On The Undecidability / Về Cái Bất khả Quyết định

When living, professor Tạ Quang Bửu once said to professor Phan Đình Diệu: “The right of mathematics must be found outside mathematics”. In another occasion, he also said to professor Hoàng Xuân Sính: “Between the right and the wrong, there are still the indecidable things”. These stories show how Gödel’s Theorem had penetrated into Vietnam in the early days…

Lúc sinh thời, GS Tạ Quang Bửu có lần nói với GS Phan Đình Diệu: “Cái đúng của toán học phải tìm ở bên ngoài toán học”. Một dịp khác, ông cũng nói với GS Hoàng Xuân Sính: “Giữa cái đúng và cái sai, còn có những cái không thể quyết định được”. Những câu chuyện đó cho thấy Định lý Gödel đã xâm nhập vào Việt Nam trong những ngày đầu tiên như thế nào…

Những chuyện vừa kể ở trên nằm trong cuốn sách “GS Tạ Quang Bửu, con người và sự nghiệp”, do Đại học Quốc gia Hà-nội xuất bản năm 2000, trong đó có hai bài báo duy nhất đề cập đến Định lý Gödel: “Một bài học khó” của GS Phan Đình Diệu và “Một người thầy lỗi lạc, Anh Tạ Quang Bửu” của GS Hoàng Xuân Sính.

Hai bài báo ấy vô tình đóng một dấu son lịch sử: Định lý Bất toàn của Kurt Gödel đã xâm nhập vào Việt Nam từ cách đây nửa thế kỷ như thế nào. Đây là điều hầu như rất ít người để ý.

Mặc dù hơi kém duyên một chút, mãi tới năm nay, 2017, tôi mới có cuốn sách này, nhưng đúng là “muộn còn hơn không bao giờ” (Tard vaut mieux que jamais), bởi rốt cuộc tôi đã có nó, và nhờ nó mà tôi đã có thể trả lời được khá dứt khoát một câu hỏi bấy lâu nay rằng tại sao Định lý Bất toàn, hoặc gọi tắt là Định lý Gödel, ra đời từ 1931 nhưng mãi tới cuối thế kỷ 20 nó mới được nhiều người biết đến.

Nhưng trước khi đi vào câu chuyện, tôi không thể không nói lên lòng biết ơn đối với bạn tôi, TS Nguyễn Công Dzị ở Mỹ, vì đã tặng tôi cuốn sách quý này. Nó đến tay tôi đúng vào lúc kết thúc hội thảo “Tác động của Định lý Gödel đối với khoa học và triết học nhận thức” ngày 18/10/2017 vừa qua tại Khoa Triết, Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn  thuộc Đại học Quốc gia Hà-nội. Nếu nó đến với tôi sớm hơn, chắc chắn bài thuyết trình của tôi tại hội thảo sẽ phong phú và thuyết phục hơn.

Không phải ngẫu nhiên TS Nguyễn Công Dzị tặng tôi cuốn sách đó. Thực ra chúng tôi đã nhanh chóng trở thành bạn tri kỷ nhờ những cuộc thảo luận xung quanh Định lý Bất toàn từ trước đó. Bây giờ đến lượt tôi, tôi không thể không giới thiệu cuốn sách quý này với độc giả rộng rãi.

1/ Định lý Gödel qua con mắt của các học giả Việt Nam

Trong bài “Một bài học khó”, GS toán học Phan Đình Diệu viết:

Các cấu trúc Bourbaki, được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp và logic cổ điển, là nền tảng để phát triển toàn bộ toán học, đó là niềm tin ban đầu mà các bài giảng của Anh (tức GS Tạ Quang Bửu, chú thích của PVHg) đã góp phần xác lập trong nhận thức của tôi. Nhưng rồi niềm tin đó sớm bị lung lay. Hồi đó, tuy hiếm tài liệu, nhưng ham tìm thì rồi cũng có. Tôi say mê tìm các tài liệu “phê phán” toán học cổ điển và thích thú đọc những hướng nghiên cứu xây dựng toán học theo các quan điểm logic, trực giác, kiến thiết… Cũng nhờ đó, tôi đã được hưởng cái nhọc nhằn thú vị khi cố đọc cho hiểu Định lý Gödel với đầy đủ chứng minh tinh tế của nó. Có lần tôi mang những thắc mắc về quan niệm “đúng, sai” trong toán học hỏi ý kiến Anh, thì tôi biết được là tuy Anh thuyết giảng về Bourbaki, nhưng Anh cũng biết khá rành về các khuynh hướng khác, và Anh nói với tôi về “cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học”.

GS Phan Đình Diệu lưu ý:

Định lý Gödel nói rằng một lý thuyết toán học đủ mạnh, nếu phi mâu thuẫn thì không đầy đủ, và không tự chứng minh được tính phi mâu thuẫn của mình. Đây là một định lý toán học, không những có ý nghĩa toán học mà còn có ý nghĩa sâu sắc về nhận thức luận vượt ra ngoài phạm vi toán học.

Cũng trong cuốn sách trên, trong bài “Một người thầy lỗi lạc, Anh Tạ Quang Bửu”, Giáo sư toán học Hoàng Xuân Sính đề cập đến những bài toán liên quan đến Định lý Gödel một cách hóm hỉnh sắc sảo:

Bài giảng của Anh Bửu có nhiều chỗ thích thú, nhưng tôi thích nhất là đoạn “giữa cái đúng và cái sai, còn có cái không thể quyết định được”.

GS Hoàng Xuân Sính cho rằng đó chính là chỗ để lộ ra tầm vóc lớn của thầy Tạ Quang Bửu, rồi GS trình bày lại bài giảng của thầy Bửu bằng những từ ngữ lôi cuốn:

Trong toán, số học là một lĩnh vực mà sự chính xác, sự chắc chắn ngự trị, đó là cảm giác của mọi người… Chúng ta ở trên mảnh đất vững chắc mà các khẳng định nói ra là hoặc đúng hoặc sai. Thật an toàn cho cái đầu của ta, trong khi ở những ngành khoa học khác nhiều khi có cái lờ mờ không thể nói là đúng mà cũng không thể nói là sai gây nhiều thảo luận không chấm dứt được.

Nhưng đột ngột có một cú hãm phanh dòng suy nghĩ quen thuộc của mọi người với khái niệm “không thể quyết định được”, được phát biểu năm 1932 với Định lý Gödel: “Mọi lý thuyết và cụ thể là Số học, có những khẳng định mà người ta không thể chứng minh cũng như không thể bác bỏ”. Nói cách khác, giữa hai phạm trù của cái đúng và cái sai, còn có phạm trù của cái “không thể quyết định được”. Phạm trù này thường lại rất phong phú.

Để giới thiệu khái niệm “không thể quyết định được”, GS Tạ Quang Bửu để cập đến hai bài toán lớn:

Một, Định lý Cuối cùng của Fermat, một thách đố của Fermat từ năm 1665, từng làm khổ không biết bao nhiêu bộ não trong suốt vài thế kỷ mà vẫn chưa tìm thấy lời giải (tính đến thời điểm thầy Bửu đang giảng bài, tức là khoảng năm 1960). Với trực giác sắc sảo, thầy Bửu cho rằng Định lý Cuối cùng của Fermat không thuộc phạm trù bất khả quyết định, vì thầy tin Fermat nói thật khi ông ghi chú vào bên lề trang sách của ông rằng ông đã tìm thấy chứng minh. Mãi cho tới năm 1994, khi thầy Bửu đã mất, Andrew Wiles mới chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, có nghĩa là niềm tin của thầy Bửu cũng đúng.

Hình bên: Thư của Goldbach gửi Euler trong đó nêu lên Giả thuyết của mình về số chẵn bằng tổng hai số nguyên tố. 

Hai, thầy Bửu đặt nghi vấn: phải chăng Giả thuyết Goldbach, rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố, là một mệnh đề bất khả quyết định? Giả thuyết này do Christian Goldbach nêu lên từ năm 1742, trong một bức thư gửi Leonard Euler, đến hôm nay đã được kiểm chứng là đúng với con số 400.000.000.000.000, nhưng chưa hề có một chứng minh toán học nào cả. Đây là một đề tài dành cho những ứng cử viên Giải Fields trong tương lai.

Theo GS Hoàng Xuân Sính, bài giảng của thầy Bửu là Lý thuyết Tập hợp, vì thế không thể không đề cập đến Giả thuyết Continuum, hay còn gọi là Giả thuyết Liên tục. Tuy nhiên, vào thời điểm đó, năm 1960, chưa ai dám đặt vấn đề Giả thuyết Continuum có phải là một mệnh đề bất khả quyết định hay không. Giả thuyết này do Georg Cantor, cha đẻ của Lý thuyết Tập hợp, nêu lên từ cuối thế kỷ 19, và được David Hilbert đánh số thứ tự No1 trong danh sách những bài toán lớn nhất đương thời, công bố tại Hội nghị toán học quốc tế họp ở Paris năm 1900.

Giả thuyết của Cantor đụng đến một khái niệm rất mơ hồ, trừu tượng, đó là số vô hạn. Số vô hạn là gì? Có cái gì trên đời này là vô hạn thực sự không? Phải chăng số nguyên tử trong vũ trụ là vô hạn? Có chắc không? Để thuyết giảng điều này, GS Hoàng Xuân Sính kể một chuyện vui nhưng rất có ý nghĩa về cái vô hạn. Ấy là một câu nói bất hủ của một người chú, thầy dạy của bà từ thủa thiếu thời: “Con người ta đã nghĩ ra khái niệm vô hạn, nhưng chẳng có gì là vô hạn trên thế gian này, ngoài sự ngu xuẩn của con người”. Không rõ ông chú này có bị ảnh hưởng bởi Einstein hay không, vì Einstein cũng từng nói một câu tương tự: “Chỉ có hai thứ vô hạn: vũ trụ và CÁI NGU của con người; tôi không chắc về cái thứ nhất”. Nếu vậy thì cũng không trách được người đời khi họ gán cho Cantor là điên rồ (thực tế cuối cùng ông đã mắc bệnh thần kinh), và cái điên của ông đạt tới tột đỉnh khi ông muốn so sánh hai cái vô hạn xem cái nào “nhiều hơn, ít hơn”. Vì vô hạn là cái không thể có một số lượng xác định, nên không thể nói cái vô hạn này nhiều hơn cái vô hạn khác. Cantor bèn đưa ra khái niệm “lực lượng” (cardinality) của một tập vô hạn nhằm so sánh kích cỡ của các tập vô hạn với nhau. Dựa trên những định nghĩa về so sánh lực lượng của các tập hợp, người ta đã chứng minh được rằng lực lượng của tập số tự nhiên N “nghèo hơn” lực lượng của tập số thực R . Từ đó Cantor nêu lên giả thuyết, được gọi là Giả thuyết Continuum (Giả thuyết Liên tục), cho rằng giữa hai tập NR không tồn tại một tập trung gian nào ─ không tồn tại một tập hợp nào có lực lượng “giàu hơn” tập N đồng thời “nghèo hơn” tập R.

Nhờ công trình năm 1938 của Kurt Gödel và công trình năm 1963 của Paul Cohen (một học trò của Gödel), các nhà toán học đã kết luận: Giả thuyết Continuum là một mệnh đề bất khả quyết định.

GS Hoàng Xuân Sính cho biết, năm 1966, sau Hội nghị toán học thế giới ở Moskva, Anh Bửu lại nói lại khái niệm “không thể quyết định được” của Gödel, và nói rằng với công trình của Cohen, Giả thuyết Liên tục của Cantor là một ví dụ đẹp đẽ của cái “không thể quyết định được”.

Tóm lại, tính đến trước năm 2000, khi cuốn sách về GS Tạ Quang Bửu được xuất bản, dường như chỉ có 3 nhà toán học ở Việt Nam quan tâm đến Định lý Gödel, đó là các giáo sư Tạ Quang Bửu, Phan Đình Diệu, Hoàng Xuân Sính. Mối quan tâm ấy chỉ dừng lại ở những nhà nghiên cứu hàng đầu về toán học thuần túy, chưa trở thành mối quan tâm chung của cộng đồng toán học Việt Nam, và do đó càng không trở thành mối quan tâm chung của cộng đồng khoa học Việt Nam. Điều này giải thích vì sao hầu hết bạn bè của tôi, sinh viên ngành toán Đại học Tổng hợp Hà-nội khóa 6 (1962), và mở rộng ra toàn xã hội nói chung đều không biết gì về Định lý Gödel và càng không biết gì về ý nghĩa vô cùng trọng đại của định lý này đối với triết học nhận thức. Nay chính là lúc cần phải mang định lý đặc biệt quan trọng này đến với mọi người, đặc biệt là giới khoa học và triết học.

2/ Sự nhận thức muộn màng về ý nghĩa lớn lao của Định lý Gödel

Như tôi đã nhiều lần nêu lên nhận định cho rằng Định lý Bất toàn của Gödel ra đời từ năm 1931 nhưng mãi đến cuối thế kỷ 20 nhân loại mới thực sự bùng tỉnh để nhận thức được tính cách mạng của nó đối với nhận thức luận. Cuốn sách về GS Tạ Quang Bửu nói trên đã làm rõ một phần sự thật này. Cụ thể, qua cuốn sách đó, chúng ta có thể thấy cho đến những năm 1950-1960, đường lối toán học của Bourbaki vẫn lấn át tư tưởng của Định lý Gödel.

Đường lối của Bourbaki là gì? Là xây dựng lại toàn bộ toán học dựa trên nền tảng Lý thuyết Tập hợp. Đó chính là sự thực hành đường lối toán học của David Hilbert, nhằm biến giấc mơ của Hilbert thành sự thật: giấc mơ tìm thấy Siêu Toán học (Meta-mathematics), một hệ thống toán học đầy đủ và nhất quán ─ một hệ thống toán học tuyệt đối phi mâu thuẫn cho phép chứng minh hoặc phủ nhận bất kỳ một mệnh đề toán học nào. Để thực hiện giấc mơ ấy, Hilbert chủ trương xây dựng một hệ thống toán học tuyệt đối hình thức, lấy Lý thuyết Tập hợp làm nền tảng và sử dụng ngôn ngữ logic hình thức làm ngôn ngữ thuần khiết của toán học. Bourbaki đã xây dựng lại toán học đúng theo cách đó.

Thật trớ trêu khi Định lý Gödel, ra đời nằm 1931, thực chất đã khai tử Chương trình Hilbert về mặt triết học, nhưng đường lối Hilbert vẫn tiếp tục thắng thế trên toàn thế giới, đỉnh cao nhất của nó chính là các công trình của nhóm Bourbaki, bắt đầu từ 1934 và phát triển rầm rộ trong những năm 1950-1960, từng được ca ngợi là “Euclid của thế kỷ 20”. Thậm chí tư tưởng của Bourbaki còn được áp dụng vào nhà trường, đưa Lý thuyết Tập hợp và logic hình thức vào trường phổ thông ngay từ các lớp trẻ em, hòng “cải tạo nhận thức toán học” dưới khẩu hiện “Toán học Mới” (New Mathematics), gây nên hỗn loạn chưa từng có trong nhiều nền giáo dục lớn trên thế giới.

Ngày nay sự thật đã rõ. Nhân loại đã thấm nhuần tư tưởng của Gödel và không còn ai tiếp tục đi theo con đường của Bourbaki nữa. “Toán học Mới” đã chết. Các công trình toán học hiện đại không còn có tham vọng xây dựng lại nền tảng của toán học nữa, mà chuyển hướng vào các bài toán cụ thể, phục vụ những mục tiêu thiết thực của bản thân toán học, của khoa học computer, của vật lý học,…

Một trong các lý do cảnh tỉnh nhân loại là “Sự cố Dừng” (The Halting Problem) do Alan Turing khám phá năm 1936, nhưng cũng phải đợi đến cuối thế kỷ 20, khi khoa học computer phát triển mạnh, sự cố dừng xảy ra trong thực tế ở khắp nơi, người ta mới nhận ra rằng “Sự cố Dừng” của computer chính là sự thể hiện của Định lý Bất toàn của Gödel trong phạm vi khoa học computer. Nói cách khác, nếu computer là một hệ logic điển hình thì nó ắt phải tuân thủ tính hạn chế về logic mà Định lý Bất toàn đã khẳng định. Tương tự, nếu toán học là một hệ logic chặt chẽ nhất thì toán học cũng sẽ có “sự cố dừng” của nó, đó chính là những gì Định lý Bất toàn của Gödel đã chỉ ra. Nếu không có khoa học computer, nếu không có sự cố dừng, chưa chắc Định lý Gödel đã toàn thắng như hiện nay. Bởi nếu chỉ có lý thuyết, nếu chỉ có sự tranh cãi giữa các nhà toán học, chưa chắc trường phái Hilbert đã chấp nhận thua cuộc. Họ sẽ tìm cách sửa chữa những sai lầm trong lý thuyết của họ để tránh tất cả những lời “kết tội|” của Định lý Gödel. Nhưng trước thực tế lan tràn của “Sự cố Dừng” ở khắp mọi nơi mà computer có mặt, mọi lý thuyết chống lại Định lý Gödel buộc phải đầu hàng.

Qua đó càng thấy rõ GS Phan Đình Diệu quả là một nhà toán học có trực giác sắc bén, có con mắt tinh đời khi ông sớm nhận thấy tính chất “phê phán toán học” ở Định lý Gödel, và thậm chí thích thú nó, điều không phải nhà toán học nào cũng có cùng thái độ. Vâng, Định lý Gödel là một định lý toán học nhưng lại phê phán toán học, nó chỉ ra chỗ yếu của toán học và các hệ logic nói chung! Có lẽ đó cũng chính là một lý do để đa số các nhà toán học trên thế giới trong thế kỷ 20 không lấy gì làm thích thú với Định lý Gödel, và do đó không ủng hộ sự truyền bá nó, làm cho định lý này bị che mờ trong một giai đoạn khá dài trong lịch sử khoa học, ít nhất từ 1931 đến những năm cuối thế kỷ 20. Để cảm nhận rõ điều này, một lần nữa xin nhắc lại nguyên văn ý kiến của GS Phan Đình Diệu:

Nhưng rồi niềm tin đó sớm bị lung lay. Hồi đó, tuy hiếm tài liệu, nhưng ham tìm thì rồi cũng có. Tôi say mê tìm các tài liệu “phê phán” toán học cổ điển…

“Niềm tin đó” là niềm tin vào Bourbaki. Tài liệu “phê phán” toán học cổ điển ắt phải là Định lý Gödel. Dường như ở đây, GS Phan Đình Diệu nhạy cảm hơn những người cùng thời. Cái gì làm cho ông nhạy cảm như thế? Câu trả lời: Triết học! Thật vậy, ý kiến của ông không chỉ toát lên những tư duy toán học, mà nổi bật hơn, chính là những tư duy triết học. Đây, ông khẳng định:

Đây là một định lý toán học, không những có ý nghĩa toán học mà còn có ý nghĩa sâu sắc về nhận thức luận vượt ra ngoài phạm vi toán học. (Tôi tô đậm để nhấn mạnh, PVHg).

Tôi hơi kém may mắn vì phải đến năm nay, 2017, mới được đọc những ý kiến nói trên của GS Phan Đình Diệu, mặc dù trong một hội thảo của Hội Minh triết năm 2009 tôi có gặp GS ở đó. Sau ý kiến thuyết trình của tôi tại hội thảo, GS có nói với tôi rằng ông đã xuất bản một tài liệu chứng minh Định lý Gödel. Nhưng cái kém may mắn đó lại là một cái may, vì tôi đã tự mình tìm hiểu Định lý Gödel để hôm nay tôi có thể nói lên một niềm vui khó tả, rằng tôi tìm thấy sự đồng điệu trong nhận thức của mình về định lý này với cách nhìn của GS Phan Đình Diệu. Nói cách khác, ý kiến của GS Phan Đình Diệu vô tình đã ủng hộ những quan điểm của tôi, như đã từng trình bày trên các bài báo và trong các hội thảo về Định lý Gödel.

Thật vậy, điều tôi đặc biệt nhấn mạnh về vai trò của Định lý Gödel chính là tác động vô cùng to lớn của nó đối với khoa học và nhận thức luận nói chung, mà Hội thảo ngày 18/10/2017 vừa qua tại Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn Hà-nội là một trường hợp điển hình. Nay tôi lấy làm mãn nguyên vì thấy các bậc đàn anh mà tôi hằng ngưỡng mộ cũng đã từng nhấn mạnh như thế.

3/ Về những mệnh để bất khả quyết định

Các nhà triết học biết rõ hơn ai hết về những cuộc tranh luận không có hồi kết trong lịch sử về bản chất hạn chế của nhận thức. Không phải bây giờ mà từ xa xưa, rất xa xưa, đã có những bất đồng quan điểm về việc liệu con người có thể biết hết mọi sự thật hay không? Tích “Thầy bói xem voi” đã khẳng định rằng nhận thức có giới hạn, rằng nhận thức của con người luôn phiến diện, nó chỉ có thể nhận thức được một phần của sự thật mà thôi, thay vì toàn bộ sự thật. Nói cách khác, con người chỉ có thể nhận thức được những chân lý cục bộ, thay vì chân lý toàn phần. [1].

Tuy nhiên, với thắng lợi áp đảo của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật diễn ra từ thế kỷ 17 cho tới nay, nhiều người cho rằng với tư duy khoa học dựa trên những phương pháp luận chính xác, con người có thể dần dần khám phá ra mọi sự thật, vấn đề chỉ là thời gian. Một trong những phương pháp mạnh nhất của khoa học là phương pháp phân tích mổ xẻ kiểu Descartes. Cho đến nay, phương pháp này vẫn đang là phương pháp chủ yếu thống trị trong khoa học ─ phương pháp tư duy chủ yếu dựa trên lý lẽ, phân tích đến cùng mọi quá trình của sự vật. Câu châm ngôn của Descartes, “Je pense, donc je suis” (Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại) được xã hội cận đại và hiện đại coi như một tuyên ngôn của tư duy lý lẽ. Bản thân Descartes cống hiến cho khoa học một công cụ dường như vạn năng trong toán học, đó là Hình học Giải tích. Vì thế Descartes được xem như một trong những ông tổ của tư duy khoa học hiện đại, một kiểu tư duy thiên về lý tính.

Nhưng xu hướng chống đối kiểu tư duy Descartes cũng sớm nẩy mầm từ thế kỷ 17, điển hình là Blaise Pascal, trong đó đề cao TRỰC GIÁC như ngọn đèn pha soi đường cho nhận thức, thay vì lý lẽ. Tác phẩm bất hủ của Pascal, “De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader” (Về tinh thần hình học và Nghệ thuật thuyết phục), được viết vào khoảng năm 1658, nói rõ với chúng ta rằng toán học, mặc dù rất mạnh, nhưng rốt cuộc vẫn phải dựa trên những niềm tin nhất định, đó là hệ tiên đề, nhưng không có gì để đảm bảo hệ tiên đề đó là hoàn toàn đúng, chính xác và đầy đủ. Đó chính là điều Định lý Gödel khẳng định trong ba thế kỷ sau [2].

Immanuel Kant, nhà triết học trứ danh người Đức thế kỷ 18, thậm chí còn đẩy vấn đề đi xa hơn nữa, rằng có những sự thật không thể nhận thức được, và buộc con người phải kết hợp tư duy lý tính với niềm tin. Cuốn “Khát vọng Chân – Thiện – Mỹ” của PGSTS triết học Lê Công Sự, NXB Tri Thức 2017, trong bài “Antinomy là bản tính của tư duy” đã nói về Kant như sau:

Như vậy, linh hồn, vũ trụ, Thượng Đế – ba đối tượng truyền thống của siêu hình học cũ vẫn như những barier đứng chắn trên con đường nhận thức nhân loại, mà lý tính đã nhiều lần thử vượt qua nhưng đều bị chặn lại. Điều đó chứng tỏ rằng, nhận thức có giới hạn, con người chỉ nhận thức được những gì nằm trong thế giới hiện tượng, vượt ra ngoài giới hạn đó là vương quốc của thế giới vật tự nó, đến đây tri thức của con người đành bất lực đó là lời giải đáp cho câu hỏi: “Tôi có thể nhận biết được cái gì?”. Và ở đây thể hiện rõ nét quan điểm của Kant về sự thỏa hiệp giữa tri thức và niềm tin theo nghĩa “tôi buộc phải hạn chế tri thức để nhường chỗ cho niềm tin” (trang 196-197)

Trong thế kỷ 19, “kẻ khiêu khích đáng ghét nhất” đối với trường phái tôn sùng khoa học lý tính là Emil du Bois-Reymond, một nhà sinh lý học thần kinh người Đức. Năm 1872, ông này cho ra mắt một cuốn sách làm chấn động dư luận khoa học đương thời: “Về những giới hạn của sự hiểu biết của chúng ta về tự nhiên” (Über die Grenzen des Naturerkennens), trong đó ông tuyên bố: “IGNORAMUS et IGNORABIMUS” (Chúng ta không biết và sẽ không biết), kèm theo 7 bài toán thách đố [3].

David Hilbert, một trong những nhà toán học lớn nhất cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, tức giận với tuyên bố của Emil du Bois-Reymond, tuyên bố điều ngược lại: “Trong toán học không có Ignorabimus!”, và khẳng định “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”. Đó là lý do để Hilbert phát động một cao trào tái thiết lại toàn bộ toán học, hòng tìm thấy một thiên đường toán học tuyệt đối phi mâu thuẫn và cho phép nhận thức được mọi chân lý toán học.

Nhưng Định lý Gödel ra đời năm 1931 làm sụp đổ tòa lâu đài trong mơ của Hilbert, khẳng định Immanuel Kant, Blaise Pascal, Emil du Bois-Reymond,… đúng!

Khẳng định của Định lý Gödel về sự tốn tại của những mệnh đề bất khả quyết định đã biến tuyên bố hùng hồn của Hilbert, “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”, thành một kỷ niệm lịch sử thuần túy, đánh dấu một thời hoàng kim của trường phái tôn sùng lý tính, nhưng thời hoàng kim nay còn đâu. Lời nói của cố GS Tạ Quang Bửu ngày nào, rằng “Giả thuyết Continuum là một thí dụ đẹp về cái không thể quyết định được”, có lẽ đủ là một bài học triết học cho muôn thủa. Cuộc tranh luận về giới hạn của nhận thức có lẽ đến đây đã có hồi kết. Nếu ai còn muốn tranh cãi, ắt hẳn người đó chưa biết gì về Định lý Gödel.

GS Tạ Quang Bửu không chỉ nói thế. Ông còn nhắc nhở rằng “cái đúng của toán học phải tìm bên ngoài toán học”. Nếu toán học đã như vậy thì còn nói gì đến các lĩnh vực nhận thức kém chính xác hơn toán học? Vậy mà tại sao nhiều người vẫn cứ khăng khăng coi và chỉ coi khoa học là đủ để hiểu mọi sự thật? Ôi, ngây thơ quá. Thiết nghĩ gộp tất cả mọi tri thức của nhân loại lại cũng không đủ để biết mọi sự thật. Thế giới của những cái ta biết chỉ là một tập con của cái thế giới các sự thật. Bên ngoài thế giới ta biết, tồn tại một thế giới chưa biết và không bao giờ biết đầy đủ. Đó là lý do để xuất hiện THIỀN hoặc nhiều phương pháp tu luyện khác để giác ngộ sự thật về vũ trụ và về con người. Có lẽ các phương pháp tu luyện cũng không bao giờ đủ. Người ta phải học được điều này để biết mình BẤT TOÀN, như thế mới mong sẽ hiểu biết hơn, giác ngộ hơn, tốt đẹp hơn.

Stephen Hawking, nhờ Định lý Gödel, đã thay đổi cách nhìn đối với tương lai của vật lý. Có những người không chịu đọc Hawking, nhưng cứ thích lý luận bắt bẻ rất mất thì giờ, để bảo vệ niềm tin của họ về TOE (Theory of Everything). Thật đáng tiếc. Bao giờ thì người ta mới NGỘ ra những ý tứ thâm thúy của Albert Einstein khi ông nói về CÁI NGU của con người? [4]

Ngây thơ biết bao khi Thuyết Tiến hóa nghĩ rằng có thể khám phá ra nguồn gốc sự sống bằng các phương pháp sinh hóa thuần túy. Sự ngây thơ này chung quy cũng vì không hiểu Định lý Gödel ─ các nhà tiến hóa không hiểu rằng không bao giờ họ có thể biết được toàn bộ sự thật về sự sống bằng những cái mà họ gọi là khoa học về sự sống (những phản ứng sinh hóa trong phòng thí nghiệm). Lord Kelvin là một nhà tiên tri sáng suốt khi ông khẳng định từ cuối thế kỷ 19 rằng khoa học động lực học không bao giờ có thể khám phá ra nguồn gốc sự sống. Tiếc thay, giới tiến hóa tảng lờ Kelvin.

4/ Thay lời kết

Bài viết hôm nay bắt đầu từ cuốn sách về GS Tạ Quang Bửu. Vậy cũng xin kết về cuốn sách đó. Đối với tôi, đó là một cuốn sách tuyệt vời, vì nó không chỉ giúp tôi hiểu rõ thêm nhiều tình tiết xung quanh Định lý Gödel, mà còn giúp tôi củng cố thêm niềm tin và sự ngưỡng mộ của mình vốn có từ thủa sinh viên đối với GS Tạ Quang Bửu, một trong những người THẦY giỏi nhất, xuất sắc nhất của cộng đồng khoa học Việt Nam hiện đại. Tôi cũng muốn viết một cái gì đó để bày tỏ lòng ngưỡng mộ này, nhưng tôi không có khiếu văn chương. Vì thế, tôi coi bài thơ GS Phan Đình Diệu viết tặng cố GS Tạ Quang Bửu như một lời tri ân của nhiều người Việt Nam, đặc biệt là những người yêu khoa học, đối với người thầy lỗi lạc của mình, trong đó có tôi, mặc dù tôi rất kém về thơ, không hiểu hết tâm sự của GS Phan Đình Diệu. Vậy xin mạn phép chép bài thơ của GS Phan Đình Diệu dưới đây, thay cho lời kết bài viết này:

Một khối nghĩ suy, một khối tình

Nước non là đó, nọ là mình

Đã tròn một cuộc, bầu tâm huyết

Chưa thỏa đôi bề, lẽ tử sinh

Nghĩa nặng nhân tình còn quyến luyến

Ánh ngời tài trí vẫn lung linh

Nỗi đời chất chứa lòng ưu ái

Một khối nghĩ suy, một khối tình.

(Phan Đình Diệu)

 

Sydney, PVHg 22/11/2017

CHÚ THÍCH

[1] Xem Định lý Bất toàn [1] – Thầy Bói Xem voi, Phạm Việt Hưng, Khoa học & Tổ quốc số Tháng 02/2009,

[2] Xem Lửa của Pascal

[3] Xem Lý lẽ của trái tim

[4] Xem :

 

5 thoughts on “On The Undecidability / Về Cái Bất khả Quyết định

  1. Cháu rất lấy làm tự hào vì đã có những ngày tháng được học tập, ôn thi tại thư viện mang tên Giáo Sư Tạ Quang Bửu – Hiệu trưởng đầu tiên Đại học Bách khoa Hà Nội.
    Cháu cảm ơn Bác Hưng rất nhiều vì những thông tin quý giá trong bài.

    Thích

  2. Kính chào anh Hưng.
    Vừa rồi đã bị lỡ chuyến nghe anh tại ĐH Tổng hợp HN, song tôi đã được xem lại các bài tổng hợp sau buổi thuyết trình đó và rất vui vì thành công của anh trong việc truyền bá kiến thức, đặc biệt về vấn đề thuyết tiến hóa Đác-uyn mà anh biết là bản thân với tri thức le lói nhưng tôi cũng rất quan tâm và cũng cố gắng tuyên truyền đến mọi người xung quanh theo cách của mình như quan điểm của anh.
    Tôi không chắc về hộp thư của anh nên hôm nay vội gửi đến anh theo hộp thư này một thông tin về một kẻ … có danh, nhưng tôi không biết phải gọi anh ta thế nào, đã “phổ biến” một “công trình khoa học” về vấn đề ngôn ngữ tiếng Việt, xin anh xem địa chỉ:
    http://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/khoa-hoc/de-xuat-cai-tien-cach-viet-tieng-viet-thanh-tieq-viet-413053.html
    Nếu quả thực cái trò này được thực hiện, thì quả là nước Nam đến hồi đại họa về văn hóa rồi. Kính mong anh với tầm của một nhà nghiên cứu, sẽ góp ý với vấn đề này.
    Kính chào anh.
    Nguyễn Bình.

    Thích

    • Thân gửi anh Nguyễn Bình,
      Thật tiếc anh đã không thể tham dự Hội thảo “Tác động của Định lý Gödel…” hôm 18/10/2017 tại Khoa Triết Đại học KHXH&NV Hà-nội. Nếu anh có mặt để phát biểu ý kiến thảo luận thì sẽ có tác dụng truyền bá sự thật mạnh hơn. Về bài báo “cải cách tiếng Việt” mà anh gửi, tôi đã có dịp trông thấy nó trên mạng, và tôi tưởng trang mạng đó mắc lỗi chính tả. Nhưng khi thấy bài báo đó xuất hiện ở vài trang mạng khác nhau thì tôi giật mình sợ hãi nhận ra rằng đây là một ý tưởng “cải cách” (!). Xin anh cho phép tôi từ chối bình luận những thứ quái gở đó, vì nó không xứng đáng được làm hao tổn neuron thần kinh của chúng ta, phải không anh? PVHg

      Đã thích bởi 1 người

  3. Thân gửi giáo sư Phạm Việt Hưng
    Lang thang trên FB, ngán ngẩm với những cảnh bia bọt tiệc tùng thời thượng thì may mắn gặp được “PVHg’s Home” một địa chỉ cung cấp những kiến thức đươc trình bày một cách sâu sắc và nghiêm túc nhưng không kém phần hoa mỹ phù hợp với tâm hồn và tuổi tác của tôi.
    Ví như chính ở nơi đây, tôi tìm thấy lai lịch chữ “VẠN” của Hitler, điều mà đến tác phẩm dày cộp của W.Shirer về “Đế chế thứ ba” cũng chỉ mơ hồ trong một hai dòng, hay kênh NAT.GEO lại phỏng đoán một cách ấu trĩ rằng xuất sứ của cái logo này là do khi còn nhỏ tuổi, Hitler đã có ấn tượng sâu về một hình đắp nổi đầu hồi một ngôi nhà có dáng dấp gần như chữ “Vạn”.
    Hay bài về dự án bom nguyên tử của Đức Quốc xã bị chậm trễ ngoài lý do bị Đồng minh cản phá, một phần nữa bởi sự vụng về trong thực hành của thiên tài Heisenberg…Đó là những tư liệu khó tìm, rất thú vị…
    Đặc biệt có loạt bài về định lý bất toàn của Godel và thuyết tiến hóa của Đác-uyn cũng rất chuyên sâu.
    Nhớ lại cách đây gần 60 năm (1961-62) lần đầu tiên tôi được học về thuyết tiến hóa. Nói chung, nó được chấp nhận 100% (ngoại trừ có phê phán đôi chút về cái gọi là “Đác-uyn xã hội”). Quái dị hơn nữa là mấy cái lập luận ngụy tạo của “nhà khoa học lang băm” Lư-xen-cô cộng với những thao tác của cụ lang vườn Mit-su-rin cũng được coi là một “học thuyết”. Thật là quá dễ dãi.
    Thú thực tôi chưa bao giờ tin cá bò lên bờ thành động vật trên cạn dù có “chứng lý” về con cá bàn chân, hay bò sát thành chim với bằng chứng hóa thạch “con chim đầu tiên”. Nhưng khi nói đến vượn biến thành người thì chẳng còn gì để nói ngoài cái cảm nhận hình hài hai loài có đôi chút giống nhau…
    Nói chung thuyết tiến hóa chỉ như chuyện cổ tích. Mọi sự vật nếu giải thích theo kiểu các cụ ta ngày xưa rằng “Trời sinh ra thế” có lẽ dễ chấp nhận hơn.
    Vừa qua tôi có theo dõi bài giảng của giáo sư tại khoa Triết – ĐH Tổng hợp Hà Nội về định lý bất toàn của Godel, nói chung không hiểu hết nhưng ít ra cũng sáng tỏ ra được nhiều điều như sau: Trước đây, ta vẫn nghĩ nhận thức của con người về thế giới tự nhiên không bao giờ đạt đến chân lý tuyệt đối giống như đường Hyperbole không bao giờ chạm đến đường tiệm cận của nó. Nghĩ rằng đó là một khái niệm triết học không thể chứng minh nhưng hóa ra nó có một chỗ dựa vững chắc bởi lý thuyết toán học. Chỗ dựa đó chính là Định lý Bất toàn của Kurt Godel.
    Tuy nhiên, qua buổi thuyết trình ngày 28.10 đó của giáo sư, có một vài điều mong được tác giả giải thích thêm:
    1. “Tiến hóa” và “Big bang”đều do con người suy đoán (có lẽ nên đảo ngược lại là “đoán suy” – đoán trước suy sau). Vậy giữa hai thuyết này có sự giống nhau và khác nhau thế nào? Hiện thuyết Big bang đang được đề cao nhưng không phải ai cũng tán đồng ví như nhà vật lý Hames Alfven đã từng mỉa mai “ ”Big bang” chỉ là một huyền thoại tuyệt vời đáng được dành vị trí danh dự trong…nghĩa trang các lý thuyết đã tiêu ma.” (“Science et Avenir” – 4.1993)
    2. Có chứng tích khảo cổ chỉ ra các loài sinh ra cùng một lúc không?
    3. Đấng toàn năng tạo ra muôn vật trong đó có con người. Chúng ta không thể nào hiểu hết tất cả, đừng bao giờ nghĩ đến việc “chinh phục” ngài. Vậy liệu chúng ta có phải lo lắng rằng đến một ngày nào đó, bọn rô-bốt thông minh sẽ phản bội lại chúng ta – “đấng toàn năng” của chúng?
    4. Thuyết hấp dẫn của Eisntein là hình học hay vật lý? Nó có trả lời được bản chất của lực hấp dẫn là gì không?
    Rất mong được giáo sư giải thích rõ hơn những vấn đề trên cũng như các câu hỏi khác trong tương lai. Xin cảm ơn giáo sư nhiều.
    Hà Văn Thọ

    Đã thích bởi 1 người

    • Ông Hà Văn Thọ thân mến, Xin chân thành cám ơn ý kiến rất quý báu của ông. Vì ý kiến của ông chứa đựng rất nhiều suy nghĩ sâu sắc, đáng để nhiều người biết, nên tôi sẽ công bố ý kiến trao đổi của ông và tôi dưới dạng một bài viết hoàn chỉnh. Tôi sẽ cố gắng thực hiện sớm việc này. Một lần nữa xin đa tạ ông, và mong ông cộng tác thường xuyên với PVHg’s Home để phục vụ độc giả. PVHg

      Thích

Bình luận về bài viết này