Trở lại ETH (Đại học Bách khoa Thụy sĩ), Einstein nhận thấy ông cần sự giúp đỡ khẩn cấp. Nếu không gian là phi-Euclid, thì ông cần hiểu rõ hình học của nó. Nhưng bản thân Hình học phi-Euclid không cho câu trả lời đối với các câu hỏi của Einstein. Ông cần một cái gì đó thể hiện tính chất bất biến. Các định luật đúng đắn của vật lý là bất biến: chúng không thay đổi khi hệ quy chiếu hoặc các đơn vị đo lường thay đổi… Ông đã nhận được sự giúp đỡ từ Marcel Grossmann, một bạn học cũ tại ETH. Nhưng sau này ông khám phá ra rằng những cố gắng của ông và Grossmann trong nhiều tháng trời đã được một nhà toán học Đức là Bernhard Riemann giải quyết từ ngót một thế kỷ trước đó.

Phương trình của Chúa

Chương 5: VỞ GHI CHÉP CỦA GROSSMANN

Ông ấy có quan hệ tốt với các thầy giáo và hiểu biết mọi thứ; còn tôi,  một  kẻ  thấp hèn bị xem thường và chẳng mấy ai ưa (trích thư của Einstein viết cho người vợ goá của Marcel Grossmann)[1]

Einstein, một sinh viên đầy ắp ý tưởng nhưng lại thiếu kiên trì đối với những môn học mà anh không thích, tuy nhiên anh lại rất cần một nền tảng kiến thức toán học vững chắc cho những lý thuyết cách mạng. Nhiều kiến thức cơ bản Einstein sao chép từ những cuốn vở của một sinh viên ngay ngắn hơn anh, Marcel Grossmann (1878 –1936). Grossmann sinh tại Budapest trong một gia đình dòng dõi Thụy Sĩ lâu đời. Lúc 15 tuổi, Grossmann trở về Thụy Sĩ học hết trung học, và từ 1896 đến 1900 theo học Đại học bách khoa ETH tại Zurich. Tại đây, Grossmann theo học ngành toán, chuyên về hình học, và đỗ tiến sĩ về chuyên ngành này. Sau này ông viết nhiều công trình và sách giáo khoa về hình học phi-Euclid.

Trái ngược hẳn với người bạn học Einstein tại ETH vào giai đoạn bản lề chuyển sang thế kỷ mới, Grossmann là người rất chu đáo cẩn thận, luôn luôn có mặt trên lớp và ghi chép bài kỹ lưỡng – một sinh viên lý tưởng đối với các thầy giáo. Grossmann dự những bài giảng của Minkowski và của những nhà toán học, vật lý khác tại ETH. Vở ghi chép của anh – hiện được bảo quản và trưng bầy tại văn khố của Đại học ETH – sau này đóng vai trò hết sức quan trọng đối với Einstein trong việc trau dồi những kiến thức toán học cực kỳ cần thiết để tạo ra thuyết tương đối tổng quát. Phương trình căn bản của Einstein dựa trên những kiến thức này và những kiến thức khác còn cao cấp hơn nữa. Ông bố của Grossmann đã giúp Einstein kiếm được một việc làm tại Sở cấp bằng sáng chế Thụy Sĩ tại Bern khi chàng sinh viên mới tốt nghiệp này không thể tìm được việc làm. Năm 1905, năm Einstein công bố công trình đầu tiên của ông về tính tương đối đặc biệt và phương trình , Einstein cũng gửi luận án tiến sĩ đến Đại học Zurich. Luận án với tiêu đề “Về một phương pháp mới xác định các chiều của phân tử” đã được Einstein ghi tặng người bạn Marcel Grossmann.

Chính Grossmann, cuối năm 1911, đã tiếp xúc với Einstein tại Praha để tìm hiểu xem liệu Einstein có thích trở về Thụy Sĩ để nhận chức giáo sư tại Đại học ETH ở Zurich, nơi ông đã từng là sinh viên, hay không. Lúc đó Einstein đã được một số đại học khác ở Âu châu đề nghị dành cho một ghế giáo sư, nhưng ông đã vui mừng tiếp nhận đề nghị của ETH và trở về Thụy Sĩ. Trong khi ông đã chấp nhận tư cách công dân Áo-Hung để có thể thực hiện giao ước tại Praha đầu năm đó, ông vẫn giữ quyền công dân Thụy Sĩ. Đầu năm 1912, Einstein trở về Thuỵ Sĩ thân yêu của ông.

Sau khi kết luận rằng không gian là phi-Euclid, Einstein cần sự giúp đỡ. Ông tìm sự giúp đỡ này ở người bạn cũ, hiện là một chuyên gia được tín nhiệm trong chính lĩnh vực Einstein cần biết. Một số nhà viết tiểu sử và sách về Einstein nói rằng Einstein không giỏi toán. Không có gì để làm bằng chứng cho nhận xét đó. Một nhà khoa học đã cống hiến cho thế giới những lý thuyết về tương đối chắc chắn phải là một nhà toán học phi thường. Vấn đề là ở chỗ trong những ngày đầu tiên còn là sinh viên ở ETH, Einstein không chú ý nhiều đến việc ngồi trong giảng đường để nghe các bài giảng toán học. Ông hiểu biết toán học đủ để xây dựng nên thuyết tương đối, và ông có thể nhặt nhạnh thêm bất kể cái gì cần thiết cho chính ông. Quan hệ cuả Einstein với nhà toán học Hermann Minkowski chứng minh điều này. Einstein không nghiêm túc nghe những bài giảng của Minkowski tại ETH. Những năm về sau, khi thuyết tương đối được cộng đồng khoa học công nhận, không gian 4 chiều của nó thường xuyên được nhắc đến như là không gian Minkowski.

Không giống Einstein, Grossmann là một sinh viên toán học nghiêm chỉnh. Những cuốn vổ ghi chép của Grossmann chiếm một vị trí đặc biệt trong việc phát triển thuyết tương đối tổng quát của Einstein. Nay trở lại ETH, Einstein nhận thấy ông cần sự giúp đỡ – sự giúp đỡ rất khẩn cấp. Nếu không gian là phi-Euclid, thì ông cần hiểu rõ hình học của nó trước khi ông có thể làm bất cứ điều gì thêm nữa với những tư tưởng của ông về hấp dẫn và tương đối. Đối với bước tiếp theo này, Einstein ông không biết gì về các dạng hình học thực sự của không gian.

Grossmann lấy ra những cuốn vở đã úa vàng ghi chép những bài giảng từ những năm 1900, và suy nghĩ xem Einstein nên bắt đầu từ chỗ nào để có thể giúp ích cho việc xây dựng mô hình vũ trụ của ông và trường hấp dẫn của vũ trụ đó. Những cuốn vở ghi này, và những công trình tiếp theo của Grossmann về hình học, gợi ý cho ông thấy rằng những phương pháp mà người bạn thân của mình cần đến là những phương pháp được nghiên cứu từ cuối thế kỷ 19 bởi hai nhà toán học Ý: Gregorio Ricci, và học trò xuất sắc của ông, Tullio Levi-Civita. Mỉa mai thay, trước đây ở Praha, nhà toán học Georg Pick cũng đã nói với Einstein rằng công trình của hai học giả này có thể giúp ông phát triển những công cụ toán học mà ông cần để theo đuổi lý thuyết của mình. Nhưng có vẻ như lúc đó Einstein không chú ý đến lời khuyên này. Bây giờ với một người hướng dẫn mình đi vào thế giới hình học như Grossmann , ông háo hức lắng nghe.

Hình học phi-Euclid bản thân nó không cho câu trả lời đối với các câu hỏi của Einstein. Những hình học như thế mô tả không gian bằng những thuật ngữ của đường thẳng, góc, đường song song, đường tròn, v.v. nhưng Einstein cần nhiều hơn thế nhiều. Trước hết, ông cần một một cái gì đó thể hiện tính chất bất biến. Các định luật đúng đắn của vật lý là bất biến: chúng không thay đổi khi hệ quy chiếu hoặc các đơn vị đo lường thay đổi. Phải mất 2 giờ đồng hồ để vượt qua một khoảng cách 120 dặm nếu mỗi giờ đi được 60 dặm, và câu trả lời sẽ không thay đổi nếu chúng ta đo khoảng cách bằng kilometres và tốc độ bằng km/giờ. Einstein tìm một công cụ toán học cho phép ông mô tả độ cong của không gian – bản chất phi-Euclid của nó – sao cho các biến số của lý thuyết sẽ có giá trị đối với bất kỳ kiểu cong nào của không gian. Grossmann rất rộng lượng với việc để cho Einstein sử dụng những cuốn vở và tài liệu tham khảo của ông, nhưng chừng ấy không đủ để giải bài toán thách đố của Einstein về hấp dẫn.

Sau khi làm việc vất vả với vấn đề này trong vài tháng trong năm 1912, Einstein đưa ra một yêu cầu với người bạn cũ của mình: “Grossmann, anh phải giúp tôi nếu không tôi phát điên lên mất !”. Grossmann chú ý đến lời yêu cầu đó và bắt đầu hợp tác một cách nghiêm chỉnh với Einstein. Kết quả là một số công trình mà cả hai cùng viết về vấn đề hấp dẫn. Những công trình này là một bước tiến tới một thuyết tương đối tổng quát, nhưng họ cảm thấy còn quá ít đối với cái cần thiết để hoàn thiện hiểu biết về những hiện tượng phức tạp mà họ muốn mô tả.

Sau đó Einstein chuyển sự chú ý vào khái niệm về tensor[2]. Khái niệm này cho thấy cần phải có những công cụ toán học phức tạp hơn để giải quyết vấn đề tương đối: một là thuyết tương đối đặc biệt, và sau đó là thuyết tương đối tổng quát phức tạp hơn nhiều. Những hệ thống đơn giản cần phải được mô tả bởi những phương trình mà thành phần của chúng là các biến số đơn. Chẳng hạn một đường thẳng được cho bởi phương trình y = ax + b. Ở đây x và y là các biến đơn và a và b là các hệ số, chúng cũng là những số đơn. Trên một đường thẳng với độ dốc a=2 và điểm cắt trục tung có tung độ b=3, ta có thể xác định được giá trị của y khi x=5 như sau: y = 2.(5) + 3 =13. Khi bài toán trở nên phức tạp hơn, chúng ta có thể sẽ cần đến nhiều phương trình, hoặc một phương trình mà các biến của nó là một tập hợp các số. Ở đây, x là một vector, một tập hợp số có thứ tự, và tương tự đối với y và bất kỳ biến số nào khác. Trong vật lý, tốc độ, gia tốc, và lực đều là các vector, vì tất cả vừa có độ lớn vừa có hướng, và do đó mỗi cái trong chúng đều được mô tả như một tập hợp các số.

Nhưng cái Einstein cần bây giờ là một sự tổng quát hoá vector tới một mực độ phức tạp. Ông cần một tensor – một biến số mở rộng của khái niệm vector. Một vector trong không gian 3 chiều có ba thành phần. Một tensor (hạng hai) trong không gian ba chiều có  thành phần. Một tensor sẽ duy trì nguyên lý bất biến mà Einstein đòi hỏi, và nó sẽ đóng vai trò biến số trong một tình huống phức tạp. Quả thật thuyết tương đối tổng quát đặt ra những bài toán rất phức tạp – Einstein phải cân nhắc 10 đại lượng, ký hiệu bởi , thể hiện một cách thoả đáng độ cong của không gian 4 chiều (3 chiều không gian và 1 chiều thời gian). Đại lượng xác định độ cong là một tensor được gọi là tensor khoảng cách  (metric tensor), vì nó cho phép đo khoảng cách trong không gian cong. Nhưng đến đây, công cụ toán học mang lại kết quả có lợi vẫn chưa có trong tay. Cần có một cái gì đó nữa – một cái gì đó tổng quát hơn những kết quả của Ricci và Levi-Civita. Einstein phải có một cách điều khiển tensor khoảng cách sao cho nguyên lý bất biến vẫn đúng trong bất kỳ biến đổi nào của các phương trình của ông – ông cần một phương pháp xác định độ cong bất kể dạng cong có thể có như thế nào. Công trình của ông và Grossmann cho phép tính bất biến chỉ đúng trong những biến đổi tuyến tính, một tình huống quá hạn chế so với cái mà ông phải đạt tới. Nhưng Einstein chỉ ý thức được đầy đủ thiếu sót trong công trình của ông và Grossmann vào mùa hè năm 1913.

Einstein thích thú thưởng ngoạn cuộc sống mới của ông tại Zurich. Ông đang ở một nơi ông quen biết và yêu mến, và ông ở bên cạnh gia đình. Vợ ông, Mileva, và hai con trai rất gắn bó tại Thụy Sĩ và điều này làm cho ông cảm thấy thật thoải mái. Chính tại đây ông đã bắt đầu thảo luận những vấn đề về vũ trụ với sinh viên và đồng nghiệp của ông. Những phương trình về hấp dẫn Einstein nghiên cứu đã có những ý nghĩa về vũ trụ như một toàn thể, và ông say sưa nghiên cứu khảo sát những ý nghĩa đó, ý nghĩa về một vũ trụ mà chúng ta đang sống trong đó.

Bạn bè và đồng nghiệp thường mô tả một Einstein vô tư lự rời khỏi những giảng đường của trường đại học, vây quanh bởi một đám sinh viên, và đi đến quán café mà ông ưa thích, quán Terrasse ở phía cuối Zurichberg. Họ ngồi ở đó hàng giờ thảo luận những ý nghĩa triết học của những lý thuyết về sự mở rộng, hình dạng, quá khứ và tương lai của không gian bao la mà chúng ta đang sống trong đó.

Nhưng đến mùa xuân năm 1913, Einstein có một cuộc viếng thăm sẽ làm thay đổi cuộc sống của ông và làm cho ông và gia đình một lần nữa lại nhổ rễ để di chuyển đến một đất nước khác. Đó là cuộc viếng thăm Zurich của Max Planck (1858 – 1947) và Hermann Nernst (1864 – 1941). Max Planck là nhà vật lý lớn nhất đương thời – ông là gương mặt chủ yếu trong sự phát triển của lý thuyết lượng tử. Và theo sự thừa nhận của Einstein, Planck là nhà khoa học duy nhất mà ông thực sự ngưỡng mộ. Nhưng chúng ta cũng biết rằng có sự ngưỡng mộ và kính trọng lẫn nhau giữa hai người. Planck và nhà vật lý Hermann Nernst đã vận động tích cực tại Berlin về việc mời Einstein gia nhập đội ngũ giáo sư của Đại học Berlin.

Planck và Nernst tới Zurich gặp Einstein tại căn hộ của ông. Tới lúc đó, Einstein còn nhận được những đề nghị khác, trong đó có một ghế giáo sư dành cho ông tại Leiden, Hàlan. Cả hai vị khách đã cố công thuyết phục Einstein nhận một vị trí tại Berlin, nhưng Einstein không muốn có một quyết định vội vàng. Trong khi ông suy nghĩ, Planck và Nernst thực hiện một chuyến dã ngoại leo núi trên dãy Alpes ở Thụy Sĩ. Einstein hứa với họ rằng đến khi họ quay trở lại ông sẽ có câu trả lời. “Sẽ có một chỉ dấu, và các ông sẽ biết câu trả lời của tôi ngay khi các ông gặp lại tôi”, ông nói. Khi chuyến tầu hoả của họ lăn vào ga xe lửa Zurich, họ thấy Einstein đứng trên sân ga. Ông cầm một bông hồng trên bàn tay.

Cuộc di chuyển của Einstein từ Zurich mà ông yêu mến đến Berlin, nơi mà chủ nghĩa chống Do Thái đang trỗi dạy đã là một đề tài bàn bạc om sòm. Dường như Einstein có một số lý do để đi đến một quyết định bất ngờ như thế. Một, Berlin là một trung tâm khoa học quan trọng hơn Thụy Sĩ rất nhiều.  Những người khổng lồ như Planck sống ở đó. Hai, vị trí của Einstein không yêu cầu phải giảng dạy. Đó là một xem xét quan trọng, vì Einstein thường phàn nàn rằng trách nhiệm giảng dạy lấy đi quá nhiều thời gian và công sức từ hoạt động nghiên cứu của ông. Và lý do thứ ba là Einstein muốn được ở gần một đài quan sát thiên văn quan trọng, để ông có thể trao đổi với các nhà thiên văn. Hơn bao giờ hết, ông khao khát cháy bỏng có một chứng minh thiên văn đối với nguyên lý làm cong ánh sáng trong lý thuyết của ông liên quan đến thuyết tương đối tổng quát. Tại Berlin, có ít nhất một nhà thiên văn ông đã thường xuyên trao đổi – Erwin Finlay Freundlich.

Einstein không nhận thức được ngay tức khắc một vấn đề về các phương trình mà ông đã nghiên cứu cùng với Grossmann. Đầu năm 1913, ông viết một lá thư cho bạn ông là Paul Ehrenfest (1880 – 1933), trong đó ông tổng kết các thành tựu của mình: “Vấn đề hấp dẫn đã được làm rõ với sự thoả mãn hoàn toàn của tôi. Có thể chứng minh một cách rõ ràng rằng không thể tồn tại những phương trình hiệp biến tổng quát xác định trường một cách đầy đủ từ tensor vật chất”. Nhưng sau hai năm, Einstein nhận ra sai lầm của mình, và ông đã thực sự nghiên cứu những phương trình hiệp biến tổng quát – phương trình trường hấp dẫn của ông. Điều này xẩy ra tại Berlin vào thời điểm cao trào của Thế Chiến I. Nhưng Einstein để lại phía sau mình ở Zurich một cuốn sổ ghi chép kỳ lạ chứa đựng những biến đổi phương trình và những nỗ lực đạt tới một phương trình trường hấp dẫn mong muốn. Mãi 80 năm sau cuốn sổ này mới được các nhà nghiên cứu phát hiện và dẫn tới những khám phá bất ngờ về công trình của Einstein.

Einstein và Grossmann chia tay khi Einstein rời Zurich. Những năm tiếp theo Grossmann lao vào hoạt động xã hội và chính trị. Ông đi sâu vào những hoạt động giúp đỡ từ thiện đối với những sinh viên tất cả các nước bị cầm tù trong chiến tranh. Năm 1920, ông bắt đầu có những dấu hiệu của bệnh sơ hoá thần kinh kinh niên và năm 1936 ông mất vì bệnh này. Năm 1931, khá lâu sau khi thuyết tương đối tổng quát của Einstein đã được toàn thế giới công nhận, Grossmann đã viết một tiểu luận cay đắng chống lại lý thuyết này, với vẻ tức giận sau khi nghe nói Einstein đã trình bầy một bài giảng về những chủ đề này. Einstein dường như đã bỏ qua sự bội bạc đối với tình bạn và đối với sự hợp tác nghiên cứu giữa họ. Năm 1955 ông đã viết về Grossmann và về sự cộng tác giữa hai người với một giọng điệu cảm động và trìu mến. Ông viết rằng sau này ông đã khám phá ra rằng những khó khăn về toán học mà ông và Grossmann cố gắng khắc phục trong nhiều tháng trời đã được một nhà toán học Đức là Bernhard Riemann giải quyết từ một thế kỷ trước đó rồi.