Chân học là một nền học vấn cung cấp cho học trò những kiến thức thiết thực để làm người và hành nghề phục vụ xã hội. Ngược lại, hư học là một nền học vấn sính chuộng hình thức và hư văn – những thứ chữ nghĩa có cái vỏ hào nhoáng, “hàn lâm”, “bác học”, nhưng thực chất rỗng tuếch, vô bổ, thậm chí làm rối loạn nhận thức của học trò.

Trong cùng một nền học vấn, có thể có phần chân học, có phần hư học. Chẳng hạn, trong Nho giáo có chân nho và hủ nho. Trong giáo dục toán học cũng có “chân toán” và “hủ toán”.

Một trong những thí dụ tiêu biểu của chân toán là việc biến Cái Không trừu tượng của triết học cổ Ấn Độ thành Sunya, tức số 0 phổ dụng ngày nay.

BÀI 1: CÁI KHÔNG CỦA NGƯỜI ẤN CỔ

Sunya, hay Sunyata, là một từ cổ Ấn Độ, có nghĩa là Zero, tức số 0. Trong dãy chữ số thập phân, 0 và 1 đứng cạnh nhau, nhưng từ 1 đến 0 lại là cả một hành trình vĩ đại của tư duy.

Thật vậy, sau số 1 phải đợi một thời gian dài đằng đẵng hơn 15 thiên niên kỷ số 0 mới có thể ra đời tại Ấn Độ! “Cơn đau đẻ vật vã” này là kết quả của sự “hôn phối” giữa bà mẹ toán học với ông bố triết học – những tư tưởng thâm thuý sâu xa, trừu tượng và cao siêu của Cái Không (The Nothingness) mà trong quá khứ dường như chỉ xứ Ấn Độ mới có. Cái Không ấy đã được Denis Guedj, giáo sư lịch sử khoa học tại Đại học Paris, diễn đạt tóm tắt trong cuốn “Số – Ngôn ngữ phổ quát”[1] bằng ngôn ngữ hiện đại như sau: “Số 0 là cái chẳng có gì nhưng lại làm nên mọi thứ”.

Nhưng tưởng cần phải hỏi tại sao một Sunya vốn cao siêu trừu tượng như thế mà ngày nay lại trở nên đơn giản, thông dụng và quen thuộc với mọi người như thế ? Công lao phổ cập cái cao siêu trừu tượng này thuộc về ai, nếu không thuộc về các nhà giáo dục thông thái hàng ngàn năm qua đã chú tâm truyền bá ý nghĩa cụ thể và ứng dụng của nó, thay vì thổi phồng ý nghĩa triết học cao siêu để làm khổ học trò?

Vì thế, lịch sử của Sunya rất đáng được chú ý nghiên cứu học hỏi, để từ đó rút ra những bài học bổ ích nhằm suy tôn tinh thần hiện thực và cụ thể trong giảng dạy toán học ở trường phổ thông.

1* Hành trình của Sunya:

Ba con số tạo nên nền tảng của  hệ thống số là số 0, số 1, và số vô cùng (∞). Việc tìm hiểu sự hình thành một hệ thống số phải bắt đầu từ 1, vì 1 là khởi thuỷ của mọi con số.

Dấu hiệu cổ xưa nhất về các con số trong những nền văn minh đầu tiên của loài người mà hiện nay khoa khảo cổ học đã nắm được trong tay là những vạch đếm được khắc trên sừng hươu thuộc kỷ Paleolithic, thuộc niên đại khoảng 15000 năm trước C.N. Di tích này có 2 ý nghĩa: Một, nó cho biết tuổi của toán học; Hai, nó khẳng định toán học ra đời từ nhu cầu đếm. Việc đếm hiển nhiên phải bắt đầu từ 1. Vì thế, 1 từng được Pythagoras coi là biểu tượng của Thượng Đế – cái bắt đầu của mọi sự. Về mặt triết học, 1 có nghĩa là tồn tại, hiện hữu. 1 còn có ý nghĩa là đơn vị, nhiều đơn vị gộp lại thành số nhiều. Nếu số nhiều này là hữu hạn thì nó được gọi là arithmos. Việc nghiên cứu arithmos được gọi là arithmetics, tức số học. Điều đáng kinh ngạc là trải qua một thời gian dài dằng dặc mười mấy ngàn năm kể từ xã hội nguyên thuỷ thuộc kỷ Paleolithic đến các thời kỳ văn hoá cổ đại rực rỡ nhất như văn hoá Hy-La, văn hoá Hebrew (Do-thái), văn hoá cổ Trung Hoa, mặc dù số học đã phát triển tới trình độ rất cao, rất phức tạp nhưng vẫn chưa thể nào sản sinh ra số 0! Thật vậy, trong các chữ số của người Trung Hoa gồm nhất (1), nhị (2), tam (3), tứ (4), ngũ (5), lục (6), thất (7), bát (8), cửu (9), thập (10), bách (100), thiên (1000), hoặc của người La Mã gồm  I (1), V (5),  X (10),  L (50),  C (100),  D (500),  M (1000 hoặc 1000000), hoặc của người Do Thái gồm aleph (1), beth (2), gimel (3),… hoặc của người Hy Lạp gồm alpha (α = 1), beta (β = 2), gamma (γ = 3),… tất cả đều vắng bóng số 0!

Xem thế đủ biết việc sáng tạo ra số 0 khó khăn đến nhường nào, và không có gì để ngạc nhiên khi các nhà nghiên cứu lịch sử khoa học đều nhất trí đánh giá rằng việc phát minh ra số 0 là một trong những cột mốc vĩ đại nhất trong lịch sử nhận thức.

Thật vậy, để sáng tạo ra số 0, toán học chưa đủ, mà cần đến một tư tưởng hoàn toàn mới lạ. Tư tưởng ấy đã được nhen nhóm và chín mùi tại Ấn Độ cổ – cái nôi của Phật giáo. Cần biết rằng suốt trong giai đoạn các nền văn hoá lớn quanh Địa Trung Hải như Hy Lạp, La Mã, Do Thái, và nền văn hoá cổ Trung Hoa thời Tần, Hán, Tấn, lần lượt thay nhau đạt tới độ cực thịnh thì Phật giáo đã trưởng thành từ vài trăm tới ngót một ngàn tuổi – một thời gian đủ để các tư tưởng tinh vi của nó thấm đượm vào đầu óc các bậc hiền triết, tu sĩ, học giả, nghệ sĩ, những người đã đóng góp lớn lao vào việc tạo dựng nên nền văn hoá trác việt của Ấn Độ cổ đại. Một trong những tư tưởng trác việt đó là Cái Không, một khái niệm kỳ lạ đồng nhất cái không có gì với toàn thể vũ trụ mà trên thế giới từ cổ chí kim duy nhất chỉ có Phật giáo mới nói đến.

Ngay từ những năm khoảng từ 300 đến 200 trước C.N. người Ấn Độ đã có một hệ thống á thập phân (gần thập phân) gồm chín ký hiệu cho các số từ 1 đến 9, và các danh từ dành cho các “bội của mười”. Cụ thể “mười” được gọi là “dasan”, “một trăm” được gọi là “sata”, v.v… Chẳng hạn để thể hiện số 135 như ngày nay ta viết, người Ấn Độ cổ viết là “1 sata, 3 dasan, 5”, hoặc để thể hiện 105, họ viết “1 sata,5”, v.v… Phải đợi mãi đến khoảng năm 600 sau C.N., người Hindu mới tìm ra cách xoá bỏ các danh từ trong khi viết số nhờ vào việc phát minh ra ký hiệu của số 0. Với ký hiệu này, “1 sata, 5” sẽ được viết là 105 như ngày nay. Vào khoảng những năm 700, người Ả-rập đã học số học của người Hin-đu. Vào khoảng những năm 800, một nhà toán học Ba Tư đã trình bầy số học với hệ thập phân của người Ấn Độ trong một cuốn sách bằng tiếng Ả-rập. Khoảng 300 năm sau cuốn sách này được dịch ra tiếng La-tinh. Từ đó hệ thống số Ấn-Ả-rập xâm nhập vào Châu Âu, rồi từ Châu Âu được truyền bá ra khắp thế giới như ngày nay. Thực ra người Babylon cổ đại là người đầu tiên tìm ra số 0. Người Maya ở Châu Mỹ cũng đã tìm thấy số 0 vào thế kỷ 1, tức là trước người Ấn Độ khoảng 500 năm. Nhưng số 0 của người Babylon và người Maya không có đầy đủ ý nghĩa và chức năng như số 0 của người Ấn Độ mà ngày nay ta dùng. Phải đợi đến số 0 của người Ấn Độ thì hệ thống số mới thực sự đạt tới một bước ngoặt lịch sử trong khoa học và trong nhận thức nói chung bởi công dụng vô cùng tiện lợi và ý nghĩa triết học sâu xa của nó.

2* Ý nghĩa triết học của Sunya:

Theo Guedj, số 0 khác hẳn với các số khác về mặt khái niệm ở chỗ nó không gắn liền với đồ vật hoặc đối tượng cụ thể nào cả. Việc đưa số 0 vào trong hệ thống số là sự trừu xuất các số ra khỏi đối tượng cụ thể. Thực ra số 0 ra đời ở Ấn Độ sớm hơn một chút: nó đã xuất hiện trên các bản thảo ở thế kỷ 5 sau C.N. Ký hiệu đầu tiên của người Ấn Độ đối với số 0 là một vòng tròn nhỏ gọi là Sunya, theo tiếng Sanskrit (tiếng Ấn cổ) nghĩa là “cái trống rỗng” hoặc “cái trống không” (emptyness). Dịch ra tiếng Ả Rập  là sifr, ra tiếng La-tinh là zephirum rồi thành zephiro, và cuối cùng thành zero như ngày nay. Guedj viết tiếp: “Với sự sáng tạo ra số 0, khái niệm không có gì trở thành khái niệm tồn tại. Đây là sự gặp gỡ giữa hai hình thức của cái không, đó là sự trống rỗng về mặt không gian và sự phi tồn tại về mặt triết học, và điều này đã tạo ra một biến đổi căn bản về trạng thái ý nghĩa các con số. Khái niệm chẳng có gì đã biến thành khái niệm có cái không… Sự chuyển tiếp từ trạng thái không có đến trạng thái có zero, từ một số zero như một vị trí bị bỏ trống đến một số zero như một số lượng có thật, điều này đã tạo ra một bước chuyển biến căn bản trong lịch sử nhận thức”.

Đó là “lần đầu tiên, khái niệm trừu tượng của Cái Không đã được trình bầy bằng một ký hiệu cụ thể sờ thấy”, như Simon Singh đã mô tả trong cuốn “Định lý cuối cùng của Fermat”.

Tính chất “cụ thể sờ thấy” ấy cũng được Georges Ifrah trình bầy rõ trong cuốn “Từ 1 đến 0: Lịch sử phổ quát của số” như sau: “Số 0 của người Ấn Độ dùng để diễn tả sự trống không hoặc sự không hiện diện, nhưng đồng thời diễn tả không gian, vòm trời, bàu trời các thiên thể, bầu khí quyển, cũng như để diễn tả cái chẳng có gì, một số lượng không thể đếm được, một phần tử không  thể diễn tả cụ thể được”.

Như vậy việc sáng tạo ra số 0 thực chất là lấy hình để diễn tả cái siêu hình (lấy vòng tròn Sunya diễn tả cái không có gì, cái trống rỗng). Nói cách khác, cái siêu hình đã được cụ thể hoá bởi hình (cái không có gì được cụ thể hoá bằng vòm trời, vũ trụ), ngược lại hình chỉ là biểu lộ của cái không có gì mà thôi. Đây chính là tư tưởng “sắc sắc không không” của Phật giáo, trong đó Cái Không vừa là cái trống rỗng vừa là toàn bộ vũ trụ. Tư tưởng này rất khó hiểu đối với ngay cả người lớn, nếu không nghiên cứu học hỏi các lý thuyết Phật giáo một cách nghiêm túc, chứ đừng nói đến trẻ em.

3* Bài học về giáo dục từ Sunya:

Sẽ không có nền văn minh hiện đại, không có computer, … nếu không có Sunya.

Bài học lớn nhất từ Sunya là bài học về giáo dục: Những nhà giáo dục chân chính là những người biết biến cái phức tạp thành đơn giản, biến cái cao siêu trừu tượng thành cái phổ dụng, mang lại lợi ích thiết thực cho mọi người. Đó chính là nền chân học, hoàn toàn trái ngược với nền giáo dục hủ nho hoặc nền giáo dục sính chuộng hư văn mà “Chủ nghĩa Frege mới” (neo-Fregeanism) là một thí dụ điển hình. Chủ nghĩa này là gì? Xin đón đọc bài kỳ sau sẽ rõ.

Ngày 23/07/2011

Châu Khê