Abstract: It’s interesting to know that “A Brief Theory of Tetrahedron” on PVH’s Home has had nearly 800 readers. This WordPress.com statistics encouraged me to continuously tell you one more exciting story of Tetrahedron – the story of Inscribed Sphere – to emphasize once again the most significant lesson of Geometry: predicting more-complex structures from simpler ones, imagining invisible structures from visible ones…

Thật thú vị khi biết “Lý thuyết giản lược về Tứ Diện” trên PVH’s Home đã có ngót 6958 độc giả (tính đến 28/12/2015). Thống kê này của WordPress.com đã khích lệ tôi tiếp tục kể với bạn thêm một câu chuyện lý thú về Tứ diện – câu chuyện về Mặt cầu Nội tiếp – để nhấn mạnh một lần nữa bài học có ý nghĩa nhất của Hình học: dự đoán những cấu trúc phức tạp hơn từ những cấu trúc đơn giản hơn, hình dung những cấu trúc vô hình từ những cấu trúc nhìn thấy…

LỜI DẪN 

■ Nhìn vào hình ảnh ở đầu bài viết này, bạn thấy gì?

Xin thưa, đó là mô hình hệ hành tinh của Johannes Kepler, nhà toán học, thiên văn học, chiêm tinh học kiệt xuất người Đức thế kỷ 16-17. Mô hình đó biểu thị các vòng tròn của các hành tinh quay xung quanh Mặt trời. Theo mô hình này, các vòng hành tinh nằm trên các mặt cầu tưởng tượng. Vòng hành tinh thứ 1 là vòng hành tinh ngoài cùng. Vòng hành tinh thứ 2 nằm trên mặt cầu nội tiếp hình lập phương nội tiếp mặt cầu của vòng thứ 1. Vòng hành tinh thứ 3 nằm trên mặt cầu nội tiếp tứ diện đều nội tiếp mặt cầu của vòng thứ 2… Tóm lại, mô hình hành tinh Kepler là một chuỗi các hình nội tiếp – mặt cầu nội tiếp trong một đa diện đều, đa diện đều nội tiếp trong mặt cầu…

Tại sao các vòng tròn liên hệ với nhau một cách toán học ngoạn mục và kỳ lạ đến thế?

Liệu đó có thể là một sự sắp đặt ngẫu nhiên tình cờ không?

Nếu không phải tình cờ thì ắt phải có một “nhà thiết kế vĩ đại của vũ trụ” đã sắp xếp các hành tinh như thế…

Độc giả nào muốn tìm hiểu sâu điều này, xin xem thêm phần PHỤ LỤC ở cuối bài viết này. Còn bây giờ, xin quay trở lại nội dung chính:

Vấn đề khảo sát một hình cầu nội tiếp trong một tứ diện là một bài toán rất thú vị của thiên văn học nói riêng và khoa học nói chung, mà câu chuyện về Mặt cầu Nội tiếp của Tứ diện hôm nay có thể coi như một gợi ý để tiếp cận tới tư tưởng chủ đạo của Hình học: Bài toán 2 chiều có thể mở rộng thành bài toán 3 chiều… Hóa ra vũ trụ được cấu trúc theo những mô hình đẹp đẽ mà con người có thể nhận thức được, mặc dù nhận thức này không bao giờ hoàn thiện…

■ Mặt cầu nội tiếp của một tứ diện là mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện. Tâm của nó hiển nhiên cách đều 4 mặt. Vì thế bài toán mặt cầu nội tiếp của tứ diện thực chất là bài toán tìm một điểm cách đều 4 mặt. Để tìm một điểm như thế, trước hết hãy tìm một điểm cách đều 3 mặt, và đơn giản hơn nữa, tìm một điểm cách đều 2 mặt. Bài toán này thực chất là sự mở rộng của bài toán tìm một điểm cách đều 2 cạnh của một góc. Điểm này ắt phải nằm trên đường phân giác của góc đã cho. Vậy toàn bộ câu chuyện về Mặt cầu Nội tiếp của Tứ diện quy về bài toán đơn giản nhất: Đường phân giác của một góc. 

I/ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

1/ Lập phương trình đường phân giác dựa vào định nghĩa đường phân giác

● Định nghĩa: Trong một mặt phẳng, đường phân giác của một góc là đường xuất phát từ đỉnh của góc và chia góc thành 2 phần bằng nhau.

II/ MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC

1/ Góc nhị diện và mặt phẳng phân giác của nhị diện

• Góc nhị diện là phần không gian được giới hạn bởi hai mặt phẳng cắt nhau. Giao tuyến của 2 mặt phẳng gọi là cạnh của nhị diện.

Từ một điểm trên cạnh của nhị diện, kẻ 2 đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt của nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của nhị diện, ta được một góc phẳng của nhị diện. Số đo của góc phẳng được coi là số đo của góc nhị diện. Nếu số đo ấy bằng 90^o thì nhị diện ấy là một nhị diện vuông – 2 mặt của nhị diện vuông góc với nhau.

• Mặt phẳng phân giác của một nhị diện là mặt phẳng đi qua cạnh của nhị diện và chia nhị diện thành 2 phần bằng nhau.
• Định lý: Một điểm nằm trên mặt phẳng phân giác của một nhị diện thì cách đều 2 mặt của nhị diện; ngược lại, một điểm cách đều 2 mặt của nhị diện ắt phải nằm trên mặt phẳng phân giác của nhị diện đó.

Trong hình trên, 2 mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến AB, xác định nhị diện (P,AB,Q) hay nói gọn là nhị diện (P,Q), hay gọn hơn nữa là nhị diện cạnh AB (nếu những cách gọi này không gây nên nhầm lẫn). Nếu R là mặt phẳng phân giác của nhị diện (P,Q), M là một điểm trên R, ME và MF lần lượt là các đoạn vuông góc hạ từ M xuống các mặt phẳng P và Q thì ME = MF

2/ Góc tam diện và giao tuyến của các mặt phẳng phân giác

• Góc tam diện là phần không gian được giới hạn bởi 3 mặt phẳng cùng đi qua một điểm và cách nhau từng đôi một. Điểm chung của cả 3 mặt đó là đỉnh của tam diện; các giao tuyến của các mặt gọi là cạnh của tam diện; các mặt gọi là mặt của tam diện. Một tam diện có 1 đỉnh, 3 cạnh, 3 mặt, 3 nhị diện tương ứng với 3 cạnh.
• Định lý 1: 3 mặt phẳng phân giác của 3 nhị diện tương ứng với 3 cạnh của một tam diện bao giờ cũng đi qua cùng một đường thẳng, gọi là giao tuyến các mặt phân giác.
• Định lý 2: Quỹ tích những điểm cách đều 3 mặt của một tam diện là giao tuyến các mặt phân giác của tam diện đó.

Trong hình trên, (SAF) là mặt phân giác của nhị diện SA, (SCE) là mặt phân giác của nhị diện SC; 2 mặt phân giác này cắt nhau theo giao tuyến SM, dễ thấy SM phải nằm trên mặt phân giác thứ ba, tức mặt phân giác của nhị diện SB. Các đoạn thẳng MI, MJ, MK lần lượt là các đoạn vuông góc hạ từ M xuống các mặt của tam diện thì MI = MJ = MK, và ngược lại nếu 3 khoảng cách này bằng nhau thì M ắt phải nằm trên giao tuyến các mặt phân giác.

III/ MẶT CẦU NỘI TIẾP CỦA TỨ DIỆN

• Định lý cơ bản: Trong một tứ diện bất kỳ, 4 giao tuyến của các mặt phân giác của 4 tam diện ứng với 4 đỉnh và 6 mặt phẳng phân giác của 6 nhị diện ứng với 6 cạnh bao giờ cũng đi qua cùng một điểm; điểm này cách đều 4 mặt và chính là tâm của mặt cầu nội tiếp của tứ diện. Nói cách khác, bất kỳ một tứ diện nào cũng có một mặt cầu nội tiếp với tâm là điểm chung của 6 mặt phẳng phân giác của 6 nhị diện ứng với 6 cạnh.

BÀI CÙNG CHỦ ĐỀ:

Lý thuyết Giản lược về Tứ Diện

Mặt Cầu Euler

Sydney 02/11/2014

PVHg

PHỤ LỤC (Trích Wikipedia, mục từ Johannes Kepler):

Mô hình khối đa diện đều Platon về Hệ Mặt Trời của Kepler trích từ Mysterium Cosmographicum (1600)

Tại Graz, Kepler bắt đầu phát triển một lý thuyết bảo vệ hệ thống Copernicus, xuất bản năm 1596 với tên Mysterium Cosmographicum—(Bí ẩn vũ trụ). Ông tuyên bố là đã có một thị kiến vào ngày 19 tháng 7 năm 1595 chứng minh sự giao hội của Sao Mộc và Sao Thủy trên hoàng đạo; ông nhận ra rằng các đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn theo những tỉ lệ xác định, mà theo lập luận của ông, có thể là những cơ sở hình học của vũ trụ. Sau khi thất bại trong việc tìm một cách sắp xếp duy nhất các đa giác cho khớp với quan trắc thiên văn (ngay cả khi cho thêm vào ba hành tinh), Kepler bắt đầu thí nghiệm với những hình khối đa diện ba chiều. Ông thấy rằng các khối đa diện đều Platon có thể nội tiếp và ngoại tiếp bởi các khối cầu tròn; lồng những khối đa diện này với nhau, mỗi khối giới hạn bởi một khối cầu, kết quả là ta có sáu lớp, tương ứng với sáu hình tinh được biết đến thời đó – Sao Thủy, Sao Kim, Trái Đất, Sao Hỏa, Sao Mộc, Sao Thổ. Bằng cách sắp xếp các khối đa diện theo thứ tự-hình 8 mặt, hình 20 mặt, hình 12 mặt, hình 4 mặt (tứ diện), hình lập phương-Kepler thấy rằng các khối cầu có thể đặt vào các khoảng tương ứng (trong giới hạn chính xác của quan trắc thiên văn đương thời) với kích thước tương đối của quỹ đạo của mỗi hành tinh, với giả thiết là chúng quay xung quanh Mặt Trời. Kepler cũng tìm thấy công thức liên hệ giữa kích thước của khối cầu ứng với mỗi hành tinh và chu kỳ quỹ đạo của nó: từ hành tinh phía trong tới hành tinh phía ngoài, tỉ lệ sự tăng chu kỳ quỹ đạo gấp đôi tỉ lệ giữa bán kính khối cầu. Tuy nhiên, Kepler về sau từ bỏ công thức này, vì nó chưa được chính xác.

Cận cảnh phần phía trong của mô hình.

Như tên gọi cuốn sách phần nào chỉ ra, Kepler nghĩ rằng ông đã phát lộ kế hoạch thiết lập vũ trụ có tính hình học của Thượng Đế. Phần lớn nhiệt huyết của Kepler đối với hệ thống Copernicus bắt nguồn từ xác tín thần học của ông về mối liên hệ giữa cái Vật chất và cái Tinh thần; vũ trụ tự nó là một hình ảnh của Chúa, với Mặt Trời ứng với Chúa Cha, thiên cầu ứng với Chúa Con, và không gian ở giữa ứng với Chúa Thánh Linh. Bản thảo đầu tiên của Mysterium còn có một chương mở rộng nhằm hòa giải thuyết nhật tâm với các trích đoạn Kinh Thánh vốn dường như ủng hộ thuyết địa tâm.

Với sự giúp đỡ của thầy hướng dẫn là Michael Maestlin, Kepler hội đồng trường Đại học Tübingen cho phép xuất bản bản thảo, trong lúc chờ để chỉnh sửa, loại bỏ phần chú giải Kinh Thánh và thêm vào một đoạn mô tả đơn giản, dễ hiểu hơn hệ thống Copernicus cũng như những ý tưởng mới của Kepler. Mysterium mãi đến năm 1596 mới được in, và đầu năm 1597 Kepler nhận các bản in để gửi cho những nhà thiên văn và nhà bảo trợ có tiếng; nó không được truyền bá rộng rãi, nhưng ít nhất đã tạo dựng danh tiếng một nhà thiên văn xuất chúng cho Kepler. Những lời đề tặng hoa mỹ, dành cho những nhà bảo trợ quyền lực cũng như những người kiểm soát vị trí của ông ở Graz, cũng đem lại một lối đi thiết yếu tới hệ thống bảo trợ.

Mặt dù các công trình sau này có sửa chữa nhiều chi tiết của cuốn sách, Kepler không bao giờ đoạn tuyệt vũ trụ học đa diện đều-khối cầu trong Mysterium Cosmographicum. Các công trình thiên văn quan trọng của ông về sau ít nhiều có thể được coi như sự phát triển rộng thêm của nó, liên quan tới việc tìm các kích thước chính xác hơn cho các khối cầu bằng cách tính toán tâm sai của các quỹ đạo hành tinh bên trong chúng. Năm 1621 Kepler tái bản Mysterium dài gấp rưỡi ấn bản đầu tiên, với các cước chú mô tả chi tiết các hiệu chỉnh và cải tiến mà ông đạt được sau 25 năm.

Nói về ảnh hưởng của Mysterium, nó có thể được xem như là bước quan trọng đầu tiên trong việc hiện đại hóa lý thuyết đề xuất bởi Nicolaus Copernicus trong tác phẩm “De Revolutionibus”. Trong khi Copernicus tìm cách giới thiệu một hệ thống nhật tâm, ông tinh chỉnh các công cụ toán học của Ptolemaeus (tức ngoại luân và các đường tròn lệch tâm) để giải thích sự thay đổi tốc độ chuyển động quay của hành tinh, và đồng thời tiếp túc sử dụng tâm quỹ đạo Trái Đất như một điểm quy chiếu thay vì Mặt Trời “như một sự hỗ trợ cho tính toán và để tránh làm độc giả nhầm lẫn khi chệch quá xa khỏi đường hướng của Ptolemaeus.” Thiên văn học hiện đại nợ “Mysterium Cosmographicum” rất nhiều, bất chấp những sai lầm trong luận đề chính của nó, “bởi vì nó đại diện cho bước đầu tiên tẩy trừ những tàn dư của lý thuyết Ptolemaeus vẫn còn bám lấy hệ thống Copernicus.”