Abstract: Blaise Pascal and Kurt Gödel were two great mathematicians, who lived in three centuries apart, but having many resemblances in their schools of thoughts; While Pascal came first to point out the imperfection of mathematics, Gödel put an end for the pursuit of mathematics completeness by proclaiming the Theorem of Incompleteness in 1931. It may not be certain if Gödel had been influenced by Pascal but the concurrence of thoughts between these two geniuses is certainly interesting and worthy of further reflection. Tóm tắt: Blaise Pascal và Kurt Godel là hai nhà toán học vĩ đại sống cách nhau ba thế kỷ, nhưng có những điểm rất tương đồng về mặt tư tưởng: Pascal là người đầu tiên chỉ ra tính bất toàn của Toán học, Godel là người đặt dấu chấm hết cho cuộc thảo luận về tính đầy đủ của toán học khi ông loan báo Định lý Bất toàn. Không rõ Godel có chịu ảnh hưởng gì từ Pascal hay không, nhưng cuộc gặp gỡ tư tưởng giữa hai thiên tài này chắc chắn là một chủ đề rất thú vị và có nhiều ý nghĩa để tiếp tục suy ngẫm.

[1] – GODEL ĐI TRƯỚC THỜI ĐẠI CỦA ÔNG QUÁ XA

Cách đây ngót hai chục năm, khi mới chân ướt chân ráo đến Úc, tôi bị shock khi trông thấy một định lý toán học vĩ đại mà mấy chục năm trước đó ở Việt Nam tôi không hề biết, không hề được nghe ai nói đến. Đó là Theorem of Incompleteness của Kurt Godel, ra đời năm 1931, mà lẽ ra thế hệ tôi, sinh viên ngành Toán Đại học Tổng hợp Hanoi những năm đầu thập kỷ 1960, phải biết rõ và thuộc làu. Vậy mà chúng tôi không hề biết. Rõ ràng có một cái gì đó không ổn. Tại sao một định lý quan trọng như thế mà không ai nhắc đến? Ký ức tôi vẫn ghi nhớ hình ảnh Giáo sư Tạ Quang Bửu những năm đầu thập kỷ 1960 rất hăng hái truyền bá các tư tưởng toán học hiện đại. Trí nhớ mách tôi rằng ông nhiệt tình cổ võ tư tưởng Bourbaki (một trường phái toán học Pháp chạy theo đường lối Siêu-Toán-học của David Hilbert) và chẳng hề đả động gì đến Godel. Có nghĩa là đến tận những năm 1960, đường lối Siêu-Toán-học của Hilbert vẫn còn khuynh đảo thế giới, mặc dù về lý thuyết, nó đã bị định lý của Godel bác bỏ từ 1931 (1). Thế mới biết sự lấn lướt của trường phái Hilbert thật ghê gớm. Một bộ óc uyên bác với trái tim khoa học rực cháy như GS Tạ Quang Bửu cũng bị cuốn theo Bourbaki, chẳng quan tâm gì tới Godel. Thậm chí có thể ông không hề biết Godel, bởi nếu biết thì rất khó để cưỡng lại sức hấp dẫn của nó. Sự thật này nói lên rằng không phải vì Việt Nam nghèo thông tin nên thế hệ tôi không biết gì về Godel, mà chắc chắn phải có một cái gì đó không ổn trong thế giới toán học làm cho tên tuổi Godel bị chìm đi. Để tìm hiểu hiện tượng này, gần đây người ta đã tiến hành một cuộc thăm dò dư luận, với ba tên tuổi lớn trong khoa học thế kỷ 20 là Einstein, Heisenberg và Godel. Kết quả: 100% người được hỏi đều biết Einstein là ai; khoảng 50% biết Heisenberg; dưới 5% biết Godel. Đó là thăm dò gần đây. Nếu thăm dò vào thời điểm 1960, khi Bourbaki đang nổi như sóng cồn (được ca ngợi là “Euclid của thế kỷ 20”), thì e rằng không ai biết Godel!
Thật là trớ trêu, trong khi thiên hạ không thèm biết Godel là ai thì nhà bác học vĩ đại nhất thế kỷ 20 là Einstein lại “mê” Godel đến nỗi nói với mọi người rằng ông đến trường đại học chỉ cốt để gặp Godel (hai ông cùng là giáo sư Viện nghiên cứu cao cấp ở Princeton của Mỹ trong thập kỷ 1940). Từ đó suy ra rằng, chỉ có thiên tài mới nhận ra thiên tài, chỉ có anh hùng mới nhận ra anh hùng. Kẻ tầm thường không nhận ra anh hùng, thậm chí còn đố kị ghen ghét anh hùng. Đó là lẽ đời. Thế giới toán học cũng không phải là ngoại lệ.
Tóm lại, dưới ánh sáng của lịch sử khoa học, không quá khó hiểu để giải thích vì sao tên tuổi Godel bị chìm trong thế kỷ 20. Đơn giản vì tư tưởng của Godel đã vượt quá xa những nhà toán học cùng thời. Đa số không hiểu ông, một thiểu số ngấm ngầm chống lại ông, cố tình tảng lờ định lý của ông, vì định lý ấy làm tan giấc mộng vàng của họ – giấc mộng Siêu-Toán-học.
Thực ra không phải chỉ có Einstein mới nhận ra Godel. Một nhân vật xuất chúng khác không thể không nhắc đến, đó là John Von Newman, cha đẻ của chiếc computer đầu tiên. Newman vốn là một nhà toán học xuất sắc đi theo Chương trình Hilbert. Nhưng lúc đang ở Mỹ, ngay khi vừa biết Định lý Bất toàn, ông lập tức ngừng các bài giảng về Chương trình Hilbert, và thay thế bằng bài giảng về Định lý Godel. Tuy nhiên cá nhân Newman không đủ lực để chống lại cỗ máy hùng hậu của Chương trình Hilbert trên toàn thế giới. Bản thân Hilbert lúc ấy vẫn còn sống. Ông không hề thay đổi quan điểm, thậm chí vẫn tiếp tục viết sách truyền bá chương trình của mình. Ông mất năm 1943 và không một lúc nào hé răng thừa nhận Định lý Bất toàn, thừa nhận thất bại của bản thân. Những người chịu ảnh hưởng của ông cũng vậy. Trường phái Bourbaki là thí dụ điển hình. Thậm chí tư tưởng Bourbaki lan cả vào trường học, tạo nên trào lưu “Toán học Mới” (Nouvelles Mathématiques), gây nên thảm họa giáo dục tại Pháp trong những năm 1950-1960. GS Phạm Xuân Yêm ở Pháp (2), trong một email trao đổi với tôi, cho biết chính ông là một nạn nhân của Toán học Mới. Ông chán nó đến mức bỏ ban Toán, chuyển sang ban Vật lý. Những người tỉnh táo sáng suốt như GS Yêm không nhiều. Toán học Mới đã sụp đổ tại Pháp, nhưng di căn của nó vẫn có thể thấy tại Việt Nam. Và bây giờ xin trở lại với Godel.
Cuối thế kỷ 20, thời thế đã thay đổi, gió đã đổi chiều. Khoa học computer đã làm cho nhân loại giật mình để tái khám phá ra một Godel vĩ đại. Bây giờ tôi phải kể tiếp câu chuyện ở trên. Ngay khi mới đến Úc, tôi đã thích sục sạo trong thư viện và hiệu sách. Hồi ấy internet còn sơ khai lắm, nên sách là nguồn thông tin chủ yếu. Bước chân vào một hiệu sách sang trọng đối diện với Broadway Shopping Centre, một hình ảnh nổi bật đập vào mắt tôi, đó là mô hình Tam giác Penrose, nhan nhản trên các trang bìa của nhiều cuốn sách về Godel.

Sự thật trớ trêu thế đấy! Một khám phá từ 1931, vậy mà cuối thế kỷ 20 mới nở rộ trên diễn đàn học thuật. “Better late than never”, muộn còn hơn không bao giờ! Tôi vớ lấy sách, ngắm nghía Tam giác kỳ cục của Penrose. Cấu trúc bất khả (impossible structure) của nó kích thích trí tò mò của tôi. Và chỉ cần lướt qua vài trang đầu tôi đã choáng váng biết ngay mình đã va phải một bức tường của một lâu đài kỳ vĩ về tư tưởng – Theorem of Incompleteness của Kurt Godel. Tam giác Penrose là một minh họa tiêu biểu cho tư tưởng đó.
Mua sách về đọc. Càng đọc càng thấy hấp dẫn, càng vỡ nhẽ ra rằng định lý này quá quan trọng, nó như một túi khôn hơn là một câu chuyện thuần túy toán học. Tôi viết ngay một bài báo với tiêu đề “Possible & Impossible”, gửi tới tạp chí SIGNS of the Times, và lập tức được hoan nghênh. Nhưng thiết thực hơn, tôi gửi ngay thông tin về Godel tới các diễn đàn tiếng Việt cả trong lẫn ngoài nước. Kể từ đó, Theorem of Incompleteness đã được Việt Nam hóa dưới tên gọi Định lý Bất toàn.
Tên gọi ấy bật ra từ trong tâm khảm tôi ngay sau khi tôi nắm bắt được tư tưởng cơ bản của nó. Tôi không dịch, mà cảm – cảm thấu ý nghĩa của định lý để bật ra tên gọi của nó. Nếu dịch thì phải là “định lý về tính không đầy đủ”. Nhưng mấy chữ “không đầy đủ” trong tiếng Việt không đủ để làm rõ tư tưởng của định lý này. Thật vậy, định lý Godel đã chỉ ra rằng toán học không thể đầy đủ; muốn đầy đủ thì không tránh khỏi mâu thuẫn; muốn tránh mâu thuẫn thì phải chấp nhận không đầy đủ; trong toán học tồn tại những mệnh đề bất khả quyết định (undecidable) – không thể chứng minh và cũng không thể phủ nhận,…
Tóm lại, Toán học là bất toàn! Đó là cảm nhận trực tiếp của tôi về định lý của Godel, sau khi đọc cuốn “Impossibility” của John Barrow. Tôi thực sự mê cuốn sách đó vì tính triết học của nó. Thật vậy, Định lý Godel kéo theo hàng loạt hệ quả triết học về nhận thức, hối thúc chúng ta điều chỉnh lại cách nhìn về thế giới, nếu không muốn trở nên lạc hậu hoặc sai lầm ngộ nhận, giống như sự ngộ nhận của những người chạy theo Siêu-Toán-học ngộ nhận về bản chất của Toán học, tưởng rằng Toán học là những chân lý khách quan hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực, độc lập với bộ não của con người, và trước sau con người sẽ khám phá ra tất cả những chân lý khách quan đó. Định lý Godel chứng minh rằng đó ngộ nhận và không tưởng.
Định lý Godel dạy rằng Toán học xét cho cùng cũng chỉ là một tập hợp những kinh nghiệm của con người, giống như các dạng nhận thức khác. Toán học không cao hơn và cũng không thấp hơn các dạng nhận thức khác. Toán học cùng với các dạng nhận thức khác bổ sung cho nhau để cùng mô tả hiện thực. Mỗi dạng nhận thức có những đặc thù riêng, ưu thế riêng, nhưng không mâu thuẫn với nhau, mà bổ sung cho nhau. Hóa ra Định lý Bất toàn cũng dẫn tới hệ quả phù hợp với Nguyên lý Bổ sung (Complementarity Principle) của Niels Bohr. Đúng là tư tưởng lớn gặp nhau!
Vì thế đối với tôi, trong gần hai chục năm qua, câu chuyện về bất toàn trở thành chủ đề hấp dẫn nhất và có ý nghĩa nhất. Tôi thích chủ đề bất toàn đến nỗi trong một seminar gần đây tại Hanoi, một cựu GS vật lý của Đại học Bách khoa Hanoi nhận xét: “Tôi thấy anh Hưng là một đệ tử trung thành của Godel, lúc nào cũng nhắc đến Godel,…”. GS đó nói đúng, nhưng không đầy đủ. Vì thực ra tôi còn đặc biệt quan tâm tới đến những tư tưởng tiền thân của Godel, điển hình là Blaise Pascal.

[2] – PASCAL, NGƯỜI ĐẦU TIÊN NÊU LÊN TÍNH BẤT TOÀN CỦA TOÁN HỌC

Tên tuổi Pascal thấm vào trí não tôi từ xửa xừa xưa, ít nhất từ khi học Định luật Thủy tĩnh của ông. Thậm chí còn sớm hơn, khi tôi còn rất bé, được bố cho ngồi trên gióng trước của xe đạp để đi chơi. Vừa đi bố tôi vừa dạy “identités remarquables” (hằng đẳng thức đáng nhớ). Tôi phải đọc rành rọt cho bố tôi nghe. Khi nào đạt tới độ nhuyễn, văn chương nhịp nhàng đâu ra đấy rồi mới thôi. Bố tôi bảo: “Đọc chưa nhuyễn là vì chưa hiểu; hiểu rồi thì tự khắc sẽ nhuyễn”. Khi thấy tôi thuộc rồi, bố tôi lại giảng Tam giác Pascal, dùng tam giác này để khai triển nhị thức bậc 2, bậc 3, bậc 4, bậc 5… Sau này học Nhị thức Newton tôi thấy rất hay, nhưng vẫn quyến luyến Tam giác Pascal, bởi cái mô hình hình học của nó. Tư duy hình học luôn luôn gợi cảm, giúp ta khái quát hóa vấn đề tới tận cùng bản chất. Cái gì được học từ nhỏ thường nhớ rất lâu và rất sâu. Vì thế Pascal đã trở thành một “Hero” của tôi từ lúc nào không biết. Không phải “hero” nào cũng giữ được hình ảnh mãi mãi. Có những “hero” phản bội ta khi ta lớn lên. Nhưng Pascal không bao giờ phản bội tôi. Ngược lại, hình bóng của ông càng ngày càng lớn, càng ngày càng vĩ đại, bởi tôi đo tầm vóc con người theo tiêu chuẩn do chính Pascal đặt ra: “Pensée fait la grandeur de l’homme” (Tư tưởng làm nên tầm vóc con người).
Về điểm này, tôi phải thực sự biết ơn bố tôi, bởi bố tôi không chỉ là người đầu tiên gieo vào tâm hồn trẻ thơ của tôi tên tuổi Pascal, mà còn trở thành người bạn chí thiết của tôi khi tôi đã đủ lớn để háo hức lắng nghe những cái suýt xoa, chép miệng, tán thưởng của ông mỗi khi ông đọc được một câu trác tuyệt trong PENSÉES (TƯ TƯỞNG), tác phẩm trứ danh của Pascal.
Thú thật, tôi hiểu Pensées của Pascal phần lớn qua lời bố tôi. Mỗi khi ông thán phục Pascal, ông thường kêu lên: “C’est incroyable!” (Không thể tưởng tượng nổi). Ý ông nói không thể tin một người vừa giỏi toán, vừa giỏi vật lý, lại có cái đầu triết học thâm thúy đến thế, văn chương hay đến thế (3).
Theo Wikipedia, Pensées là một kiệt tác và một bước ngoặt trong nền văn xuôi của Pháp. Sainte Beuve, nhà phê bình văn học nổi tiếng của Pháp thế kỷ 19, ca ngợi đó là những trang hay nhất trong ngôn ngữ Pháp. Nhà văn kiêm sử học, triết gia nổi tiếng người Mỹ trong thế kỷ 20 là Will Durant nhận định Pensées là “cuốn sách hùng hồn nhất trong nền văn xuôi Pháp”. Vậy mà đến nay vẫn chưa có một bản dịch tiếng Việt nào, thật là đáng tiếc.
Mặc dù Pensées ra đời từ ba thế kỷ rưỡi trước đây, nhưng nó mang tính phi thời gian (timeless), vì đó là một trong những túi khôn của nhân loại, được viết ra bởi một trong những nhà đại quảng bác (universalist) của mọi thời đại. Túi khôn ấy không đánh đố người đọc bằng những khái niệm hàn lâm chữ nghĩa sáo rỗng xa rời cuộc sống, mà ngược lại, nó như những lời thủ thỉ tâm sự, những khơi gợi, khuyên nhủ, đụng đến những góc khuất tâm lý, những khát vọng, những nỗi băn khoăn căn bản và sâu xa nhất của con người – nỗi băn khoăn về sống và chết, về con người và con vật, về cái vô cùng và cái trống rỗng, về lý lẽ và đức tin,… trong đó ông gợi ý rằng nhận thức bằng lý lẽ vốn bị hạn chế, nhận thức bằng trái tim (trực giác) giúp ta nhìn rộng và sâu hơn, ông đề cao tư tưởng, đề cao tính người, vì thế đưa ta đến gần với ĐẠO.
Đạo của Pascal là Thiên Chúa giáo, nhưng người đọc có thể hiểu rộng ra, đó là ĐẠO theo nghĩa tổng quát – ĐẠO của vũ trụ, ĐẠO của Trời Đất, ĐẠO làm người!
Để tới gần ĐẠO, trước hết con người phải khiêm tốn. Học khiêm tốn không dễ. Phải ý thức được rằng nhận thức của mình vốn hạn chế, tri thức của mình vốn bất toàn, để từ đó biết lắng nghe, biết trầm tư suy ngẫm, biết từ bỏ cái tôi đáng ghét, như thế mới có đức khiêm tốn thực sự. Vì thế, vấn đề bản chất của nhận thức và khả năng nhận thức của con người trở thành một trong những chủ đề trung tâm trong triết học của Pascal. Thảo luận của ông thường xuyên xoay quanh chủ đề trung tâm này. Chẳng hạn trong Chương 31 của Pensées, ông nêu lên một câu hỏi lớn: “Comment se pourrait-il qu’une partie connut le tout?” (Làm thế nào mà một bộ phận có thể nhận thức được cái toàn thể?).
Đó chính là câu hỏi dành cho “sáu anh mù ở xứ Indostan” trong tích “Thầy Bói Xem Voi”: Làm thế nào để nhận thức được con voi? Sáu anh mù sờ voi, anh nhất bảo voi như bức tường (thân voi), anh hai bảo voi như ngọn giáo (ngà voi), anh ba bảo voi như con rắn (vòi voi), anh bốn bảo voi như cái cột nhà (chân voi), anh năm bảo voi như cái quạt giấy (tai voi), anh sáu bảo voi như cái dây thừng (đuôi voi), thế là sáu anh mù cãi vã nhau ỏm tỏi, ai cũng cho mình giỏi, anh nào cũng hung hăng, mỗi anh đúng một phần, nhưng đều sai tất cả!
Tích “Thầy Bói Xem Voi” chứng tỏ từ xa xưa con người đã đạt tới một trình độ tư duy rất sâu sắc. Nhưng sự sâu sắc ấy chỉ thực sự trở thành một quan điểm triết học rõ ràng về tính bất toàn của nhận thức kể từ năm 1658, khi Pascal viết tác phẩm “De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader” (Về tinh thần hình học và Nghệ thuật thuyết phục). Đầu tiên, công trình này được dùng làm Lời Nói Đầu cho một cuốn sách giáo khoa hình học trong bộ sách nổi tiếng mang tên “Petites-Écoles de Port-Royal”. Mãi tới 1667 (tức 5 năm sau khi ông mất), tác phẩm ấy mới được Nhà xuất bản Arnauld xuất bản chính thức thành một cuốn sách độc lập.
Trong tác phẩm này, Pascal ca ngợi Hình học (tức Hình học Euclid) như một mẫu mực của Toán học, một mẫu mực của tư duy lý lẽ, không có dạng tư duy lý lẽ nào sáng sủa, rõ ràng và thuyết phục bằng Hình học. Hầu hết các vĩ nhân đều thán phục và say mê môn Hình học này. Isaac Newton viết cuốn “Triết học Tự nhiên” theo phong cách của Hình học Euclid. Abraham Lincoln đặt cuốn Hình học Euclid làm sách gối đầu giường, vì nó giúp ông trở thành một luật sư tranh cãi hùng biện. Albert Einstein ca ngợi Hình học Euclid là “Cuốn sách nhỏ thiêng liêng” (The Holy Booklet). Tóm lại, Hình học là một mẫu mực của tư duy lý lẽ không thể chê vào đâu được.
Nhưng Pascal không dừng lại ở đó. Ông chỉ ra cái bất toàn của Hình học, tức là cái bất toàn của tư duy lý lẽ nói chung, vì Hình học là mẫu mực của tư duy lý lẽ. Thật vậy, lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, Pascal đặt vấn đề hoài nghi về giới hạn của tư duy lý lẽ: liệu con người có thể khám phá ra mọi chân lý dựa trên một số chân lý đã được thiết lập từ trước hay không.
Cái mà ông gọi là “chân lý được thiết lập từ trước” thì nay ta gọi là tiên đề (axioms). Vậy mối hoài nghi của Pascal có thể được phát biểu theo ngôn ngữ hiện đại như sau: Liệu có thể có một hệ tiên đề đủ tin cậy để từ đó xây dựng nên một hệ thống toán học hoàn hảo không?
Suốt mấy trăm năm, kể từ khi hoài nghi của Pascal được nêu lên, không thấy ai trả lời, trừ chính bản thân Pascal. Nhưng đến đầu thế kỷ 20, hoài nghi ấy “bỗng nhiên” trở thành một chủ đề trung tâm của Toán học.
Thật vậy, năm 1900, trong Hội nghị Toán học Thế giới họp tại Paris, David Hilbert kêu gọi các nhà toán học hãy tìm một Hệ tiên đề cho Số học
Dưới ngọn cờ của Hilbert, việc củng cố nền tảng của lâu đài toán học bỗng trở thành nhiệm vụ cấp bách. Đích thân Hilbert lao vào xây dựng lại hệ tiên đề cho Hình học Euclid. Ông chê Hệ tiên đề của Euclid là không đầy đủ. Ông xây dựng một hệ tiên đề mới (gồm 20 tiên đề), được gọi là Hệ tiên đề Hilbert. Với tuyên bố hùng hồn: “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”, Hilbert thể hiện niềm tin mạnh mẽ rằng trước sau Toán học sẽ tìm ra một Hệ tiên đề đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn, để từ đó kiến tạo nên một lâu đài toán học tráng lệ, vững chắc, không có nghịch lý. Đó chính là chương trình vĩ đại của Siêu-Toán-học, một thứ TOE của Toán học (một kiểu Lý thuyết về mọi thứ của Toán học).
Tôi không biết Hilbert có đọc tác phẩm “Về tinh thần Hình học và Nghệ thuật thuyết phục” của Pascal hay không, nhưng có thể tin chắc rằng nếu ông có đọc, ông cũng không tán thành Pascal, bởi vì những gì ông làm hoàn toàn trái ngược với tư tưởng của Pascal.
Tư tưởng của Pascal trong cuốn sách nói trên bao gồm 2 luận điểm cơ bản. Xin trình bầy 2 luận điểm đó bằng ngôn ngữ hiện đại như sau:
Một, bằng phương pháp logic thuần túy, không có cách nào để kiểm tra những chân lý được thiết lập từ trước là đúng! Đơn giản vì bất kỳ một chân lý nào cũng đòi hỏi một chân lý khác làm chỗ dựa cho nó về mặt logic. Vì thế việc kiểm chứng một hệ tiên đề bằng logic thuần túy sẽ dẫn tới một chuỗi vô hạn các bước kiểm chứng. Đó là điều bất khả (impossible).
Hai, những mệnh đề được chọn làm tiên đề thực ra chỉ là một niềm tin được một số người nhất trí tán thành. Nói cách khác, Hình học, mặc dù là một mẫu mực của tư duy lý lẽ, nhưng xét cho cùng cũng chỉ là một niềm tin. Không có một lý thuyết nào là tuyệt đối logic. Mọi dạng nhận thức đều dựa trên niềm tin. Niềm tin có thể đúng hoặc sai. Vì thế Hình học là bất toàn. Mọi lý thuyết dựa trên lý lẽ đều bất toàn.
Lập luận của Pascal rất thuyết phục, vậy tại sao Hilbert không tin? Ông khăng khăng cho rằng sẽ xây dựng được những hệ tiên đề đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn. Rốt cuộc Hilbert đúng hay Pascal đúng. Câu trả lời đã quá rõ ràng.
Định lý Godel đã chỉ ra rằng không tồn tại một hệ tiên đề đầy đủ của Toán học. Chương trình Siêu Toán học là không tưởng. Hệ tiên đề Hilbert (dành cho Hình học Euclid) một thời được quảng cáo rùm beng như một mẫu mực của phương pháp tiên đề, thực ra không xứng đáng với quảng cáo đó. Để thấy rõ điều này, xin đọc bài “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?” của Phạm Việt Hưng trên tạp chí TIA SÁNG Tháng 08/2002 và trên các trang mạng Vietsciences, PVHg’s Home.
Vậy đâu là nguyên nhân cốt lõi dẫn một nhà toán học lỗi lạc như Hilbert đi tới sai lầm?
Câu trả lời: Hilbert thiếu cái đầu triết học!
Thật vậy, ông là một nhà toán học lỗi lạc nhưng lại thiếu cái đầu triết học toán học. Ông ngộ nhận về sức mạnh của Toán học, ngộ nhận về bản chất của Toán học, ngộ nhận về vai trò của Toán học. Đó là sai lầm của mọi sai lầm của Hilbert.
Toán học dù kỳ diệu đến mấy, chính xác đến mấy, hiệu quả đến mấy, nhưng VỀ BẢN CHẤT cũng chỉ là một khoa học dựa trên kinh nghiệm của con người, như bất kỳ dạng nhận thức nào khác. Đã là kinh nghiệm của con người thì không thể tránh khỏi sai lầm, nghịch lý, và mâu thuẫn, không thể hoàn toàn độc lập và khách quan, tách rời hiện thực như Chủ nghĩa Hình thức chủ trương.
Nhưng Hilbert và những người theo gót ông không hiểu điều đó. Những người này mắc phải chứng huyễn hoặc cái mà họ tôn thờ. Họ hạ bệ tôn giáo nhưng lại tôn Toán học lên địa vị thần thánh. Thật vậy, họ tưởng Toán học là một hệ thống chân lý tuyệt đối độc lập với hiện thực và độc lập với bộ não của con người. Họ quá tự tin và ảo tưởng khi cho rằng con người trước sau sẽ khám phá ra những chân lý tuyệt đối ấy, dựa trên tư duy logic chặt chẽ.
Tóm lại, Hilbert là một nhà toán học vĩ đại nhưng không giỏi triết học. Xem thế đủ biết cái đầu triết học cao hơn cái đầu toán học thuần túy. Pascal và Godel vừa là nhà toán học lỗi lạc, vừa là nhà tư tưởng thâm thúy. Sự đồng điệu về tư tưởng giữa hai thiên tài này là minh chứng hùng hồn cho câu ngạn ngữ Pháp: “Tư tưởng lớn gặp nhau!”.

[3] – KẾT LUẬN

Blaise Pascal và Kurt Godel, trực tiếp hoặc gián tiếp, bằng triết học hoặc toán học, cùng đi tới những kết luận rất quan trọng về nhận thức sau đây:
■ Nhận thức bằng lý lẽ luôn luôn bất toàn (không đầy đủ). Nhận thức lý lẽ mạnh nhất là Toán học. Nhưng Định lý Godel đã chứng minh không thể chối cãi rằng Toán học là bất toàn. Suy ra mọi dạng nhận thức dựa trên lý lẽ đều bất toàn. Pascal là một trong những thiên tài khoa học, nhưng ông lại là người đầu tiên chỉ ra tính bất toàn của lý lẽ: “La dernière démarche de la raison est de reconnaître qu’il y a une infinité de choses qui la surpassent” (Bước cuối cùng của lý lẽ là nhận ra rằng có vô số thứ ở phía bên kia tầm với) (Pascal, Pensées).
■ Nhận thức của con người rộng hơn nhận thức bằng lý lẽ. Pascal nói rất rõ điều này: “Nous connaissons là vérité non seulement par la raison, mais encore par le coeur” (Chúng ta nhận thức chân lý không chỉ bằng lý lẽ, mà còn bằng trái tim). Thậm chí ông cho rằng nhận thức bằng trái tim thông minh hơn nhận thức bằng lý lẽ: “Le coeur a ses raisons que la raison ne connait point” (Trái tim có những lý lẽ của nó mà lý lẽ chẳng hiểu gì cả).

■ Để có một nhận thức đầy đủ và phong phú hơn, nhận thức bằng lý lẽ phải được bổ sung bằng nhiều dạng nhận thức khác nhau, trong đó TRỰC GIÁC đóng vai trò ngọn đuốc soi đường. Điều này hoàn toàn phù hợp với tư tưởng của Nguyên lý Bổ sung của Niels Bohr.
Nhận thức trực giác được Pascal gọi là nhận thức bằng trái tim. Qua Pensées có thể thấy không ai nhấn mạnh đến vai trò của trực giác bằng Pascal. Còn Godel thì sao? Hãy nghe ông nói: “Trực giác không phải là chứng minh; nó là cái đối lập với chứng minh. Chúng ta không phân tích trực giác để thấy một chứng minh, nhưng bằng trực giác chúng ta nhìn thấy một cái gì đó mà không cần một chứng minh nào cả” (Intuition is not proof; it is the opposite of proof. We do not analyze intuition to see a proof but by intuition we see something without a proof).
Chủ nghĩa Hilbert cho rằng logic chứng minh sẽ giúp con người khám phá ra mọi chân lý. Quả là một sai lầm ấu trĩ!

PVHg, Sydney 28/05/2015

CHÚ THÍCH:
(1) Để có khái niệm về siêu toán học và chủ nghĩa Hilbert, xin đọc bài “Những tư tưởng định hình khoa học hiện đại” trên PVHg’s Home ngày 17/05/2015.
(2) Nguyên Giáo sư vật lý Đại học Marie Curie, Nguyên Giám đốc một trung tâm nghiên cứu thuộc CNRS (Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia) của Pháp.
(3) Bố tôi là cụ Phạm Đình Biều, nguyên kỹ sư công chính thời thuộc Pháp. Giám đốc Nha Công chính Bắc Việt. Kỹ sư trưởng (ingénieur en chef) phụ trách nhiều công trình xây dựng, cầu cống, đường xá, đê điều thời thuộc Pháp. Thành viên nhóm kỹ sư xây dựng đoạn đường hầm xuyên núi phục vụ công trình đường sắt Bắc Nam khu vực Nha Trang.

GHI CHÚ: Bài viết này là một phần trong Bài thuyết trình của tôi (PVHg) tại một Viện Nghiên Cứu và Phát Triển thuộc một cơ quan cấp Bộ tại Hanoi ngày 16/04/2015. Các phần tiếp theo, bao gồm cả videos, sẽ lần lượt được công bố trên PVHg’s Home. Sau đây là những phần đã công bố:

17/05/2015   Những tư tưởng định hình khoa học hiện đại

23/05/2015   Từ bất định lượng tử đến Nguyên lý Bổ sung của Bohr và Thái Cực Đồ

28/05/2015   Về tính bất toàn: từ Pascal đến Godel

04/06/2015   Poincaré và Một thế kỷ của Hỗn độn

09/06/2015   Từ ENTROPY đến ĐẠO