các phương trình hiệp biến tương ứng với các biến đổi có định thức bằng 1. Đây là một chi tiết kỹ thuật tổng quát hơn những gì đã sử dụng trong các công trình Einstein-Grossmann và Einstein-Fokker những năm trước đây. Ông thú nhận với Viện hàn lâm rằng ông đã mất niềm tin đối với các phương trình ông đã nghiên cứu trước đây và rằng chứng minh của ông trước đây dựa trên một quan niệm nhầm lẫn. Nhưng Einstein nhận ra rằng nếu ông muốn các phương trình mô tả trường hấp dẫn một cách đúng đắn  thì ông cần một sự tổng quát hoá cao hơn rất nhiều. Tại điểm này, tiến bộ mà ông đạt được trong công trình với Grossmann hai năm trước đây là không đáng kể. Cái bây giờ cần phải có là một bước nhẩy khổng lồ trong hiểu biết lý thuyết đối với các định luật của tự nhiên, và một bước nhẩy tương ứng trong mức độ phức tạp của toán học. Tại đây, Einstein có thể sử dụng sức mạnh đầy đủ của hình học Riemann cũng như những công trình của các nhà toán học Ý Ricci, Levi-Chivita, và Luigi Bianchi (1856 –1928). Einstein không hề biết đến các đẳng thức tensor mà Bianchi đã nghiên cứu – do đó ông đã tự khám phá ra chúng theo cách riêng trong quá trình một tháng làm việc hết sức căng thẳng.

Einstein đã bị bối rối bởi những khó khăn kỹ thuật tưởng chừng không thể vượt qua. Ngày 11 tháng 11, làm việc ráo riết với bài toán này, ông đã vô ý đi một bước ngược. Trong khi đặt ra một sự hạn chế không cần thiết đối với các phương trình của mình, Einstein đi đến một kết thúc với những phương trình không thích đáng giống hệt như ông đã tìm thấy một tuần trước đó. Thế là ông quay trở về bước xuất phát.

Ngày 18 tháng 11, Einstein đặt một điều kiện được gọi là bất biến mô-đun-tổng-hợp (unimodular invariance) và thực hiện một số biến đổi toán học dường như dẫn tới một kết quả hoàn toàn mới. Trong phút sửng sờ bừng tỉnh, ông khám phá ra rằng phương trình mới đã giải thích một cách chính xác độ dịch chuyển của điểm cận nhật cuả Sao Thủy. Tính toán của ông dựa trên lý thuyết phù hợp với cái mà các nhà thiên văn đã quan sát được về quỹ đạo của hành tinh này. Lúc này Einstein đã có ít nhất một sự xác nhận đối với một phần trong lý thuyết của ông. “Trong vài ngày, tôi sống trong một tâm trạng bị kích thích sung sướng cao độ”, ông viết trong một thư cho Ehrenfest. Sau này ông sử dụng một tài liệu kết quả thiên văn để cùng với Freundlich công bố một bài báo giải thích góc tuế sai của điểm cận nhật của Sao Thủy dựa trên lý thuyết của ông.

Nhưng trong khi thuyết tương đối tổng quát – trong dạng áp chót vừa mới tìm thấy – đã giải thích được một thách đố thiên văn tồn tại từ lâu, thì bản thân nó vẫn chưa đủ trở thành một khám phá đưa vấn đề tương đối đến toàn thế giới. Sự khác biệt này phụ thuộc vào hiện tượng mà Einstein bận tâm nhiều nhất: tính cong của không gian, làm cho tia sáng bị bẻ cong xung quanh những đường viền không nhìn thấy. Nhưng ở đây, một đột phá lý thuyết lớn đã xẩy ra đúng vào lúc Einstein giải thích bài toán điểm cận nhật. Ngày 18 tháng 11, Einstein dành một nửa trang trong công trình của ông để thông báo một khám phá thứ hai rút ra từ những phương trình đã cải tiến của ông nhằm mô tả trường hấp dẫn: sự cong của ánh sáng được giả thiết từ bẩy năm trước phải có một độ lớn là 1,75 giây đối với một tia sáng đi sát mép Mặt Trời, thay vì chỉ bằng một nửa độ lớn đó như trước đây ông đã tính. Ở đây Einstein đã hoàn toàn áp dụng tư tưởng cho rằng không gian bản thân nó cong do trường hấp dẫn, thay vì chỉ sử dụng các khái niệm hấp dẫn của Newton với đặc trưng bổ xung cuả khảo sát lượng tử ánh sáng – một photon – như một hạt có khối lượng.

Einstein tiếp tục làm việc say sưa – lúc này ông đã đến rất-rất gần phương trình cuối cùng – phương trình mô tả không-thời-gian sẽ bị cong ra sao dưới tác dụng của trường hấp dẫn. Ông biết rằng ở đây ông đã có một cuộc cạnh tranh dữ dội cũng như một sự chống đối độc địa từ một số nhà khoa học. Trong số này có Max Abraham (1875 – 1922), người chống đối thuyết tương đối về mặt triết học, Gustav Mie (1868 – 1957), người đã phát triển một lý thuyết khác cố gắng giải thích khối lượng và hấp dẫn tương tác với các hiện tượng điện từ ra sao, và người cạnh tranh kiên quyết của ông là Nordstrom, với lý thuyết có những điểm tương tự với Einstein nhưng thiếu sức mạnh đầy đủ của tính tương đối, như lịch sử sau này đã phán xét. Ngày 7 tháng 8 năm 1914, Einstein viết cho Freundlich, than phiền một cách cay đắng về một số đối thủ của ông và lý thuyết của họ: “Xem xét lý thuyết hấp dẫn của Nordstrom, trong đó độ lớn góc lệch của tia sáng không phải là vấn đề quan trọng, chúng ta có thể thấy được xây dựng trên không gian Euclid bốn chiều cố hữu, mà theo ý nghĩ của tôi đó là một dạng mê tín. Mới đây Mie bắt đầu một cuộc luận chiến ác ý chống lại lý thuyết của tôi trong đó cho rõ ràng là những quan điểm đã nói ở trên là có thể thấy rõ. Tôi rất vui mừng khi thấy các đồng nghiệp của chúng ta bận bịu với lý thuyết của tôi – thậm chí nếu bận bịu vì hy vọng giết chết nó”.

Một năm sau, Einstein không hề hay biết rằng bây giờ mình lại có thêm một đối thủ mới – một nhà toán học sáng chói mà Einstein vẫn coi là một tên tuổi xuất sắc. Đó chính là David Hilbert (1862 – 1943) nổi tiếng. Ngày 7 tháng 11, Einstein gửi cho Hilbert những chứng minh trong công trình của ông trong đó đã rút ra những phương trình trường hấp dẫn sau khi nhận ra rằng phương pháp của ông trước đây là sai ^[3]. Sau đó ông tiếp tục gửi tới Hilbert những cách giải những phương trình này khi chúng tiến triển, và chúng ta được biết Hilbert đã có mặt trong một buổi nói chuyện của Einstein về những nghiên cứu tiếp tục của ông đối với thuyết tương đối tổng quát tại Đại học Gottingen, nơi Hilbert là một giáo sư toán học. Sau này, Hilbert đã chúc mừng Einstein vì khám phá đột phá của ông về nguyên nhân của dịch chuyển điểm cận nhật. Sau khi đã nhìn và nghe Einstein giải thích công trình của chính Einstein, Hilbert bèn đi đến kết luận rằng công trình nghiên cứu riêng của ông tại Gottingen cũng đi đến những phương trình tương tự như sản phẩm cuối cùng của Einstein. Tám năm sau, môt uỷ ban khoa học đã làm rõ mọi việc đối với cả hai người để loại trừ bất kỳ một sự nghi ngờ nào trong việc người này có thể lấy công trình của người kia để biến thành công trình của mình. Uỷ ban này nhận định rằng những phương trình của Hilbert có thể xem như một ghi chú thú vị cho các phương trình trường của Einstein, vì cách giải của Einstein là hợp lý, đầy đủ và hoàn toàn chính xác. Công trình của Hilbert chỉ là một sự chi tiết hoá toán học cục bộ trong lược đồ tổng quát của Einstein.

Năm 1917 Hilbert viết rằng công trình của ông đã nhận được sự giúp đỡ đắc lực của Emmy Nother (1882 – 1935), người đã tiếp tục làm việc với ông sau khi đã tìm ra những kết quả tương đối tổng quát. Nhưng Einstein cũng được giúp đỡ bởi công trình của Nother, người mà ông đã ca ngợi sau cái chết năm 1935 của bà như sau: “Theo nhận định của phần lớn các nhà toán học xuất sắc đang còn sống, Fraulein Nother là một thiên tài toán học có những sáng tạo xuất sắc, kể từ khi nền giáo dục cao cấp dành cho phụ nữ bắt đầu có hiệu lực” ^[4].

Einstein có lý do đúng đắn để mô tả Emmy Nother trong những từ ngữ sáng chói như thế, vì nhờ định lý của bà mà Einstein đã rút ra hai hệ quả quan trọng cho phương trình trường hấp dẫn của ông. Hệ quả thứ nhất là quan hệ bảo tồn đối với tensor momen năng lượng T. Đây là một tính chất vật lý cần thiết đối với phương trình trường, nhưng Einstein lúc đầu không chấp nhận nó vì đã sử dụng một điều kiện toạ độ toán học sai lầm. Hệ quả thứ hai được gọi là những đẳng thức Bianchi thu gọn. Những đẳng thức này chứa đựng những điều kiện kỹ thuật quan trọng mà sự hiệp biến tổng quát được duy trì: tính cong cho phép các định luật vật lý không thay đổi ngay cả khi hệ toạ độ chuyển động. Trong khi Einstein rút ra mối quan hệ liên quan đến tensor Ricci và tensor khoảng cách g theo cách riêng của mình, mối quan hệ đã thực sự được rút ra từ năm 1880 bởi nhà toán học Đức Aurel Voss (1845 – 1931), nhưng chứng minh của ông không gây nên sự chú ý vào thời đó và do đó định lý của ông đã được tái khám phá bởi nhà toán học người Ý Luigi Bianchi (1856 – 1928). Cả hai kết quả này đều là hệ quả tất yếu của các định lý tổng quát hơn của Nother. Thật thú vị để thấy rằng Emmy Nother – trực tiếp trong trường hợp thứ nhất và gián tiếp trong trường hợp thứ hai – cuối cùng đã giúp cả hai đối thủ cạnh tranh trong cuộc chạy đua tìm ra những phương trình của thuyết tương đối tổng quát: Hilbert và Einstein.

Năm 1997, cuộc tranh luận về quyền tác giả của phương trình trường đi đến một kết luận xác định thông qua nghiên cứu của L.Corry, J.Renn, và J.Stachel, “Kết luận tối hậu về cuộc tranh luận quyền tác giả Hilbert-Einstein” trên tạp chí Science, tập 278 ngày 14 tháng 11 năm 1997, trang 1270-3. Các tác giả đã tiến hành một cuộc nghiên cứu các văn khố, phát hiện thấy một loạt các chứng minh nguyên thuỷ từ trước đến nay không ai để ý đến trong bản thảo của Hilbert gửi tới tạp chí của Hội khoa học Gottingen ngày 16 tháng 12 năm 1915. Bản thảo này phủ nhận bất kỳ khả năng nào Einstein có thể lấy cắp công trình của Hilbert, và hơn nữa khẳng định rằng Einstein đã rút ra phương trình một cách chính xác, trong khi cách giải của Hilbert không dẫn đến một kết quả nào dưới dạng một phương trình chính xác, mãi cho đến sau khi công trình của Einstein đã được công bố. Trong các chứng minh, Hilbert lý luận rằng phương trình của ông không hiệp biến một cách tổng quát, như nội dung tương đối tính của một lý thuyết đúng đắn về trường hấp dẫn đòi hỏi.

Phương trình trường của Einstein có 10 thành phần, những thành phần này có thể nhìn thấy bằng việc cân nhắc xem xét ảnh hưởng lẫn nhau giữa 4 biến số không-thời-gian, trừ bớt những phần thừa dư (4 x 4 – 6 = 10). Trong khi đó Hilbert rút ra 14 thành phần cho phương trình trường hấp dẫn của ông, và bốn thành phần bổ xung không hiệp biến, như chính ông đã lưu ý. Hilbert cần bốn thành phần bổ xung  để bảo đảm tính chất của nguyên nhân bên trong phương trình của mình. Làm điều đó, ông để mất tính hiệp biến quan trọng – điều đó có nghĩa là phương trình của ông có một sự phụ thuộc không mong muốn vào hệ toạ độ – một điều không thể có đối với các định luật vật lý đúng đắn. Trong khi đó Einstein lại có ngay điều đó, đơn giản chỉ với 10 thành phần. Khi công trình của Einstein được công bố, Hilbert tuyên bố rằng không cần thiết phải tính toán để thu được một phương trình hiệp biến đầy đủ với 10 thành phần. Sau này, ông rút lại nhận định đó, thừa nhận công trình của Einstein là cần thiết.

Có một thủ thuật toán học mà nhà vật lý Einstein biết rõ, trong khi Hilbert, một trong những nhà toán học lớn nhất của mọi thời đại, lại không biết. Đó là sự rút gọn của một tensor chủ yếu, tensor Ricci, và đưa “trace–yếu tố đặc trưng” ^(8-1) của tensor rút gọn vào trong phương trình. Einstein đã làm điều này điều này trước khi công bố công trình, trong khi Hilbert chỉ biết được điều đó sau khi ông đã nhìn thấy công trình của Einstein. Thật vậy, trong khi xem xét công trình của Hilbert được công bố trước công trình của Einstein, các nhà nghiên cứu thấy bản thảo gốc của Hilbert chứa đựng sai lầm. Bản thảo sau này được sửa chữa chỉ sau khi Hilbert đã nhìn thấy công trình hoàn toàn chính xác của Einstein. Có thể hiểu được vì sao Einstein rất giận dữ về cái mà ông biết chắc là một sự đạo văn của một đồng nghiệp mà ông tin tưởng. Tuy nhiên, sự nổi giận của ông cũng thuyên giảm đủ mức và ngày 20 tháng 12 năm 1915, Einstein viết cho Hilbert:

“Đã có điều không vui nhất định giữa chúng ta, tôi không muốn phân tích thêm nguyên nhân của nó nữa. Tôi đã đấu tranh chống lại cảm giác cay đắng dính dáng tới chuyện đó, và tôi đã đạt được thắng lợi hoàn toàn. Tôi nghĩ lại về ngài với một tinh thần thân ái không suy giảm và mong ngài cũng đối với như thế”. Với bài báo của Corry, Renn, Stachel, vấn đề đã được cho qua. Thuyết tương đối tổng quát là của Einstein và chỉ Einstein mà thôi.

Các nhà lịch sử khoa học phải đối mặt với một nhiệm vụ rất khó khăn là cố gắng tái hiện từng bước khám phá phi thường của Einstein về các định luật của thuyết tương đối tổng quát. Trong khi xuất bản cuốn Những công trình tuyển chọn của Albert Einstein (The Collected Papers of Albert Einstein), dự án bao gồm nhiều tập do John Stachel và các cộng sự của ông trong nhiều năm qua, các nhà nghiên cứu đã tình cờ tìm thấy một cuốn sổ chứa đựng những ghi chép bằng tay của Einstein trong mùa hè 1912 và mùa xuân 1913 khi ông ở Zurich. Năm 1984, một cộng sự của Stachel là John Norton đã công bố một công trình – dựa trên việc phân tích cuốn Sổ Ghi Chép Zurich – điều chỉnh lại những cách hiểu chưa đúng về quá trình gian khổ của Einstein trên con đường đi tới thuyết tương đối tổng quát. Tuy nhiên trong một vài phần của cuốn sổ ghi chép đó vẫn có những phần chưa rõ đối với các nhà nghiên cứu hiện đại. Năm 1997, Jurgen Renn và Tilman Sauer đã thực hiện một phân tích hệ thống đối với cuốn sổ ghi chép Zurich trong một cố gắng hiểu nó hoàn toàn. Sổ ghi chép đó, với tiêu đề “Relativitat” (Tương đối) gồm 84 trang ghi chép ngắn, các phương trình, và các tính toán với một ít giải thích hoặc không có. Do đó việc phân tích cần phải dựa trên những kiến thức cơ bản của vật lý và toán học hiện nay, những kiến thức làm nền tảng cho các phương trình. Các nhà nghiên cứu đi qua từng chi tiết nhỏ nhặt của Einstein, cố gắng xây dựng lại quá trình tư duy của ông. Và cuối cùng sự phân tích đã hé lộ một điều hết sức bất ngờ: ngay từ năm 1912, Albert Einstein đã viết ra một phương trình gần đúng với phương trình trường hấp dẫn cuối cùng mà ba năm sau ông đã chính thức tìm ra. Điều này đã xảy ra như thế nào ?

Những bước đi đầu tiên của Einstein chưa có gì chắc chắn. Ông bắt đầu bằng cách viết thành phần khoảng cách Riemann nhưng ông chưa nhất quán với cách đặt ký hiệu, ban đầu ông dùng chữ “G” to để ký hiệu tensor khoảng cách, sau này trong sổ ghi chép lại đổi thành chữ “g” nhỏ. Sau đó Einstein khảo sát các phương trình và thử nghiệm những thủ thuật toán học khác nhau nhằm làm cho tensor khoảng cách và các thành tố hấp dẫn ăn khớp với cái nền của thuyết tương đối đặc biệt trong không-thời-gian 4 chiều. Và bất thình lình ông tìm thấy kết quả: một dạng tuyến tính của phương trình trường hấp dẫn như hiện nay. Nhưng hình như Einstein nghĩ rằng phương trình này chưa chính xác – có những số hạng ông thấy phiền toái vì chúng không thoả mãn tất cả mọi đòi hỏi. Thế là ông từ bỏ phương trình đó và tốn rất nhiều thời gian trong những năm tiếp theo để theo đuổi một chương trình nghiên cứu dẫn tới hết ngõ cụt này đến ngõ cụt khác. Năm 1915, có thể không biết rằng ba năm trước ông đã có một phương trình trong tay, ông lại tái khám phá ra nó một lần nữa – lần này là một phương trình trong dạng đầy đủ và thoả mãn tất cả mọi điều kiện của ông.

Trong khi giải phương trình, Einstein sử dụng tensor khoảng cách của Riemann – cách đo khoảng cách trong một không gian cong: . Phương trình của ông cũng bao gồm một tensor momen năng lượng T, tensor Ricci R xác định độ cong của không thời gian, đồng thời hằng số hấp dẫn Newton G, và các số 8 và p. Trong khi những đại lượng này tạo nên một tập hợp các phương trình khác nhau, nhưng việc cô đọng ký hiệu vào trong các tensor sẽ cho phép viết ra một phương trình duy nhất, ngắn gọn và tao nhã về mặt toán học, vì mỗi tensor chứa đựng một vài thành tố. Einstein tính toán cân nhắc các tensor và những con số (những con số không phải tensor như số 8 và số p đã nói ở trên) trong đầu và trên giấy trong khi vẫn đắm đuối với khám phá giải thích vấn đề cận nhật của Sao Thủy. Giai đoạn làm việc căng thẳng cuối cùng đã diễn ra trọn một tuần. Ngày 25 tháng 11 năm 1915, trước mặt Einstein là phương trình cuối cùng mô tả không gian và thời gian, dẫn đến độ cong gây ra bởi trường hấp dẫn với tất cả các ý nghĩa của nó. Ông viết ra phương trình :

R_μν – 1/2g_μνR =  – 8πGTμν

Ngày 20 tháng 3 năm 1916, Einstein gửi tới tạp chí Annale der Physik công trình của ông trình bầy lời giải và sự trình bầy hệ thống của thuyết tương đối tổng quát đầy đủ. Cuối năm 1916 công trình này được phổ biến và trở thành cuốn sách đầu tiên của Einstein.

Một phương trình là một tập hợp các ký hiệu và con số được sắp đặt ở hai vế của dấu bằng (=). Phương trình mô tả một quan hệ giữa các đại lượng có mặt trong phương trình. Nhưng một phương trình tự nó không cung cấp các nghiệm. Phương trình cần phải được giải. Khi Einstein đã sáng tạo ra phương trình (tensor) của ông nối liền các đại lượng khác nhau xác định các tính chất của tự nhiên, nhiệm vụ còn lại là giải phương trình đó. Theo một nghĩa nào đó, điều này là một thách thức đối với thế giới khoa học – hãy giải phương trình của tôi và sẽ biết được một cái gì đó về các luật của tự nhiên. Giải phương trình trường của Einstein có nghĩa là tìm ra cái khoảng cách (metric) thoả mãn phương trình. Có nghĩa là xác định đại lượng của khoảng cách Riemann áp dụng đối với bất kỳ tình huống nào mà phương trình đã ràng buộc.

Nếu biết “thành phần xác định đường ngắn nhất” , chúng ta sẽ biết hình dạng, độ cong của không-thời-gian trong tình huống cụ thể mà phương trình của Einstein được áp dụng. Chúng ta sẽ biết cái gọi là “đường ngắn nhất” trong không gian cong đó có hình dạng như thế nào và đường nào là đường xác định khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm. Chẳng hạn, nếu áp dụng phương trình Einstein cho mặt cầu, người ta sẽ tìm thấy “đường ngắn nhất” xác định khoảng cách ngắn nhất trong không gian này là đường tròn lớn, như mọi phi công và thuyền trưởng đều biết. Tất nhiên, phương trình được áp dụng cho những không gian phức tạp hơn, trong đó lực hấp dẫn đóng một vai trò nhất định. Nó giải thích lực hấp dẫn đã áp đặt tính cong lên không gian như thế nào.

Quá trình khám phá tự nhiên do Einstein phát động bằng phương trình trường của ông đã được hậu thế tiếp nối đến thời đại của chúng ta và sẽ còn được tiếp tục đẩy mạnh mãi mãi trong tương lai. Việc giải phương trình Einstein dẫn tới sự khám phá ra những hiện tượng mà phương trình đã tiên đoán. Những hiện tượng này bao gồm sóng hấp dẫn, sự làm cong không gian, hiện tượng “kéo khung” (frame dragging) – hiện tượng không-thời-gian bị xoáy xung quanh một vật thể có khối lượng đang chuyển động quay, đó là chưa kể đến bài toán điểm cận nhật, dịch chuyển về phía đỏ do trường hấp dẫn, và sự cong của ánh sáng. Người đầu tiên giải phương trình Einstein là một người lính trong Thế Chiến I, thậm chí trước khi lý thuyết của Einstein được công bố đầy đủ (ngoại trừ những lời giải của chính Einstein dẫn tới dịch chuyển về phía đỏ, sự cong của ánh sáng, và một số hiệu ứng khác mà Einstein tự xác định được ý nghĩa).

Ngày 16 tháng 1 năm 1916, và một lần nữa ngày 24 tháng 2 năm 1916, Einstein đọc trước Viện hàn lâm Phổ hai công trình nghiên cứu của Karl Schwarzschild (1873 – 1916), một nhà thiên văn Đức xuất sắc, giám đốc Đài quan sát thiên văn Postdam, và chính là người đầu tiên giải phương trình trường hấp dẫn của Einstein. Lời giải của Schwarzschild sau này dẫn tới những hiểu biết về hốc đen, và chủ yếu nêu lên những ngụ ý mạnh mẽ của phương trình trường của Einstein đối với vũ trụ học. Schwarzschild không thể đọc công trình của ông trước Viện hàn lâm vì vào lúc đó ông đang mòn mỏi chờ đợi trong các chiến hào của mặt trận phía đông của Thế Chiến I. Tại đó trên các mặt trận, đối mặt với quân Nga, Schwarzschild đã đọc công trình của Einstein và giải các phương trình trong đó. Ông gửi lời giải của mình về Berlin cho Einstein. Schwarzschild chết ngày 11 tháng 5 năm 1916, do một căn bệnh ông bị lây ngoài mặt trận. Ngày 29 tháng 6, Einstein đọc lời cáo phó Schwarzschild trước Viện hàn lâm Phổ.

Ngày 5 tháng 5 năm 1916, Einstein được bầu làm người thay thế Planck và trở thành chủ tịch Hội vật lý Đức. Từ đó, các đồng nghiệp của ông ở Berlin và những nơi khác trên thế giới bắt đầu nhìn ông với một sự kính trọng lớn. Kết luận của ông về các định luật của thuyết tương đối tổng quát là hoàn mỹ về lý thuyết và chất lượng của công trình không thể thoát khỏi sự chú ý của các nhà khoa học. Nhưng Einstein vẫn chưa có cái mà ông muốn có nhất: Một chứng minh bằng thực tế quan sát rằng ánh sáng bị cong xung quanh Mặt Trời. Bước cuối cùng là cần phải biến công trình của ông từ một lý thuyết đẹp đẽ thành một sự mô tả thực tế các định luật của vũ trụ. Để có điều này ông sẽ phải chờ ba năm nữa. Trong thời gian chờ đợi đó, Einstein tiếp tục công việc của mình với những thành tựu đáng kinh ngạc. Ông viết một công trình mô tả hiện tượng sóng hấp dẫn. Einstein giải phương trình trường của ông và tìm ra rằng hấp dẫn bản thân nó có thể tạo ra sóng không thể nhìn thấy hoặc cảm thấy, nhưng có thể phát hiện được bằng những dụng cụ cực kỳ nhậy. Nhiều nhà khoa học đã tốn nhiều thời gian, công sức, và tài nguyên để cố gắng phát hiện sóng hấp dẫn. Chúng ta đã đi gần tới một khám phá như thế khi các phương tiện nghiên cứu tốt hơn và chúng ta đã bắt đầu sử dụng không gian như một phòng thí nghiệm.

Tháng 7 năm 1916, Einstein quay lại làm việc với các vấn đề cơ học lượng tử. Sau vài tháng, ông viết ba công trình về đề tài này, một trong chúng trình bầy một phương pháp khác để tìm ra định luật Planck. Chính trong thời gian này, công trình của ông về cơ học lượng tử lần đầu tiên dẫn ông tới những nỗi băn khoăn đặc biệt kéo dài suốt đời ông về đặc trưng xác suất trong lý thuyết lượng tử. Sự không thoả mãn dẫn ông tới câu nói nổi tiếng thường xuyên được trích dẫn: “Tôi sẽ không bao giờ tin rằng Chúa chơi trò súc sắc với thế gian”. Tháng 12, Einstein được bổ nhiệm làm ủy viên Ban lãnh đạo Viện vật lý kỹ thuật Hoàng gia theo sắc lệnh của nhà vua Đức. Ông giữ chức vụ này mãi đến khi ông buộc phải rời khỏi nước Đức do việc Hitler đã nổi lên cầm quyền.