Abstract: Carl Jung said: “In all chaos there is a cosmos; In all disorder a secret order”. That’s right. But the reverse is right, too: “In all cosmos there is a chaos; In all order a hidden disorder”. Nobody likes chaos, but chaos is everywhere, even in our soul. It is an inherent characteristic of Nature, which is discovered the 1st time by Henri Poincaré in the late of 19th century, but actually known only in the 1960s when “Butterfly Effect” was mentioned by Edward Lorenz.
Tóm tắt: Carl Jung nói: “Trong mọi cái hỗn độn có một vũ trụ; Trong mọi cái vô trật tự có một trật tự bí ẩn”. Điều đó đúng. Nhưng ngược lại cũng đúng: “Trong mọi vũ trụ có cái hỗn độn; trong mọi trật tự có cái vô trật tự tiềm ẩn”. Không ai thích hỗn độn, nhưng hỗn độn có mặt khắp nơi, ngay cả trong tâm hồn chúng ta. Đó là một đặc trưng vốn có của Tự Nhiên, được khám phá đầu tiên bởi Henri Poincaré cuối thế kỷ 19, nhưng chỉ thực sự được biết đến trong thập kỷ 1960 khi Edward Lorenz đề cập đến Hiệu ứng Con Bướm.

[1] – LORENZ VÀ HIỆU ỨNG CON BƯỚM

Lý thuyết hỗn độn là một lĩnh vực toán học nghiên cứu ứng xử của những hệ động lực học phức tạp (dynamical complex systems), chẳng hạn như quá trình biến đổi thời tiết, sự phát triển sinh sôi nẩy nở của một quần thể sinh học, chuyển động của một hệ nhiều vật thể tác động tương hỗ từng đôi, hoạt động của một mạch điện phức tạp, một hệ thống chứng khoán, một hệ thống quản lý xã hội, một hệ thần kinh, v.v. Những hệ này thường có một kiểu ứng xử rất kỳ lạ được gọi là “Hiệu ứng Con Bướm” (Butterfly Efect): một biến đổi rất nhỏ trong dữ kiện ban đầu có thể dẫn tới một thay đổi rất lớn trong kết quả sau cùng, làm cho việc tiên đoán kết quả trở nên bất khả.

Tóm lại, dấu hiệu căn bản để nhận ra một hệ hỗn độn là ở ứng xử quá nhạy cảm của nó đối với dữ kiện ban đầu – nhạy cảm đến nỗi kết quả hoạt động của nó giống như một hiện tượng ngẫu nhiên không thể tiên đoán được, ngay cả khi hệ thống đó là một hệ hoàn toàn xác định.
Thí dụ bàn quay roulette và quả bóng trên bàn quay là một hệ xác định, vì mỗi va chạm của quả bóng với bàn quay gây nên một chuyển động xác định tuân thủ các định luật của Cơ học Newton. Nhưng tập hợp tất cả các va chạm đó trở nên đủ phức tạp để dẫn tới hỗn độn – vị trí cuối cùng của quả bóng không thể tiên đoán được.
■ Người gieo thuật ngữ “Hiệu ứng con Bướm” vào khoa học là Edward Lorenz (1917 –2008), một nhà toán học và khí tượng học người Mỹ, được xem như một nhà tiên phong trong Lý thuyết Hỗn độn. Lorenz tốt nghiệp Đại học Harvard ngành Toán, và sau này tốt nghiệp Đại học MIT ngành khí tượng, rồi trở thành giáo sư tại Đại học này.
Trong những năm 1950, Lorenz bắt đầu nghi ngờ các mô hình tuyến tính trong dự báo thời tiết vì chúng phần lớn dự báo sai. Theo ông, các mô hình này đúng ra là phi tuyến.
■ Năm 1961, trong khi chạy thử một chương trình phi tuyến trên computer, ông “tình cờ” găp một sự cố kỳ lạ: cùng một chương trình chạy thử 2 lần, hôm trước và hôm sau, cho 2 kết quả khác nhau một trời một vực! Ông hết sức ngạc nhiên, nhưng nghĩ rằng có sai sót ở đâu đó. Kiểm tra lại cẩn thận từng tí một cả phần cứng lẫn phần mềm, kiểm tra đi kiểm tra lại, cuối cùng chỉ nhận thấy một khác biệt rất nhỏ ở dữ liệu đầu vào: con số 0,506127 hôm trước được làm tròn thành 0,506 vào hôm sau, tức là bỏ bớt một số lượng chỉ hơn 1 phần vạn chút xíu, ngoài ra không có một khác biệt nào khác. Việc làm tròn số như thế trong toán học xưa nay là điều bình thường, và được coi là không ảnh hưởng đáng kể đến kết quả. Nhưng trong trường hợp này, sự thật chống lại quan niệm truyền thống. Lorenz bắt đầu nghi vấn, rằng thay đổi rất nhỏ ấy ở đầu vào có thể chính là nguyên nhân dẫn tới thay đổi khổng lồ ở đầu ra. Đây là điều chưa từng thấy trong toán học và trong khoa học nói chung. Ông thí nghiệm lại nhiều lần, kết quả cho thấy nghi vấn của mình là đúng. Ông thông báo sự thật đó cho cộng đồng khoa học. Đồng nghiệp của ông trên khắp thế giới lập tức lặp lại thí nghiệm. Kết quả đều xác nhận nghi vấn của Lorenz là đúng.
■ Năm 1963, Lorenz chính thức công bố công trình mang tên “Deterministic Nonperiodic Flow” (Dòng chảy xác định không tuần hoàn) trên tạp chí Journal of the Atmospheric Sciences, trong đó nêu lên nguyên lý cơ bản của Lý thuyết Hỗn độn. Xin lược dịch một đoạn trong đó:
Hai trạng thái khác nhau bởi một số lượng rất nhỏ không thể nhận thấy trong dữ liệu ban đầu cuối cùng lại dẫn tới những trạng thái khác nhau rõ rệt trong kết quả… Do đó, theo quan điểm về tính bất toàn không thể tránh khỏi trong những quan sát đo đạc thời tiết, có thể kết luận rằng việc dự đoán thời tiết chính xác trong thời hạn dài dường như là bất khả.
Tên gọi Hiệu ứng Con Bướm chính thức ra đời từ đó. Lý thuyết Hỗn độn cũng chính thức ra đời từ đó. Một trong những bình luận hay nhất về hỗn độn là đoạn trích sau đây, trong cuốn “Từ xác định đến bất định” của David Peat (bản tiếng Việt, dịch giả Phạm Việt Hưng, NXB Tri Thức 2011, trang 244):
Khi một hệ rơi vào trạng thái cân bằng mong manh hoặc rơi vào điểm rẽ nhánh thì ngay cả một cái vỗ cánh của một con bướm cũng có thể dẫn tới một phương hướng hoàn toàn khác. Người Trung Hoa cổ đại đã lưu ý về tính liên kết toàn phần (interconnectedness) của tất cả mọi thứ bằng cách nói rằng một cái vỗ cánh của một con bướm có thể làm thay đổi những sự kiện ở phía bên kia thế giới. Trong Lý thuyết Hỗn độn, “hiệu ứng con bướm” đã nhấn mạnh và làm rõ tính cực kỳ nhạy cảm của các hệ phi tuyến tại những điểm rẽ nhánh của chúng. Tại đó một xáo trộn nhỏ nhất cũng có thể đẩy chúng vào hỗn độn, hoặc vào một dạng ứng xử trật tự hết sức khác thường nào đó. Bởi vì chúng ta không bao giờ có đầy đủ thông tin hoặc có thể xử lý một số vô hạn các vị trí thập phân nên luôn luôn tồn tại một sự bất định vô cùng nhỏ có thể khuếch đại tới điểm mà nó bắt đầu thống trị hệ thống. Chính vì lý do này mà Lý thuyết Hỗn độn nhắc nhở chúng ta rằng tính bất định luôn luôn có thể phá tan mọi tham vọng và nổ lực ôm lấy toàn bộ vũ trụ trong những kế hoạch và lập luận toán học của chúng ta.
Câu kết của đoạn trích nói trên dường như có ý nghĩa đặc biệt đối với những người say sưa với những TOE của khoa học (cả trong toán học lẫn vật lý). Tương tự như Định lý Bất toàn, Lý thuyết Hỗn độn cũng đưa ra những lời khuyên rất bổ ích đối với tham vọng ngông cuồng của con người. Để hiểu lời khuyên đó, cần nhắc lại rằng hỗn độn xẩy ra ngay cả trong những hệ hoàn toàn xác định, khi những hệ này phát triển tới mức đủ phức tạp.
Thế nào là phức tạp?
Rất khó chỉ ra một ranh giới rõ ràng giữa mức độ đơn giản và phức tạp của một hệ thống, nhưng có thể thấy một hệ càng phát triển thì mức độ phức tạp càng tăng lên, đến một lúc nào đó nó sẽ đạt tới giới hạn đủ phức tạp để trở thành hỗn độn. Tôi ngờ rằng vật lý hiện đại đã đạt tới giới hạn đó. Đó là lý do để TOE hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trên con đường phát triển. Lý thuyết M là minh họa điển hình: M = membrane, nhưng cũng đồng thời là matrix + monster + mystery + magic vì nó quá rắc rối, khó hiểu, bí ẩn,… Tôi nghĩ vật lý sẽ tiếp tục phát triển, nhưng không theo hướng hội tụ về một lý thuyết, và e rằng con người sẽ khám phá ra những hiện tượng mới lạ nằm ngoài những lý thuyết hiện có, chẳng hạn năng lượng tối, trước khi vội ăn mừng TOE.
■ Trở lại với Edward Lorenz, ngoài bài học về hỗn độn, tôi nhìn thấy một bài học khác: bài học về phẩm chất của một nhà khoa học thực thụ. Theo tôi, dấu hiệu và tiêu chuẩn để đánh giá một tâm hồn khoa học đích thực là biết đặt câu hỏi. Nếu không biết đặt câu hỏi, chúng ta giỏi lắm cũng chỉ là những anh học trò được 10 điểm hoặc giành được vài danh hiệu trong một vài kỳ thi. Giải được một bài toán khó do người khác đặt ra kể cũng đã là giỏi, nhưng nếu không biết đặt câu hỏi thì suốt đời cũng vẫn chỉ là một anh học trò, cho dù là trò khá, trò giỏi. Nhà khoa học thực sự phải vượt lên trên tầm mức học trò. Chẳng hạn như anh sinh viên Yoshisuke Ueda ở Nhật Bản, làm việc trong phòng thí nghiệm của Chihiro Hayashi tại Đại học Kyoto. Anh cũng tiến hành những thí nghiệm mô hình dự báo trên computer tương tự như Lorenz. Cũng trong năm 1961, anh đã khám phá ra “hiện tượng chuyển tiếp ngẫu nhiên” (randomly transitional phenomena), thực chất là hiện tượng hỗn độn. Nhưng ông thầy hướng dẫn anh không tin vào kết luận của anh, nên không cho phép anh công bố những khám phá đó, mãi cho tới năm 1970 (mới được công bố). Thật là thiệt thòi cho Yoshisuke Ueda. Anh tuy trẻ nhưng có tâm hồn của nhà khoa học đích thực, trong khi ông thầy hướng dẫn thực chất chỉ là “một học trò giỏi lâu năm”.
■ Tuy nhiên, nếu nhìn sâu hơn vào bản chất của nhận thức, ta sẽ nhận ra rằng khả năng biết đặt câu hỏi phụ thuộc vào “khả năng đánh hơi sự thật”, tức là TRỰC GIÁC. Một người không có trực giác, hoặc trực giác kém, hoặc bị nền giáo dục làm cho trực giác bị thui chột thì đương nhiên sẽ không có cái nhạy bén để phát hiện ra cái bất toàn trong cuộc sống xung quanh, vì thế sẽ sẽ chẳng bao giờ biết đặt câu hỏi. Xem thế đủ biết TRỰC GIÁC là một đặc ân của Thượng đế! Chính Einstein đã khẳng định điều này: “Trực giác là một quà tặng thiêng liêng và tư duy lý luận là tên đầy tớ trung thành. Chúng ta đã tạo ra một xã hội vinh danh tên đầy tớ và bỏ quên món quà tặng.” Sống trong nửa đầu thế kỷ 20 ở Châu Âu và Mỹ mà Einstein còn than phiền như thế, vậy không biết ông sẽ nói gì nếu chứng kiến lối dạy và học ở Vietnam hiện nay.
Tóm lại, một người không có trực giác tốt sẽ vô cảm trước những “tín hiệu của Chúa” (God’s signs) phát ra từ những hiện tượng “tình cờ” mà anh ta bắt gặp trong cuộc sống. Ngược lại, một tâm hồn nhạy cảm như Lorenz sẽ nhận ra những tín hiệu ấy, để từ đó khám phá ra hỗn độn.

Nhưng người đầu tiên nhận được những tín hiệu của hỗn độn không phải là Lorenz, mà là Henri Poincaré.

[2] –POINCARÉ, NGƯỜI ĐẦU TIÊN TÌNH CỜ KHÁM PHÁ RA HỖN ĐỘN

Nếu bạn thích tìm hiểu sự thật trong khoa học, bạn nên tìm đọc cuốn “On Giants’ Shoulders” (Đứng trên vai những người khổng lồ) của Melvyn Bragg. Mỗi nhân vật khổng lồ chiếm một chương trong sách, với một tiêu đề đặc trưng cho nhân vật đó. Henri Poincaré là nhân vật của Chương 7, với tiêu đề “The Man Who Discovered Chaos Accidently” (Người Tình cờ Khám phá ra Hỗn độn). Nếu tôi là tác giả cuốn sách này, tôi sẽ viết rõ hơn: Poincaré, người đầu tiên tình cờ khám phá ra hỗn độn! Tại sao phải nhấn mạnh như thế?
Vì cái gì của Ceasar hãy trả lại cho Ceasar! Nếu Poincaré là người đầu tiên khám phá ra hỗn độn thì ông không chỉ là nhà toán học vĩ đại, mà còn là nhà tư tưởng vĩ đại – ông là người đầu tiên chỉ ra bản chất bất định và ngẫu nhiên của thế giới, đúng vào lúc tư tưởng xác định đang đạt đến điểm cực thịnh.
Thật vậy, từ trước tới nay, khi nói đến bất định, người ta thường nghĩ ngay đển Werner Heisenberg, cha đẻ của Nguyên lý Bất định, và tôn vinh Heisenberg như nhà cách mạng về tư tưởng, lật nhào tư tưởng xác định trong thế giới lượng tử. Đứng trước tư tưởng bất định, ngay cả Einstein cũng bị coi là một ông già bảo thủ, chứ đừng nói đến một người thuộc thế hệ trước Einstein như Poincaré. Mặc dù Poincaré được xem như một nhà toán học vĩ đại, nhưng bị xem là nhân vật của thế kỷ 19, quá cũ kỹ già nua so với những tư tưởng cách mạng trẻ trung đầu thế kỷ 20, mà Heisenberg là một trong những đại biểu xuất sắc nhất.
NHƯNG ĐÓ LÀ MỘT NHẦM LẪN CỦA LỊCH SỬ! Chính ông già cũ kỹ ấy, con người của thế kỷ 19 ấy mới thực sự là người đầu tiên đặt viên gạch cho tư tưởng mới – tư tưởng về cái bất định và ngẫu nhiên, nếu ta quan niệm bất định theo nghĩa rộng, bao gồm bất định lượng tử, bất toàn và hỗn độn.
Chúng ta đã biết Einstein không bao giờ chấp nhận Nguyên lý Bất định, vì “Chúa không chơi trò xúc xắc”, như ông nhiều lần tuyên bố. Vậy tôi e rằng Einstein cũng sẽ chống tư tưởng hỗn độn của Poincaré, nếu tư tưởng này sớm được người đời ủng hộ. Rất may, cuộc va chạm ấy đã không bao giờ xẩy ra, vì tư tưởng của Poincaré mới chỉ lóe lên như một ánh chớp ở phía chân trời, chưa kịp biến thành một cơn bão trước khi Einstein rời khỏi thế giới. Nói như thế cũng chỉ để nhấn mạnh rằng tư tưởng của Poincaré mang tính táo bạo và vượt thời gian như thế nào.

Nhận định trên sẽ được củng cố vững chắc nếu chúng ta biết rõ lịch sử khoa học cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20. Đó là lúc Tất định luận Laplace đang thống trị khoa học như một hình mẫu lý tưởng, khoa học lúc ấy đồng nghĩa với những quy luật xác định của tự nhiên, tự nhiên được xem như một Chiếc đồng hồ Newton. Đó cũng là lúc các nhà toán học đang mơ tưởng tới Siêu-Toán-học, còn các nhà vật lý thì cho rằng sắp tìm thấy những bí mật cuối cùng,… Đúng lúc ấy, nhà toán học Poincaré dám tuyên bố rằng những hệ động lực học phức tạp có thể có những ứng xử ngẫu nhiên, không tuân thủ một mô hình xác định nào cả, và do đó không thể đoán trước được. Nói vắn tắt, trong khi cả cộng đồng khoa học coi vũ trụ là một chiếc đồng hồ Newton, Poincaré đơn độc tuyên bố: Không, vũ trụ không đơn giản như một chiếc đồng hồ! Vũ trụ tiềm ẩn yếu tố bất định ngay trong những hệ xác định!
Vậy nếu coi hỗn độn là một kiểu biểu lộ của tính bất định nói chung, ta phải công bằng thừa nhận rằng Poincaré đã đi trước Heisenberg khoảng 35 năm! Ông mới thực sự là người đầu tiên báo động cho thế giới biết rằng tự nhiên bất định hơn ta tưởng!
Nhưng tại sao không ai lên tiếng ủng hộ Poincaré?
Đơn giản vì cuối thế kỷ 19, tư tưởng ấy quá khác lạ, đến nỗi không ai hiểu và không mấy ai quan tâm. Chính Lorenz cũng dường như không hề hay biết gì về tư tưởng của Poincaré, bởi nếu biết, chắc chắn ông đã phải loan báo cho thế giới biết rằng Hiệu ứng Con Bướm chính là cái ngẫu nhiên mà Poincaré đã nói. Nhưng ngay sau khi Lorenz công bố khám phá của ông, thế giới toán học đã giật mình nhận ra rằng nguyên lý hỗn độn do Lorenz loan báo chính là nguyên lý ngẫu nhiên do Poincaré nêu lên từ cuối thế kỷ 19 khi ông giải Bài toán Ba Vật thể.
Rõ ràng có một cái gì đó “bất công” cho Poincaré. Từ cuối thế kỷ 20, đã hình thành một trào lưu “sửa sai” lịch sử, trả lại cho Poincaré những gì thuộc về ông. Melvyn Bragg đã tham gia vào trào lưu ấy khi xếp Henri Poincaré là người khổng lồ thứ 7 trong cuốn sách “Đứng trên vai những người khổng lồ” của ông.
Để vẽ bức chân dung Poincaré một cách chính xác, Melvyn Bragg đã buộc người đọc phải trầm tư suy ngẫm, bằng những lời mở đầu sắc nhọn, đại ý rằng, việc dự đoán liệu trời có mưa vào một ngày nào đó sau 3 tuần nữa hay không là một bài toán khó hơn rất nhiều so với việc dự đoán những sự kiện xẩy ra bên ngoài dải thiên hà hoặc bên trong hạt nhân một nguyên tử. Bởi vì tương lai là hỗn độn (the future is disorder). Hầu hết mọi thứ bạn tưởng là bạn biết hóa ra đều không đúng!
Câu kết ở trên có bóng dáng của một gợi ý triết học, tương tự như một gợi ý của John Barrow trong cuốn “Impossibility” (Bất Khả), rằng có những cái nhà khoa học tưởng là KHẢ (possible) thì nhà triết học lại thấy là BẤT KHẢ (impossible).
Có hàng ngàn thí dụ để minh họa gợi ý trên, nhưng thí dụ hay nhất chính là câu chuyện chúng ta đang thảo luận: Nếu bạn tưởng rằng với Cơ học Newton bạn có thể xác định được mọi chuyển động của các hành tinh thì ý nghĩ ấy không đúng lắm đâu. Lời giải của Poincaré đối với Bài toán Ba Vật thể cho thấy chuyển động của các hành tinh có trường hợp rơi vào hỗn độn, không thể xác định được quỹ đạo! Chính bộ não thiên tài của Poincaré đã phải ngạc nhiên trước sự thật đó – một sự thật hoàn toàn trái ngược với truyền thống suy nghĩ của khoa học!
Vậy đã đến lúc phải nói kỹ hơn về Bài toán Ba Vật thể.

[3] – BÀI TOÁN BA VẬT THỂ

Xuất xứ nguyên thủy của Bài toán Ba Vật thể là Định luật Vạn vật Hấp dẫn, do Isaac Newton nêu lên từ năm 1687 trong tác phẩm nổi tiếng của ông, “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” (Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên). Newton muốn dùng định luật hấp dẫn để xác định quỹ đạo chuyển động của các hành tinh xung quanh Mặt Trời và của Mặt Trăng xung quanh Trái Đất. Ý tưởng ấy dẫn tới cuộc cách mạng của thiên văn học trong các thế kỷ 17, 18, trong đó các định luật của Johann Kepler được xem như một mẫu mực của việc dùng toán học giải thích tự nhiên. Tuy nhiên những bài toán cơ học thiên thể trong giai đoạn này thường được đơn giản hóa ở mức chỉ có 2 vật thể, trong đó vật thể ở trung tâm như Mặt Trời hoặc Trái Đất được giả thiết là tĩnh. Năm 1710, Johann Bernoulli tìm ra lời giải hoàn thiện cho bài toán 2 vật thể. Trong các bài toán 2 vật thể, bài toán quỹ đạo của Mặt Trăng có nhiều ý nghĩa thực tế, vì Mặt Trăng được các nhà hàng hải dùng làm căn cứ để xác định các đường kinh tuyến trên biển. Nhưng người ta nhanh chóng nhận ra tính kém chính xác của lý thuyết về Mặt trăng. Nguyên nhân rất dễ hiểu: quỹ đạo của Mặt trăng bị “nhiễu” bởi tác động của Mặt Trời và các hành tinh khác. Từ thực tế này người ta bắt đầu nhận ra rằng: Bài toán 2 vật thể là bài toán xác định, có thể giải được dễ dàng nhờ các định luật của Cơ học Newton; nhưng bài toán từ 3 vật thể trở lên sẽ không còn dễ dàng nữa. Nhu cầu tìm một lời giải tổng quát cho một hệ từ 3 vật thể trở lên ngày càng trở nên cấp thiết, cả về thực tiễn lẫn lý thuyết. Kể từ đó, Bài toán Ba Vật thể (Three Body Problem) chính thức trở thành một trong những bài toán thách thức lớn nhất của cơ học thiên thể (celestial mechanics). Một loạt các nhà toán học lỗi lạc nhất trong các thế kỷ 18, 19 đã lao vào thách đố đó, mong tìm thấy lời giải tổng quát, bao gồm cả Jean d’Alembert, Alexis Clairaut, Louis Lagrange,… Nhưng không ai thành công. Sự bế tắc này đã kéo dài tới 175 năm, trước khi nhà toán học Thụy Điển Gosta Mittag Leffler thuyết phục vua Thụy Điển lúc đó là Oscar II trao tặng một giải thưởng lớn cho ai giải được bài toán này. Người đoạt giải sẽ nhận được vinh dự rất lớn, vì đó là một thách đố đã kéo dài gần 2 thế kỷ! Một ban giám khảo được thành lập, trong đó có những nhà toán học xuất sắc. Bài toán cũng được phát biểu chính thức bằng ngôn ngữ toán học, nhưng có thể tóm tắt một cách giản lược và dễ hiểu như sau: Làm thế nào để xác định quỹ đạo chuyển động của ba vật thể trong không gian nếu biết điểm ban đầu của chúng?
Đến đây, “con quỷ toán học” Henri Poincaré bước vào cuộc tranh tài.
Phải nhấn mạnh rằng tất cả các nhà khoa học thời đó, kể cả ban giám khảo lẫn người tham gia cuộc thi, trong đó có Poincaré, đều nghĩ rằng bài toán ắt phải có lời giải xác định, vì hệ ba vật thể là một hệ xác định – tác động tương hỗ giữa chúng tuân thủ các định luật xác định của Cơ học Newton.
Với ý nghĩ đó, sau vài năm vật lộn với bài toán, năm 1887 Poincaré gửi tới ban giám khảo một lời giải khổng lồ, dài 158 trang giấy, với những biến đổi toán học phức tạp, khó hiểu đến nỗi các nhà toán học trong ban giám khảo phải đề nghị ông giải thích từng tí một.
Mục tiêu của Poincaré là chỉ ra những quỹ đạo xác định của ba vật thể, qua đó chứng minh rằng Hệ Mặt trời là một hệ đa vật thể ổn định, đúng như những gì quan sát được từ xưa tới nay. Mặc dù lời giải này chưa đi tới kết luận mong muốn, nhưng ban giám khảo vẫn quyết định trao giải cho Poincaré, với lý do sau đây: “Mặc dù công trình này chưa thực sự được xem như một lời giải đầy đủ của câu hỏi đặt ra, tuy nhiên đây là một công trình vô cùng quan trọng đến nỗi việc công bố nó sẽ mở ra một thời đại mới trong lịch sử cơ học thiên thể”. Đó là nhận định của nhà toán học nổi tiếng Karl Weierstrass, một thành viên trong ban giám khảo.
Năm 1890, Poincaré đã công bố chính thức lời giải của ông trên tạp chí Acta Mathematica, một trong những tạp chí hàng đầu thời bấy giờ. Đó là một công trình vĩ đại, gồm 270 trang giấy, với tiêu đề “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique” (Về bài toán ba vật thể và những phương trình của hệ động lực học).
Đó là một sự kiện trọng đại, đánh dấu sự ra đời của tư tưởng về cái hỗn độn. Nhưng vào thời điểm đó, 1890, nhân loại chưa hiểu nó. Phải đợi tới những năm 1960, tức là hơn 70 năm sau, nhân loại mới giật mình tái khám phá ra nó. Người có công trong việc này chính là Edward Lorenz, với việc khám phá ra Hiệu ứng Con Bướm.
Với nhãn quan hiện đại, chúng ta có thể phân biệt rõ ràng sự khác biệt giữa lời giải của Poincaré năm 1890 (trên Acta Mathematica) với lời giải năm 1887 (gửi tới ban giám khảo). Số lượng trang giấy cũng đã có thể làm cho chúng ta giật mình: từ 158 trang biến thành 270 trang! Tuy nhiên, nội dung cốt lõi bên trong mới thực sự là một cuộc cách mạng.
Thật vậy, trong khi duyệt lại lời giải năm 1887 để gửi đăng chính thức trên tạp chí Acta Mathematica, Poincaré tự khám phá ra một thiếu sót lớn của ông: đó là một lỗi quan trọng về hình học. Cụ thể là trong khi phân tích các trường hợp có thể xẩy ra, ông đã bỏ sót một trường hợp. Bộ não thiên tài của ông nhanh chóng nhận ra rằng trường hợp bị bỏ sót này thực ra quan trọng hơn rất nhiều so với ông tưởng, và nó dẫn tới một kiểu chuyển động rất lạ lùng, rằng một trong các vật thể có thể có một quỹ đạo chuyển động ngẫu nhiên, không theo một hướng xác định nào cả.
Trong công trình công bố chính thức trên Acta Mathematica năm 1890, Poincaré đã khuyến cáo rằng, trái với dự kiến, lời giải của bài toán cho thấy ba vật thể không phải lúc nào cũng chuyển động theo một quỹ đạo ổn định, ngược lại, chúng có thể rơi vào tình trạng bất ổn định. Để chứng minh điều đó, ông đã sử dụng phương pháp định tính của lý thuyết Topo do chính ông sáng tạo ra. Đó là chỗ khó có nhà toán học nào cùng thời có thể sánh được với ông. Nhưng kết luận táo bạo của ông về tính bất ổn định của một hệ xác định mới thực sự mang ý nghĩa cách mạng và khó có ai có thể theo kịp! Nếu nhân loài thời đó hiểu được tư tưởng của ông, chắc chắn Poincaré phải được coi là người có tư tưởng cách mạng nhất trong thế kỷ 19 và 20!
Xin nhấn mạnh một lần nữa rằng khi bắt tay vào giải Bài toán Ba Vật thể, thậm chí khi gửi lời giải tới ban giám khảo cuộc thi, Poincaré vẫn nghĩ hệ mặt trời là ổn định, thậm chí ông cho rằng ông đã tìm thấy những lớp bài toán ba vật thể có lời giải xác định. Chỉ đến khi duyệt lại bản thảo để gửi đăng chính thức trên Acta Mathematica, ông mới nhận ra sai lầm của bản thân, và kinh ngạc trước một sự thật do chính ông khám phá ra. Mười bốn năm sau, ông đã kể lại sự thật này trong cuốn Science et Méthode, xuất bản năm 1904, rằng:
“Khi tôi cố gắng mô tả hình ảnh được tạo ra bởi hai đường cong này và vô số giao điểm của chúng,… những giao điểm này tạo nên một mạng lưới, một mớ lằng nhằng hoặc một cạm bẫy vô cùng rắc rối. Tôi hết sức kinh hoàng vì tính phức tạp của hình ảnh này, đến nỗi tôi không cố sức để vẽ nó ra nữa… Một nguyên nhân rất nhỏ mà chúng ta không nhận thấy có thể dẫn tới một hậu quả lớn đến mức không thể đoán trước, và vì thế chúng ta bảo rằng hậu quả này xẩy ra do ngẫu nhiên… Có thể xẩy ra trường hợp những khác biệt vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu có thể gây ra một sai lệch khổng lồ trong kết quả. Dự đoán trở nên BẤT KHẢ, và chúng ta có một hiện tượng ngẫu nhiên”.
Nội dung của đoạn tô đậm (do tôi, PVHg) chính là nội dung của Hiệu ứng Con Bướm!

Tôi không rõ tâm trạng của Edward Lorenz ra sao, khi ông được biết hóa ra Henri Poincaré đã phát biểu rõ ràng cái gọi là Hiệu ứng Con Bướm từ năm 1890 rồi. Có thể ông sẽ buồn vì ông không được hưởng cái vinh dự là cha đẻ của một lý thuyết mới mang tính chất cách mạng về tư duy và nhận thức. Nhưng cũng có thể ông sẽ rất vui, vì ông đã có tư tưởng trùng lặp với tư tưởng của một bậc vĩ nhân kỳ tài như Henri Poincaré.

Vậy cái gì giúp cho Poincaré tự khám phá ra chỗ sai của mình để từ đó làm một cuộc cách mạng về nhận thức với chính bản thân ông như thế? Cái gì giúp VƯỢT QUÁ XA thời đại của ông như thế?
Câu trả lời, theo tôi, đó là tấm lòng trung thực + niềm đam mê khám phá bất tận + TRỰC GIÁC thiên tài của một “con quỷ toán học”!

Để kết bài viết này, xin đặt câu hỏi: Vậy Hệ Mặt Trời là ổn định hay hỗn độn? Theo Lý thuyết Hỗn độn, Hệ Mặt Trời phải hỗn độn, nhưng nếu nó hỗn độn thì làm sao chúng ta có thể sống bình an đến hôm nay để nói với nhau câu chuyện về hỗn độn?

[4] – VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH / HỖN ĐỘN CỦA HỆ MẶT TRỜI

Nguyên thủy, ai cũng nghĩ rằng Hệ Mặt Trời là ổn định, như đã nói trong mục trước. Hàng ngàn năm qua, nhờ sự ổn định của Hệ Mặt Trời nên nhân loại có thể tồn tại, sinh sôi, phát triển. Không ai có thể hình dung Hệ Mặt Trời là một hệ hỗn độn. Ý nghĩ ấy chưa bao giờ xuất hiện, trước khi công trình năm 1890 của Henri Poincaré được công bố. Khi Newton muốn dùng Định luật Hấp dẫn để xác định quỹ đạo của các hành tinh quay xung quanh Mặt Trời và của Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất, ông cũng nghĩ rằng những quỹ đạo ấy phải xác định. Tất cả các nhà toán học và thiên văn tài giỏi bậc nhất lao vào thách đố giải Bài toán Ba Vật thể cũng đều nghĩ rằng phải tìm ra những quỹ đạo chuyển động xác định của các thiên thể. Kể cả Henri Poincaré, khi bước vào cuộc thi giành Giải Oscar II cũng nghĩ như vậy. Thậm chí trong lời giải gửi tới ban giám khảo cuộc thi, ông vẫn đinh ninh rằng ông đã tìm ra lời giải xác định cho một lớp các bài toán ba vật thể. Nhắc lại tất cả những sự thật này chỉ để thấy rằng tư tưởng về tính bất ổn định, tức tính hỗn độn của hệ ba vật thế, hoặc nói rộng ra là Hệ Mặt Trời là một tư tưởng quá táo bạo. Không có đủ lòng dũng cảm và lòng tự tin, có thể Poincaré sẽ không dám công bố tư tưởng mới của ông, tương tự như Karl Gauss đã không đủ dũng cảm để công bố tư tưởng về Hình học Phi-Euclidean của ông, vì sợ sự phản ứng của dư luận, sợ bị xem là điên. Nhưng Poincaré không phải Gauss, ông đã công bố khám phá của mình, mặc dù nó trái với nhận thức phổ biến. Sự trái ngược này làm ông kinh ngạc, và ông công khai bầy tỏ sự kinh ngạc của mình. Đó là tính cách trung thực của một nhà khoa học chân chính. Vậy Hệ Mặt Trời là ổn định hay hỗn độn? Sau đây là câu trả lời:

Vấn đề về tính ổn định của Hệ Mặt Trời là một chủ đề được thiên văn học đặc biệt quan tâm. Mặc dù kết quả quan sát trong hàng ngàn năm qua cho thấy các hành tinh chuyển động ổn định, nhưng sau một thời gian nữa, các hành tinh với lực hấp dẫn mặc dù rất yếu sẽ tác động lẫn nhau theo những cách không thể đoán trước được. Vì lý do đó (trong số nhiều lý do khác nữa), Hệ Mặt Trời được xem là hỗn độn. Sau vài chục triệu năm nữa, những mô hình dự báo dài hạn chính xác nhất về quỹ đạo chuyển động của các hành tinh xung quanh Mặt Trời sẽ không còn có giá trị. Điều đó có nghĩa là hiện nay Hệ Mặt Trời đang tạm thời nằm trong giai đoạn ổn định, trong thời gian dài sắp tới sẽ không có hành tinh nào va đập vào nhau hoặc văng ra khỏi Thái Dương hệ, và trong vài tỷ năm tới, quỹ đạo của Trái Đất vẫn tương đối ổn định. Sự hỗn độn sẽ xẩy ra nhưng còn ở quá xa trong tương lai, có thể chưa kịp xẩy ra khi loài người không còn trên Trái Đất nữa (có thể lúc ấy đang ở trên một hành tinh khác ổn định hơn chăng?).Vậy bạn có thể ăn ngon ngủ yên để tận hưởng cái BÌNH AN mà bạn đang có. Hãy cô gắng đừng tự tạo thêm những cái hỗn độn, bởi hỗn độn vốn sẵn có ở khắp nơi rồi….

PVHg, Sydney ngày 04/06/2015

GHI CHÚ:

Bài viết này là một phần trong Bài thuyết trình của tôi (PVHg) tại một Viện Nghiên Cứu và Phát Triển thuộc một cơ quan cấp Bộ tại Hanoi ngày 16/04/2015. Các phần tiếp theo, bao gồm cả videos, sẽ lần lượt được công bố trên PVHg’s Home. Sau đây là những phần đã công bố:

17/05/2015   Những tư tưởng định hình khoa học hiện đại

23/05/2015   Từ bất định lượng tử đến Nguyên lý Bổ sung của Bohr và Thái Cực Đồ

28/05/2015   Về tính bất toàn: từ Pascal đến Godel

04/06/2015   Poincaré và Một Thế kỷ của Hỗn độn.

09/06/2015   Từ ENTROPY đến ĐẠO