Lời giới thiệu:

Thưa quý độc giả,

Cuốn “Định lý Gödel – Nền tảng của khoa học nhận thức hiện đại” đã được NXB Tri Thức xuất bản lần đầu tiên vào Tháng 9 năm 2019, và tái bản vào Tháng 7 năm 2022. Từ đó đến nay, cuốn sách đã nhận được rất nhiều nhận xét và bình luận quý báu của độc giả. Một số nhận xét đã được đăng trên trang đầu của cuốn tái bản năm 2022. Tôi, tác giả của cuốn sách, luôn luôn trân trọng và biết ơn những nhận xét và bình luận đó. Trong số những nhận xét và bình luận đó, có một bài viết đặc biệt:

Đó là bài viết của bạn Vũ Hải Phi, 19 tuổi, hiện là sinh viên năm thứ nhất Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà-nội, Khoa Khởi nghiệp và Phát triển Kinh Doanh.

Bài viết thể hiện một văn phong mạch lạc, rõ ràng, sáng sủa, một tư duy khúc chiết, rung động sâu sắc với những tư tưởng khoa học và triết học được trình bày trong cuốn sách “Định lý Gödel …” ……… 

Tính đến hôm nay, bạn Vũ Hải Phi là độc giả trẻ nhất của cuốn sách “Định lý Gödel”, nhưng những gì bạn Vũ Hải Phi trình bày trong bài viết, mà tôi sẽ giới thiệu ngay dưới đây, cho thấy bạn là một người có tư duy sâu sắc và rất chững chạc, không thua kém gì những bậc đàn anh, đàn cha, đàn chú mà tôi đã từng trao đổi. Đây là điều rất đáng mừng, “a nice surprise”!

Đây là bằng chứng cho thấy tuổi trẻ có thể nhanh chóng bắt kịp những tư tưởng hiện đại, kể cả khoa học lẫn triết học. Vấn đề là cái TÂM của bạn có hướng vào đó hay không.

Trong bài viết, bạn Vũ Hải Phi xưng hô thân mật là “Ông” và “Cháu”, trong đó “Ông” là tác giả cuốn “Định lý Gödel” và “Cháu” là bản thân.

Sau đây, xin trân trọng giới thiệu với quý độc giả:

1/ Nguyên văn bài viết của bạn Vũ Hải Phi, cả tiếng Việt lẫn tiếng Anh.

2/ Bài viết của bạn Vũ Hải Phi, cả tiếng Việt lẫn tiếng Anh, với đôi chỗ được biên tập trên nguyên tắc không thay đổi ý kiến của bạn Vũ Hải Phi, chỉ thêm bớt hoặc thay đổi vài từ ngữ cho rõ ý hơn mà thôi.

Riêng về tiêu đề của bài viết, bạn Vũ Hải Phi viết ngắn gọn là “LỜI NÓI ĐẦU”. Tôi đã biên tập lại tiêu đề thành “Cảm nhận ban đầu của sinh viên Vũ Hải Phi về cuốn ĐỊNH LÝ GÖDEL của tác giả Phạm Việt Hưng”.

Để kết Lời Giới Thiệu, xin trân trọng cảm ơn quý độc giả vì sự quan tâm, và đặc biệt cảm ơn bạn Vũ Hải Phi, vì bài viết rất hay, rất sâu sắc của ban.

Phạm Việt Hưng

1/ Nguyên văn bài viết SV Vũ Hải Phi gửi TG Phạm Việt Hưng

Việt ngữ

Trái ngược với những nhận định ban đầu của cháu về một cuốn sách liên quan đến toán học – khoa học chỉ chứa đầy những kiến thức và thông tin khô khan, “Định lý Godel: Nền tảng của khoa học nhận thức hiện đại” của ông lại dẫn dắt người đọc bước vào câu chuyện của các bậc vĩ nhân bằng những câu hỏi – những nghi vấn mà con người đã luôn đặt ra kể từ khi bắt đầu có ý thức – điều khiến cho bất cứ ai trong chúng ta cùng từng một lần phải vắt tay lên trán mà suy nghĩ: “Ý nghĩa của sự tồn tại là gì?”, “ Tại sao chúng ta có mặt ở đây?”,… Có lẽ là bởi con người ai cũng muốn có thể định vị được bản thân giữa hàng triệu người khác, muốn sự tồn tại của mình là điều gì đó đặc biệt hơn chỉ là một sinh vật nhỏ bé giữa vũ trụ bao la. Và dù có muốn thừa nhận hay không, thì đúng như những gì ông nói. Con người chỉ là những cỗ máy vật chất tuân thủ theo những quy luật của tạo hoá, “sinh – lão – bệnh – tử”. Tuy nhiên, những bộ não vĩ đại của nhân loại luôn khao khát đi tìm sự thật, sự thật tận cùng về bản thân, về thế giới. Cũng vì thế, hàng vạn câu hỏi đã được đặt ra xuyên suốt quá trình lịch sử của nhân loại, là nguồn gốc cho sự phát triển của khoa học, triết học, văn chương, nghệ thuật, … Có thể nói, nền văn minh của nhân loại được hình thành từ những quá trình lặp đi lặp lại, bắt đầu bằng một câu hỏi, kết thúc bằng một câu trả lời, và tiếp diễn khi có người muốn tìm một câu trả lời thỏa mãn hơn.

Một câu hỏi vĩ đại đã được đặt ra của các nhà toán học vào đầu thế kỷ 20 (1900 – 1930) là: – Liệu có tồn tại một hệ thống chân lý toán học tuyệt đối hoàn hảo, thiêng liêng và vĩnh cửu – thứ được gọi với cái tên đầy sử thi là “Chiếc Chén Thánh Toán học” – hay không? Và “siêu toán học” ra đời, thỏa mãn khát vọng của những bộ não lỗi lạc nhất đương thời như David Hilbert, Bertrand Russell, Gottlob Frege, … Nhưng rồi Kurt Godel xuất hiện, mang theo “Định lý Bất toàn” (Theorem of Incompleteness). Định lý Bất Toàn của Kurt Godel như một tia sét chói lóa, xé tan bức màn ảo tưởng về tính tuyệt đối, buộc giới toán học phải nhìn nhận một thực tế: Vẫn còn tồn tại những bí ẩn mà con người không thể hiểu. Hóa ra, khát vọng tìm ra một hệ tiên đề vừa đầy đủ vừa nhất quán như siêu toán học mong muốn là một khát vọng hoang đường. Hay như ông nói, là một tham vọng không tưởng. Kurt Godel tin vào một thứ khác, thứ làm cho con người khác với máy móc, khác với những cỗ máy mang khả năng tính toán siêu việt hơn rất nhiều so với con người. Đó là trực giác.

Kể từ sau phát hiện vĩ đại nhất của nhân loại – lửa, con người liên tục có những phát kiến mới giúp cải thiện đáng kể cả về đời sống vật chất lẫn tinh thần của mình. Đặc biệt là trong bốn thế kỷ gần đây, cả thế giới như đang được chứng kiến những bước nhảy vọt về khoa học và công nghệ. Có lẽ những con người sống ở đầu thế kỷ 20 sẽ không bao giờ có thể ngờ rằng chỉ trong vỏn vẹn một thế kỷ sau đó thôi, con người đã có thể tiến đến gần với các vì sao hơn bao giờ hết. Những vì sao không còn chỉ để thờ phụng nữa, mà để chinh phục. Khoảng cách địa lý giờ đây cũng chẳng còn là vấn đề đáng để bận tâm nữa khi dù có cách nhau nửa vòng trái đất, con người vẫn có thể tương tác với nhau chỉ qua một vài thao tác nhỏ. Có thể thấy, những thành tựu vượt bậc của khoa học và công nghệ đã xây dựng lên niềm tin vững chắc của con người một cách sâu sắc về tiềm năng mà những gì khoa học có thể đạt được. Niềm tin rằng khoa học chính là ngọn đuốc sáng soi rọi cho nhân loại trên con đường khám phá tất cả những bí mật của vũ trụ. Điều đó được chứng minh bằng rất nhiều những cột mốc sự kiện đáng chú ý được ông đề cập đến: Năm 1814, Pierre Simon Laplace nêu lên “Quyết định luận” (Laplace’s Determinism); Năm 1900, David Hilbert phất lên ngọn cờ cho cuộc tìm kiếm Chiếc Chén Thánh Toán học – Siêu toán học; Năm 1923, Albert Einstein đã đề cập đến “Lý thuyết Trường Thống nhất” (UFT – Unified Field Theory) trong diễn văn nhận Giải Nobel Vật lý, cho thấy tham vọng tìm ra một lý thuyết thống nhất lực hấp dẫn với lực điện từ; Năm 1928, David Hilbert nêu lên “Bài toán Quyết định” (Decision Problem), thể hiện niềm tin về một lý thuyết toán học vạn năng cho phép chứng minh hoặc bác bỏ mọi mệnh đề toán học; Cũng trong năm 1928, nhà vật lý Max Born – người sau này đoạt giải Nobel vật lý năm 1954 – tuyên bố: “Vật lý, như chúng ta biết, sẽ kết thúc trong vòng sáu tháng nữa”; Năm 1930, tư tưởng “Ignorabimus” (chúng ta sẽ không biết) của Emil du Bois-Reymond đã bị nhà toán học David Hilbert mạnh mẽ bác bỏ tại hội nghị khoa học tại Konigsberg; … Với rất nhiều những sự kiện như vậy cũng đủ để cho thấy ngọn lửa khát vọng hiểu biết của nhân loại ở thế kỷ 20 đã cháy rực hơn bao giờ hết. Tuy nhiên, ngọn lửa quá lớn đôi khi cũng sẽ gây bỏng cho những ai không biết kiểm soát nó. Trào lưu “Toán học Mới” (New Maths) ở Tây phương vào những năm 1950-1960 là một ví dụ điển hình, dẫn đến hậu quả nghiêm trọng là sự hỗn loạn trong nhận thức toán học khiến nhiều thế hệ học sinh chán nản, tẩy chay môn toán.

“Vậy làm thế nào để phân biệt một khát vọng chính đáng với một tham vọng không tưởng?”

Đây quả là một câu hỏi rất khó. Một câu hỏi mà chưa có, hoặc sẽ không có câu trả lời nào có thể thỏa mãn cả. Thứ duy nhất chúng ta có thể dựa vào, đó là trực giác.

Định lý Godel đóng một vai trò lớn lao trong tư duy hiện đại, giúp vẽ ra “một giới hạn cho những gì con người có thể giải thích hoặc chứng minh – những gì có thể giải thích hoặc chứng minh không phải là tất cả những gì con người muốn biết và có thể biết”. Thật không ngoa khi nói rằng Định lý Godel là một trong những khám phá về khoa học và triết học nhận thức vĩ đại nhất trong thế kỷ 20.

Kết thúc đoạn văn, ông đã không hề giấu sự hưng phấn và thích thú của bạn thân khi nhận ra rằng nhân loại sẽ không bao giờ đi đến tận cùng trên con đường khám phá những bí mật của vũ trụ. “Niềm hưng phấn sẽ không bao giờ kết thúc. Đó chính là ý nghĩa của cuộc sống!” Ông đã trả lời trọn vẹn một trong những câu hỏi mà chính ông đặt ra ngay từ những dòng đầu tiên: “Ý nghĩa của sự tồn tại là gì?”. Điều này càng cho cháu thấy ông là một con người ham học, luôn say mê với những tri thức bất tận của nhân loại.

Về cá nhân cháu, mỗi kiến thức, nhân vật và dòng sự kiện được ông liệt kê trong sách đều là một khám phá mới đối với cháu. Có những nhân vật cháu đã từng nghe tên qua, nhưng lại chưa từng có cơ hội để tìm hiểu sâu hơn về con người, cũng như câu chuyện, thành tựu của họ. Hơn hết, cháu cũng rất ấn tượng về việc mặc dù là một chủ đề nghe qua thì có vẻ sẽ khá khô khan, nhưng lời văn của ông lại khiến cho những thông tin trong cuốn sách trở nên vô cùng lôi cuốn, thú vị. Ông đã từ từ dẫn người đọc đến những thông tin mình muốn đề cập qua những câu hỏi, trích dẫn, sự kiện lịch sử,… khiến cho mạch đọc của quyển sách trở nên trôi chảy hơn. Vậy nên cháu nghĩ quyển sách này sẽ là một cơ hội tuyệt vời để cháu có thể hiểu hơn về các bậc vĩ nhân cũng như sự phát triển trong khoa học và triết học của nhân loại nói chung, cũng như về nhà toán học vĩ đại Kurt Godel và Định lý Bất toàn của ông nói riêng. 

English

Contrary to the initial expectations of the child about a book related to mathematics – a science thought to be filled with dry knowledge and information, “Godel’s incompleteness theorems: The Foundation of Modern Cognitive Science” by you actually guides the reader into the stories of great minds through questions – inquiries that humans have always posed since becoming conscious – something that makes anyone of us at some point have to raise a hand to the forehead and ponder: “What is the meaning of existence?”, “Why are we here?”, … Perhaps it is because everyone wants to be able to position themselves among millions of others, wanting their existence to be something more special than just a small creature in the vast universe. And whether one wants to admit it or not, it is true as you say. Humans are just material machines obeying the laws of nature, “birth – aging – illness – death”. However, the great brains of humanity always crave to seek the truth, the ultimate truth about oneself, about the world. Therefore, thousands of questions have been asked throughout the history of humanity, serving as the origin for the development of science, philosophy, literature, art, … It can be said that the civilization of humanity is formed from repeated processes, starting with a question, ending with an answer, and continuing when someone wants to find a more satisfying answer.

A great question was posed by mathematicians at the beginning of the 20th century (1900 – 1930): – Is there an absolutely perfect, sacred and eternal logical system of mathematics, reffered to “The Holy Grail of Mathematics”? And so, “Supermathematics” is the answer that satisfied the most brilliant mathematical minds of the time such as David Hilbert, Bertrand Russell, Gottlob Frege,… But then Kurt Godel with his “Incompleteness Theorems’’ appeared, shattering the illusion of absoluteness, forcing mathematicians to face a reality: There are still mysteries that humans can not comprehend. It turns out that the desire to find a premise system that is both complete and consistent as supermathematics desired is a delusional aspiration. Or as you said, it is an unimaginable ambition. Kurt Godel believed in something else, something that makes humans different from machines, different from the computing machines with much superior calculating abilities than humans. That is intuition.

Since the greatest discovery of mankind – fire, humans have continuously had new innovations that significantly improve both their material and spiritual lives. Especially in the past four centuries, the world seems to be witnessing leaps and bounds in science and technology. Perhaps the people living at the beginning of the 20th century would never have imagined that in just one short century later, humans would be able to get closer to the stars more than ever. The stars are no longer just for worship but for conquest. Geographical distance is no longer a concern now, as even if separated by half the circumference of the Earth, people can still interact directly with each other with just a few clicks. It can be seen that the outstanding achievements of science and technology have deeply built human’s strong belief in the potential that science can achieve. The belief that science will be the guiding light for humanity on the path to exploring all the secrets of the universe. This is evidenced by many notable milestones that you mentioned: In 1814, Pierre Simon Laplace put forward “Laplace’s Determinism“; In 1900, David Hilbert raised the flag for the search for “The Holy Grail of Mathematics” – Supermathematics; In 1923, Albert Einstein mentioned the “Unified Field Theory” in his Nobel Prize acceptance speech, showing the ambition to find a unified theory of gravity with electromagnetism; In 1928, David Hilbert proposed the “Decision Problem“, demonstrating belief in a universal mathematical theory that allows proving or disproving any mathematical proposition; Also in 1928, physicist Max Born – who later won the Nobel Prize in Physics in 1954 – declared: “Physics, as we know it, will end in six months”; In 1930, the idea of “Ignorabimus” (we will not know) by Emil du Bois-Reymond was strongly refuted by mathematician David Hilbert at a scientific conference in Konigsberg; … With many events like these, it is enough to show that the burning desire for understanding of humanity in the 20th century was brighter than ever. However, the fire that is too large sometimes can also burn those who do not know how to control it. The “New Maths” trend in the Western world in the 1950s-1960s is a typical example. This led to the serious consequence of confusion in mathematical cognition, causing many generations of students to become discouraged and reject the subject of mathematics.

“So how do we differentiate a legitimate aspiration from an unrealistic ambition?” 

This is indeed a very difficult question. A question that has no answer, or will not have an answer that can satisfy everyone. The only thing we can rely on is intuition.

Godel’s incompleteness theorems play a major role in modern thinking, helping to draw “a limit to what humans can explain or prove – what can be explained or proven is not all that humans want to know and can know.” It would not be an exaggeration to say that Godel’s theorem is one of the greatest discoveries in science and philosophical cognition in the 20th century. 

At the end of the passage, you did not hide his excitement and enthusiasm when realizing that humanity will never reach the ultimate goal on the path to exploring the secrets of the universe. “The excitement will never end. That is the meaning of life!” You fully answered one of the questions that you raised from the very beginning: “What is the meaning of existence?”. This further shows to me that you are a knowledge-hungry person, always passionate about the endless knowledge of humanity. 

As for me, every piece of knowledge, character, and event listed in the book is a new discovery for me. There are characters whose names I have heard of before, but have never had the opportunity to learn more about the person, as well as their stories and achievements. Above all, I am also very impressed that even though a topic may seem dry at first glance, your writing makes the information in the book extremely captivating and interesting. You slowly lead the reader to the information you want to address through questions, quotes, historical events, making the flow of reading the book smoother. Therefore, I think this book will be a great opportunity for me to understand more about the great figures as well as the development in science and philosophy of humanity in general, as well as about the great mathematician Kurt Godel and his Godel’s theorem in particular.

2/ Bài viết của SV Vũ Hải Phi được biên tập bởi TG Phạm Việt Hưng

Việt ngữ

Trái ngược với những ấn tượng ban đầu của cháu về một cuốn sách liên quan đến toán học – khoa học chỉ chứa đầy những kiến thức và thông tin khô khan, cuốn “Định lý Gödel: Nền tảng của khoa học nhận thức hiện đại” của ông lại dẫn dắt người đọc bước vào câu chuyện của các bậc vĩ nhân bằng những câu hỏi – những nghi vấn mà con người đã luôn đặt ra kể từ khi bắt đầu có ý thức – điều khiến cho bất cứ ai trong chúng ta cùng từng một lần phải vắt tay lên trán mà suy nghĩ: “Ý nghĩa của sự tồn tại là gì?”, “ Tại sao chúng ta có mặt ở đây?”,… Có lẽ là bởi con người ai cũng muốn có thể định vị được bản thân giữa hàng triệu người khác, muốn sự tồn tại của mình là điều gì đó có ý nghĩa đặc biệt hơn chỉ là một sinh vật nhỏ bé giữa vũ trụ bao la. Và dù có muốn thừa nhận hay không, thì đúng như những gì ông nói, con người chỉ là những cỗ máy vật chất tuân thủ theo những quy luật của tạo hoá, “sinh – lão – bệnh – tử”. Tuy nhiên, những bộ não vĩ đại của nhân loại luôn khao khát đi tìm sự thật, sự thật tận cùng về bản thân, về thế giới. Cũng vì thế, hàng vạn câu hỏi đã được đặt ra xuyên suốt quá trình lịch sử của nhân loại, là nguồn gốc cho sự phát triển của khoa học, triết học, văn chương, nghệ thuật, … Có thể nói, nền văn minh của nhân loại được hình thành từ những quá trình lặp đi lặp lại, bắt đầu bằng một câu hỏi, kết thúc bằng một câu trả lời, và điều này cứ tiếp diễn khi có người muốn tìm một câu trả lời thỏa mãn hơn.

Một câu hỏi vĩ đại đã được đặt ra bởi các nhà toán học vào đầu thế kỷ 20 (khoảng 1900 – 1930) là:

– Liệu có tồn tại một hệ thống chân lý toán học tuyệt đối hoàn hảo, thiêng liêng và vĩnh cửu – thứ sau này được gọi với cái tên đầy sử thi là “Chiếc Chén Thánh Toán học” – hay không?

Và thế là “siêu toán học” đã ra đời, nhắm thỏa mãn khát vọng của những bộ não lỗi lạc nhất đương thời như David Hilbert, Bertrand Russell, Gottlob Frege, …

Nhưng rồi chàng trai 25 tuổi Kurt Gödel xuất hiện, mang “Định lý Bất toàn” (Theorem of Incompleteness) đến với thế giới!

Định lý này như một tia sét chói lòa, xé tan bức màn ảo tưởng về tính tuyệt đối hoàn hảo chắc chắn của toán học, buộc giới toán học phải nhìn nhận một thực tế: Vẫn còn tồn tại những bài toán không giải được và thậm chí những mâu thuẫn nghịch lý trong toán học – ngụ ý những bí ẩn mà con người không thể giải thích được!

Hóa ra, khát vọng tìm ra một hệ tiên đề vừa đầy đủ vừa nhất quán như siêu toán học mong muốn là một khát vọng hoang đường. Hay như ông nói, là một tham vọng không tưởng. Định lý Gödel “vô tình” làm nổi bật vai trò của một thứ gì đó khác với logic – thứ làm cho con người khác hẳn và hơn hẳn máy móc, mặc dù những cỗ máy này có khả năng tính toán siêu việt hơn rất nhiều so với con người. Đó là TRỰC GIÁC!

Kể từ sau phát hiện vĩ đại nhất của nhân loại – LỬA – con người liên tục có những khám phá và phát kiến mới giúp cải thiện đáng kể đời sống cả về vật chất lẫn tinh thần của mình. Đặc biệt, trong bốn thế kỷ gần đây, cả thế giới như đang được chứng kiến những bước nhảy vọt về khoa học và công nghệ. Có lẽ những con người sống ở đầu thế kỷ 20 sẽ không bao giờ có thể ngờ rằng chỉ trong vỏn vẹn một thế kỷ sau đó thôi, con người đã có thể tiến đến gần với các vì sao hơn bao giờ hết. Những vì sao không còn chỉ để thờ phụng nữa, mà để chinh phục. Khoảng cách địa lý giờ đây cũng chẳng còn là vấn đề đáng bận tâm nữa, khi mà cách nhau nửa vòng trái đất, con người vẫn có thể tương tác với nhau chỉ qua một vài thao tác rất nhỏ. Có thể thấy, những thành tựu vượt bậc của khoa học và công nghệ ngày nay đã tạo nên một niềm tin vững chắc và sâu sắc vào tiềm năng mà những gì khoa học có thể đạt được.

Thật vậy, niềm tin ấy cho rằng khoa học chính là ngọn đuốc sáng soi rọi đường cho nhân loại trong hành trình khám phá tất cả những bí mật của vũ trụ. Điều đó được chứng minh bằng rất nhiều cột mốc sự kiện đáng chú ý mà ông đã đề cập đến:

● Năm 1814, Pierre Simon Laplace nêu lên “Quyết định luận” (Laplace’s Determinism);

● Năm 1900, David Hilbert phất lên ngọn cờ cho cuộc tìm kiếm Chiếc Chén Thánh Toán học (Siêu toán học);

● Năm 1923, Albert Einstein đã đề cập đến “Lý thuyết Trường Thống nhất” (UFT – Unified Field Theory) trong diễn văn nhận Giải Nobel Vật lý, cho thấy tham vọng tìm ra một lý thuyết thống nhất lực hấp dẫn với lực điện từ;

● Năm 1928, David Hilbert nêu lên “Bài toán Quyết định” (Decision Problem), thể hiện niềm tin vào sự tồn tại của một lý thuyết toán học vạn năng cho phép chứng minh hoặc bác bỏ mọi mệnh đề toán học;

● Cũng trong năm 1928, nhà vật lý Max Born, người sau này đoạt giải Nobel vật lý năm 1954, tuyên bố: “Vật lý, như chúng ta biết, sẽ kết thúc trong vòng sáu tháng nữa”;

● Năm 1930, tư tưởng “Ignorabimus” (chúng ta sẽ không biết) của Emil du Bois-Reymond đã bị nhà toán học David Hilbert mạnh mẽ bác bỏ tại hội nghị khoa học tại Konigsberg; …

Chừng ấy sự kiện cũng đủ để cho thấy ngọn lửa khát vọng hiểu biết của nhân loại đầu thế kỷ 20 đã rực cháy mạnh mẽ hơn bao giờ hết. Tuy nhiên, ngọn lửa quá lớn đôi khi cũng sẽ gây bỏng cho những ai không biết kiểm soát nó. Trào lưu “Toán học Mới” (New Maths) ở Tây phương vào những năm 1950-1960 là một ví dụ điển hình, dẫn đến hậu quả nghiêm trọng là sự hỗn loạn trong nhận thức toán học khiến nhiều thế hệ học sinh chán nản, tẩy chay môn toán.

“Vậy làm thế nào để phân biệt một khát vọng chính đáng với một tham vọng không tưởng?”. 

Đây quả là một câu hỏi rất khó. Một câu hỏi mà chưa có, hoặc sẽ không có câu trả lời nào có thể thỏa mãn. Thứ duy nhất chúng ta có thể dựa vào, đó là TRỰC GIÁC! Không có trực giác sắc sảo và nhạy bén để định hướng đúng thì mọi lý luận logic dù hàn lâm đến mấy cũng vô ích, thậm chí dẫn tới thảm họa về nhận thức.

Định lý Gödel đóng một vai trò lớn lao trong tư duy hiện đại, giúp vẽ ra “một giới hạn cho những gì con người có thể giải thích hoặc chứng minh – những gì có thể giải thích hoặc chứng minh không phải là tất cả những gì con người muốn biết và có thể biết”. Thật không ngoa khi nói rằng Định lý Gödel là một trong những khám phá về khoa học và triết học nhận thức vĩ đại nhất trong thế kỷ 20.

Kết thúc đoạn văn, ông đã không hề giấu sự hưng phấn và thích thú của bạn thân khi nhận ra rằng nhân loại sẽ không bao giờ đi đến tận cùng trên con đường khám phá những bí mật của vũ trụ. “Niềm hưng phấn sẽ không bao giờ kết thúc. Đó chính là ý nghĩa của cuộc sống!” Ông đã trả lời trọn vẹn một trong những câu hỏi mà chính ông đặt ra ngay từ những dòng đầu tiên: “Ý nghĩa của sự tồn tại là gì?”. Điều này càng cho cháu thấy ông là một con người ham học, luôn say mê với những tri thức bất tận của nhân loại.

Về cá nhân cháu, mỗi kiến thức, nhân vật và dòng sự kiện được ông liệt kê trong sách đều là một khám phá mới đối với cháu. Có những nhân vật cháu đã từng nghe tên qua, nhưng lại chưa từng có cơ hội để tìm hiểu sâu hơn về con người, cũng như câu chuyện, thành tựu của họ. Hơn hết, cháu cũng rất ấn tượng về việc mặc dù là một chủ đề nghe qua thì có vẻ sẽ khá khô khan, nhưng lời văn của ông lại khiến cho những thông tin trong cuốn sách trở nên vô cùng lôi cuốn, thú vị. Ông đã từ từ dẫn người đọc đến những thông tin mình muốn đề cập qua những câu hỏi, trích dẫn, sự kiện lịch sử, … khiến cho mạch đọc của quyển sách trở nên trôi chảy hơn. Vậy nên cháu nghĩ quyển sách này sẽ là một cơ hội tuyệt vời để cháu có thể hiểu hơn về các bậc vĩ nhân cũng như sự phát triển trong khoa học và triết học của nhân loại nói chung, cũng như về nhà toán học vĩ đại Kurt Gödel và Định lý Bất toàn của ông nói riêng. 

English

Contrary to my initial expectations about a book related to mathematics – a science thought to be filled with dry knowledge and information, your book “Gödel’s incompleteness theorem: The Foundation of Modern Cognitive Science” actually guides readers into the stories of great minds through questions – inquiries that humans have always posed since becoming conscious – something that makes anyone of us at some point have to raise a hand to the forehead and ponder: “What is the meaning of existence?”, “Why are we here?”, … Perhaps it is because everyone wants to be able to position themselves among millions of others, wanting their existence to be something more special than just a small creature in the vast universe. And whether one wants to admit it or not, it is true as you say, humans are just material machines obeying the laws of nature, “birth – aging – illness – death”. However, the great brains of humanity always crave to seek the truth, the ultimate truth about oneself, about the world. Therefore, thousands of questions have been asked throughout the history of humanity, serving as the origin for the development of science, philosophy, literature, art, … It can be said that the civilization of humanity is formed from repeated processes, starting with a question, ending with an answer, and continuing when someone wants to find a more satisfying answer.

A great question was posed by mathematicians at the beginning of the 20th century (about 1900 – 1930): – Is there an absolutely perfect, sacred and eternal logical system of mathematics, reffered to “The Holy Grail of Mathematics”?

And so, “Meta-mathematics” is the answer that satisfied the most brilliant mathematical minds of the time such as David Hilbert, Bertrand Russell, Gottlob Frege, … But then a Kurt Gödel with his “Incompleteness Theorem’’ appeared, shattering the illusion of a perfect mathematical system, forcing mathematicians to face a reality: There are always undecidable mathematical problems and even paradoxes in mathematics. Gödel himself declared “To explain everything is impossible!”. It turns out that the desire to find an axiomatic system that is both complete and consistent as meta-mathematics desired is a delusional aspiration. Or as you said, it is an utopian ambition. Unexpectedly, Gödel’s Incompleteness Theorem consequently highlights the role of something else, something that makes humans totally different from computing machines – the machines with calculating abilities that are superior than us. That is INTUITION.

Since the greatest discovery of mankind – the discovery of FIRE –  humans have continuously had new innovations that significantly improve both their material and spiritual lives. Especially in the last four centuries, the world has witnessed a series of leaps and bounds in science and technology. Perhaps people living at the beginning of the 20th century would never have imagined that in just one short century later, humans would be able to get closer to the stars more than ever. The stars are no longer just for worship but for conquest. Geographical distance is no longer a concern now, as even if separated by half the circumference of the Earth, people can still interact directly with each other with just a few clicks. It can be seen that the outstanding achievements of science and technology have deeply built human’s strong belief in the potential that science can achieve. The belief that science will be the guiding light for humanity on the path to exploring all the secrets of the universe. This is evidenced by many notable milestones that you mentioned:

● In 1814, Pierre Simon Laplace put forward “Laplace’s Determinism”;

● In 1900, David Hilbert raised the flag for the search for “The Holy Grail of Mathematics” (Meta-mathematics);

● In 1923, Albert Einstein mentioned the “Unified Field Theory” in his Nobel Prize acceptance speech, showing the ambition to find a unified theory of gravity with electromagnetism;

● In 1928, David Hilbert proposed the “Decision Problem”, demonstrating belief in a universal mathematical theory that allows proving or disproving any mathematical proposition;

● Also in 1928, physicist Max Born – who later won the Nobel Prize in Physics in 1954 – declared: “Physics, as we know it, will end in six months”;

● In 1930, the idea of “Ignorabimus” (we will not know) by Emil du Bois-Reymond was strongly refuted by mathematician David Hilbert at a scientific conference in Konigsberg; …

With such events, it is probably enough to show that the burning desire for understanding of humanity in the early 20th century was brighter than ever. However, the fire that is too large sometimes can also burn those who do not know how to control it. The “New Maths” trend in the Western educational world in the 1950s-1960s is a typical example. This led to the serious consequence of confusion in mathematical cognition, causing many generations of students to become discouraged and reject the subject of mathematics.

“So how do we differentiate a legitimate aspiration from an unrealistic ambition?” 

This is indeed a very difficult question. A question that has no answer, or will not have an answer that can satisfy everyone. The only thing we can rely on is INTUITION.

Gödel’s incompleteness theorem play a major role in modern thinking, helping to draw “a limit to what humans can explain or prove – what can be explained or proven is not all that humans want to know and can know”. It would not be an exaggeration to say that Gödel’s theorem is one of the greatest discoveries in science and philosophical cognition in the 20th century. 

At the end of the passage, you did not hide your excitement and enthusiasm when realizing that humanity will never reach the ultimate goal on the path to exploring the secrets of the universe. “The excitement will never end. That is the meaning of life!” You fully answered one of the questions that you raised from the very beginning: “What is the meaning of existence?”. This further shows to me that you are a knowledge-hungry person, always passionate about the endless knowledge of humanity. 

As for me, every piece of knowledge, character, and event listed in the book is a new discovery for me. There are characters whose names I have heard of before, but have never had the opportunity to learn more about the person, as well as their stories and achievements. Above all, I am also very impressed that even though a topic may seem dry at first glance, your writing makes the information in the book extremely captivating and interesting. You slowly lead the reader to the information you want to address through questions, quotes, historical events, making the flow of reading the book smoother. Therefore, I think this book will be a great opportunity for me to understand more about the great figures as well as the development in science and philosophy of humanity in general, as well as about the great mathematician Kurt Gödel and his Incompleteness Theorem in particular.

 

DJP 22/04/2024