Abstract: Three and half centuries ago, Blaise Pascal wrote in his Pensées: “The heart has its reasons that reason does not know”. The more I ponder on this idea, the more I approach to the core subjects of epistemology: INTUITION and the Limits of Reasoning thinking. The more I study the limits of reason, the more I comprehend the profound implications of Gödel’s Incompleteness Theorem – “The #1 Mathematical Discovery in 20^th Century”.

Ba thế kỷ rưỡi trước đây, Blaise Pascal viết trong tác phẩm Pensées của ông: “Trái tim có những lý lẽ của nó mà lý trí không hiểu”. Càng suy nghĩ về tư tưởng này, tôi càng tiến gần tới những chủ đề cốt lõi của nhận thức luận: TRỰC GIÁC và Giới hạn của Tư duy Lý trí. Càng nghiên cứu về giới hạn của lý trí, tôi càng thấu hiểu những ngụ ý sâu xa của Định lý Bất toàn của Gödel – “khám phá toán học số 1 của thế kỷ 20”[1].

Trước hết hãy nói về TRỰC GIÁC. Như tôi đã trình bày trong bài “Phép Mầu”[2], TRỰC GIÁC là kênh giao tiếp chủ yếu giữa con người với toàn bộ thế giới, kể cả với chính mình, với những tầng vũ trụ cao hơn và với Thượng đế. TRỰC GIÁC là phép mầu kỳ lạ nhất, một đặc ân của Tạo Hóa giúp ta nhận biết được những sự thật ở phía bên kia tầm với của tư duy lý trí.

Tư duy lý trí sắc sảo nhất là tư duy logic. Tư duy logic chính xác nhất là tư duy của computer. Trong thời buổi computer tạo ra nhiều “phép lạ” đáng kinh ngạc như hiện nay, nhiều người bị choáng ngợp đến nỗi coi computer như thần thánh, tin rằng đến một ngày nào đó computer sẽ giải quyết được tất cả mọi việc thay thế con người. Điều này có vẻ đúng, khi Chương trình Deep Blue đã đánh cờ thắng vua cờ Garry Kasparov[3].

Nhưng mặt trái của tiến bộ khoa học và công nghệ là nguy cơ suy giảm tính người!

Dường như thấy rõ nguy cơ đó, nhà tương lai học John Naisbitt ở Mỹ đã phải lên tiếng nhắc nhở giá trị chủ yếu của con người nằm ở đâu: “Trong thời đại thông tin ngày nay trực giác càng trở nên có giá trị hơn chính vì dữ liệu nhiều đến mức ngập ngụa” (Intuition becomes increasingly valuable in the new information society precisely because there is so much data).

Thật chí lý, nếu bạn không có trực giác tinh tường để sàng lọc thông tin, bạn sẽ chết ngập trong đống thông tin đó. Bạn sẽ hoang mang, mất phương hướng, rồi trở thành nô lệ của tư duy logic máy móc. Điều này đã và đang trở thành một thực tế đáng lo ngại trong xã hội hiện đại.

Trẻ em ở nhà trường ngày nay đang có nguy cơ biến thành những chiếc máy. Tư duy trực giác của con người đang dần dần bị chìm lặn, không có chỗ phát huy trong một nền giáo dục càng ngày càng thiên về nhồi nhét và đánh đố. Cặp sách đeo trên lưng các em ngày càng nặng, sách vở ngày càng dày, chữ nghĩa ngày càng trừu tượng, nội dung ngày càng khó hiểu, chương trình ngày càng nâng cao, nhưng… hiểu biết ngày càng nghèo nàn.

Hố sâu ngăn cách giữa người có trí thức cao với mặt bằng dân trí ngày càng lớn. Trong khi có một nhóm rất nhỏ những học sinh được hưởng thụ những điều kiện ưu đãi về kinh tế và giáo dục để trở thành thành phần “elite” của xã hội thì đại đa số học sinh và trí thức có trình độ văn hóa thấp, thậm chí rất thấp. Mục đích học để đi thi và giành giật bằng cấp, giành giật miếng ăn ngày càng lấn át mục đích học để thỏa mãn hiểu biết và hướng tới Chân, Thiện, Mỹ. Học sinh thi khối nào thì hầu như chỉ biết kiến thức những môn thi của khối ấy, ngoài ra không cần biết các môn khác, bởi riêng việc đối phó với những môn phải thi đã không đủ thì giờ. Đó là nguyên nhân dẫn tới tình trạng kém văn hóa. Những gì nền giáo dục mang lại cho con người là quá ít so với tiền của và công sức của cả nhà nước lẫn cá nhân bỏ ra. Lỗi chủ yếu là ở đường lối và phương pháp giáo dục.

Bất chấp mọi lời cảnh báo, các nhà giáo dục tiếp tục mơ ngủ trên đống lý thuyết chữ nghĩa sáo rỗng. Họ bị ảnh hưởng nặng nề bởi một trào lưu tư tưởng trong thế kỷ 20 – trào lưu đề cao tư duy logic hình thức như thần thánh, khẳng định tư duy lập luận khoa học là công cụ vạn năng cho phép khám phá ra mọi sự thật mà con người muốn biết. Nhân vật tiêu biểu cho tư tưởng này là David Hilbert, với tuyên ngôn bất hủ của ông:

“Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết!” (Wir müssen wissen; Wir werden wissen!)

Tuyên ngôn ấy đã được khắc trên bia mộ của Hilbert tại nghĩa trang Stadtfriedhof ở Göttingen, đến nay vẫn còn nguyên vẹn, như một dấu tích không chỉ nói lên tham vọng khôn cùng của cá nhân Hilbert, mà còn là dấu tích của một thời tư duy khoa học được tôn vinh như chúa tể trong vương quốc nhận thức, lấn át mọi dạng nhận thức khác như văn chương, nghệ thuật, triết học, tôn giáo,…

Những ai quan tâm tới bản chất của nhận thức, có lẽ không nên bỏ lỡ cơ hội đến thăm mộ của nhà toán học lừng danh này, để chứng kiến tận mắt tuyên ngôn đầy tự tin của ông, và cũng là tuyên ngôn của một bộ phận rất đông đảo các nhà khoa học – tuyên ngôn về sức mạnh của lý trí khoa học! Từ bia mộ ấy lần ngược thời gian về quá khứ khoảng nửa thế kỷ, từng trang sử sôi động nhất và nhiều ý nghĩa nhất của khoa học và triết học cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 sẽ lần lượt được mở ra trước mắt bạn. Trang đầu tiên có một câu châm ngôn bằng tiếng La-tinh đối lập hoàn toàn với câu châm ngôn của Hilbert:

“Ignoramus et Ignorabimus” (Chúng ta không biết và sẽ không biết).

 Giống như một mồi lửa, câu châm ngôn ấy châm ngòi cho sự bùng nổ một trào lưu tư tưởng được gọi là Chương trình Hilbert (Hilbert’s Program) – một chương trình vĩ đại kéo dài gần nửa thế kỷ nhằm tìm kiếm Chiếc Chén Thánh[4] của Toán học (The Holy Grail of Mathematics), chiếc chén mầu nhiệm cho phép xây dựng lại Toán học thành một hệ thống logic tuyệt đối hoàn chỉnh: đầy đủ, độc lập và phi mâu thuẫn.

Nhưng… như chúng ta đã biết, chương trình vá trời lấp biển ấy đã kết thúc trong sự lảng tránh và im lặng, trong nỗi thất vọng đắng cay vì phải chứng kiến sự ra đời của một định lý chôn vùi tham vọng của nó: Định lý Bất toàn của Gödel!

Hơn bất kỳ một lý thuyết nào khác, Định lý Gödel dạy cho nhân loại biết rằng tư duy lý trí không bao giờ là đủ để hiểu thế giới. Một cách gián tiếp, nó gợi ý con người hãy học lắng nghe tiếng nói thì thầm từ trong sâu thẳm của trái tim, bởi “Trái tim có những lý lẽ mà lý trí không hiểu”. Tiếng thì thầm ấy chính là trực giác, là ánh chớp lóe lên trong tâm trí, và là “thứ duy nhất thực sự có giá trị”[5] như Albert Einstein đã từng chia sẻ.

Nếu không có cái trực giác mẫn tiệp ấy, dù chúng ta có trí tuệ khổng lồ như David Hilbert, chúng ta vẫn có nguy cơ dẫm lại vết xe đổ của ông, để rồi trở thành tự phụ đến mức coi mình là chúa, coi thường những cảnh báo mà những người đi trước đã gợi ý.

Nếu bớt tự phụ, nếu biết lắng nghe, thì câu châm ngôn “Chúng ta không biết và sẽ không biết” sẽ là một gợi ý đáng để cho chúng ta suy ngẫm.

IGNORAMUS et IGNORABIMUS

Năm 1872, Emil du Bois-Reymond, một nhà sinh lý học thần kinh (neuro-physiologist) người Đức, cho ra mắt một cuốn sách làm chấn động dư luận khoa học đương thời:

“Về những giới hạn của sự hiểu biết của chúng ta về tự nhiên” (Über die Grenzen des Naturerkennens).

Có lẽ đây là lần đầu tiên trong khoa học xuất hiện một tác phẩm chính thức khuyến cáo khoa học cần xem xét lại tính hạn chế của bản thân mình.

 Với tác phẩm đó, Bois-Reymond phải được xem như một kẻ táo gan đi ngược lại xu thế đương thời – thời đại thống trị gần như tuyệt đối của vật lý Newton với đỉnh cao của nó là Quyết định luận Laplace (Laplace’s Determinism). Quyết định luận này tuyên bố rằng khoa học có thể xác định được tình trạng của vũ trụ tại một thời điểm bất kỳ trong quá khứ hoặc tương lai, nếu biết tình trạng của nó tại một thời điểm cho trước. Nói một cách đơn giản, Quyết định luận Laplace thể hiện tư tưởng cho rằng khoa học sẽ biết được mọi sự thật, giải thích được mọi hiện tượng.

Cho đến cuối thế kỷ 19, hầu hết các nhà khoa học đều cho rằng những lý thuyết bao quát vũ trụ đã tìm thấy cả rồi. Khoa học gần như biết hết mọi sự thật rồi. Phần còn lại chỉ là chi tiết. Vì thế tác phẩm của Bois-Reymond phải nói là thực sự dũng cảm, vì nó nhắc nhở rằng khoa học đã nhầm, có những sự thật chúng ta không biết và sẽ không bao giờ biết!.

Trong rất nhiều năm qua, hầu hết chúng ta đều không hề biết đến tác phẩm nói trên của Bois-Reymond. Mãi đến bây giờ, khi internet tạo nên cuộc cách mạng về thông tin, những sự thật về Bois-Reymond mới được sáng tỏ.

Không khó khăn lắm để giải thích sự muộn màng đó: tác phảm của Bois-Reymond, giống như Định lý Bất toàn của Gödel nửa thế kỷ sau, nói chung không được giới khoa học hoan nghênh, đơn giản vì nó dập tắt ngọn lửa đang bùng cháy trong lòng các nhà khoa học. Nó nói sự thật, nhưng những người cố chấp coi nó như chống lại khoa học!

Chưa hết, năm 1880, Emil du Bois-Reymond lại một lần nữa buộc giới khoa học đương thời phải chú ý – trong một diễn văn nổi tiếng đọc trước Viện Hàn lâm Khoa học Berlin, ông nêu lên “Bảy Thách đố” (Seven Riddles) đối với khoa học:

1.Bản chất tận cùng của vật chất và lực?

2.Nguồn gốc của chuyển động?

3.Nguồn gốc sự sống?

4.Tại sao tự nhiên sắp xếp dường như có mục đích?

5.Nguồn gốc của những khả năng cảm thụ đơn giản?

6.Nguồn gốc của tư duy thông minh và ngôn ngữ?

7.Bản chất của tự do ý chí (freewill)?

Trong đó, các thách đố 1, 2, 5 được ông mô tả là “ignoramus et ignorabimus” (Chúng ta không biết và sẽ không biết)! Ông tuyên bố cả khoa học lẫn triết học sẽ không bao giờ trả lời được ba thách đố đó.

Xin lưu ý rằng “ignoramus et ignorabimus” không phải là chủ nghĩa bất khả tri (agnosticism). Thật vậy, Emil du Bois-Reymond không phải là người có tinh thần chống đối khoa học. Ngược lại, ông là một nhà khoa học thực thụ: ông là người khám phá ra hiện tượng thay đổi điện thế trên màng tế bào thần kinh, được gọi là hiện tượng “nerve action potential”. Ông cũng được coi là cha đẻ của ngành điện-sinh-lý-học (electro-physiology). Hơn thế nữa, từ khi Bois-Reymond nêu lên Bảy Thách đố đến nay đã là 133 năm mà dường như chưa có thách đố nào được giải đáp. Chúng ta không có cơ sở nào để bảo rằng tư tưởng “ignoramus et ignorabimus” của ông là chống đối khoa học, nhưng chúng ta biết chắc chắn rằng nó đã chọc tức nhiều người, nhất là những người có niềm tin tuyệt đối vào sức mạnh của lý trí, điển hình là David Hilbert.

Tất nhiên, Hilbert và những người đi theo ông chống đối tư tưởng của Bois-Reymond một cách quyết liệt.

Năm 1900, tại Hội nghị Toán học Quốc tế ở Paris, David Hilbert tuyên bố dứt khoát:

“Trong toán học không có ignorabimus!” (In mathematics there is no ignorabimus).

Ba mươi năm sau tại Königsberg[6], trong một diễn văn lừng danh đọc trước Hội các nhà khoa học và bác sĩ Đức ngày 08/09/1930, Hilbert một lần nữa thể hiện thái độ giận dữ đối với tư tưởng “ignorabimus”. Ông kêu gọi giới khoa học phải chống lại tư tưởng đó:

“Chúng ta không nên tin vào những kẻ mà hôm nay, với quan điểm triết học và giọng điệu có tính toán, tiên đoán sự sụp đổ của nền văn hóa và chấp nhận quan điểm ignorabimus. Đối với chúng ta không có ignorabimus, và theo ý kiến của tôi, không có bất kể cái gì là không biết trong khoa học tự nhiên. Để chống lại cái ignorabimus ngu xuẩn đó, khẩu hiểu của chúng ta phải là: Chúng ta phải biết – Chúng ta sẽ biết!”[7]

Nhưng than ôi, chỉ đúng một năm sau những tuyên bố hùng hồn đó, Định lý Bất toàn của Gödel ra đời, chứng minh rằng Hilbert sai!

Hóa ra trong toán học cũng có cái ignorabimus!

Thật vậy, Định lý Gödel đã chứng minh hùng hồn rằng tồn tại những mệnh đề toán học không thể quyết định được (undecidable), có nghĩa là không thể biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Định lý Gödel cũng chứng minh hùng hồn rằng toán học không bao giờ đầy đủ. Chữ “incompleteness” nói lên điều đó. Muốn đầy đủ thì không tránh khỏi mâu thuẫn. Muốn tránh mâu thuẫn thì không thể đầy đủ. Đó là cái giá phải trả của bất kỳ hệ thông nhận thức logic nào.

Như lịch sử cho biết, Hilbert thực sự bị shock với Định lý Gödel. Nhưng… giống như Einstein không bao giờ chấp nhận Nguyên lý Bất định trong Cơ học Lượng tử, Hilbert cũng không bao giờ chấp nhận Định lý Gödel. Cho đến phút chót của cuộc đời, ông không bao giờ thừa nhận ông sai. Đây là một tổn thất vô cùng to lớn cho khoa học. Bởi lẽ Hilbert là người có uy tín rất lớn. Nếu ông khảng khái thừa nhận mình sai thì sẽ là một động thái cảnh tỉnh toàn bộ thế giới khoa học. Nhưng sự bảo thủ của ông đã để lại một ảnh hưởng tai hại lâu dài cho đến tận hôm nay vẫn chưa thực sự chấm dứt.

Bằng chứng là mãi cho tới thập kỷ 1950-1960, nhóm Bourbaki vẫn tiếp tục xây dựng Toán học theo đường lối hình thức của Hilbert, và tệ hại hơn nữa, tư tưởng Hilbert tràn cả vào trường phổ thông dưới ngọn cờ Toán học Mới, gây nên thảm họa giáo dục chưa từng có ở Pháp và nhiều nới trên thế giới trong thập kỷ 1960, mà ngày nay những nước lạc hậu vẫn còn súng sính bắt chước, không hề biết rằng thế giới đã từ bỏ từ lâu.

Toàn bộ đường lối Hilbert ấy có thể tóm tắt trong một câu: đó là đường lối đề cao logic suy diễn hình thức và triệt tiêu trực giác sáng tạo!

Giấc mơ của Hilbert và rất nhiều nhà toán học là tính TUYỆT ĐỐI CHÍNH XÁC của Toán học. Muốn tuyệt đối chính xác thì phải từ bỏ ý nghĩa vật chất trong các mệnh đề toán học. Phải nâng Toán học lên tầm một ngôn ngữ tuyệt đối thoát ly khỏi mọi ràng buộc thực tế. Phải biến Toán học thành một hệ thống thuần túy logic hình thức. Đó là lý do để Hilbert say mê Lý thuyết Tập hợp của George Cantor, bênh vực Cantor chống lại mọi chỉ trích, đến mức coi lý thuyết của Cantor là một thiên đường của Toán học!

Nếu không có Định lý Gödel thì không biết trường phái Hilbert còn đẩy Toán học đi tới đâu nữa. Nhưng cái gì phải xẩy ra sẽ xẩy ra. What will be, will be!

Chính tham vọng tìm thấy một hệ logic tuyệt đối phi mâu thuẫn đã thúc đẩy nhà toán học trẻ Kurt Gödel, khi ấy mới có 25 tuổi, khám phá ra điều ngược lại, rằng không thể tồn tại một hệ logic như thế!

Gödel chỉ ra rằng một hệ thống tự quy chiếu (self-referential system), tức một hệ thống tự nhận định về mình, bao giờ cũng dẫn tới mâu thuẫn nghịch lý.

Nếu lý trí của con người được xem như một hệ thống logic khép kín, thì lý trí của con người cũng sẽ đi tới mâu thuẫn khi nó tự phán xét về nó. Nói cách khác, con người rất khó để tự hiểu mình. Phán xét người khác thì dễ, phán xét bản thân mình thì khó. Đó là chuyện đời thường thấy, không có gì đáng ngạc nhiên.

Với cách nhìn đó, nếu Hilbert không nhận ra sai lầm của bản thân để thức tỉnh nhân loại thì âu cũng là một biểu hiện cụ thể của chính Định lý Gödel.

Nếu đặt câu hỏi tại sao một bộ óc uyên thâm như Hilbert, và rất nhiều nhân vật lỗi lạc khác tham gia Chương trình Hilbert, lại phạm sai lầm tự tin quá đáng như thế, thì quả thật đó là một câu hỏi rất đáng nghiên cứu để trả lời.

Thiết nghĩ câu hỏi đó xứng đáng dành cho một luận án tiến sĩ về lịch sử khoa học nói riêng và lịch sử nhận thức nói chung.

Trong thời đại thông tin toàn cầu ngày nay, chúng ta có thể tìm thấy vô số sự kiện hữu ích để trả lời câu hỏi đó.

Có một thông tin vô cùng hữu ích mà rất tiếc là ít người để ý, nhất là những người nghiên cứu và giảng dạy toán học. Đó là những thảo luận của Blaise Pascal từ thế kỷ 17 (gần ba thế kỷ trước Hilbert) về tính hạn chế của phương pháp tiên đề trong hình học. Cụ thể, đó là tiểu luận của Pascal nhan đề “Về Tinh thần Hình học” (De l’Esprit Géométrique). Nếu Hilbert nghiền ngẫm Pascal, có thể ông đã không phạm sai lầm như thế.

Thật vậy, đó là những thảo luận làm cho tất cả những ai quan tâm tới lịch sử toán học sẽ phải sửng sốt ngạc nhiên, bởi vì nội dung cơ bản của nó có thể coi như những tư tưởng manh nha của Định lý Bất toàn của Gödel, ra đời sau Pascal ba thế kỷ!

Khó có thể tưởng tượng một con người như thế, một Pascal thường xuyên ốm yếu, bệnh tật, chỉ sống được 39 năm, mà lại có thể ôm trong lòng một khối lượng tri thức rộng đến thế và vượt thời gian như thế. Từ toán học đến vật lý, triết học, thần học,… chỗ nào ông cũng đặt dấu ấn sâu đậm đến mức buộc hậu thế phải vắt tay lên trán mà suy ngẫm.

Nhưng thật đáng tiếc, dường như người đời biết về Pascal quá ít! Người ta nói nhiều đến những khám phá khoa học của ông hơn là đề cập đến tư tưởng của ông. Mà phần tư tưởng mới là phần cốt lõi nói lên một Pascal vô cùng sâu sắc. Chính ông từng nói “Tư tưởng làm nên tầm vóc con người” (Penser fait la grandeur de l’homme).

Với một nhân vật quá lớn như thế, tôi cảm thấy sẽ mắc lỗi nặng nếu như viết về ông chỉ trong vài dòng ngắn ngủi để làm một cái kết cho bài viết này, nhất là khi mối liên hệ từ Pascal tới những nhà khoa học trong thế kỷ 20 chưa được trình bày rõ ràng.

Vì thế tôi quyết định tạm dừng bài viết ở đây. Xin hẹn sớm gặp lại độc giả trong một bài viết tiếp theo dành riêng cho Pascal. Nhưng xin độc giả đừng quên câu kết ở trên:

Nếu Hilbert nghiền ngẫm Pascal, có thể ông đã không phạm sai lầm như thế.

Nếu nghiền ngẫm Pascal, chúng ta sẽ hiểu ra rằng tư duy lý trí chỉ đạt tới một hiểu biết nhất định nào đó mà thôi.

Những người chỉ tin vào lý trí thường là những người vô thần. Đối với những người này, Pascal nói: “Chủ nghĩa vô thần thể hiện sức mạnh của tinh thần, nhưng chỉ ở một mức độ nhất định mà thôi” (Athéisme marque de force d’esprit, mais jusqu’à un certain degré seulement).

Để có thể chắp cánh bay tới những chân trời rộng hơn, xa hơn, con người phải khôn ngoan vận dụng TRỰC GIÁC, mà Pascal gọi là lý lẽ của trái tim, còn Einstein thì gọi đó là thứ duy nhất thực sự có giá trị. Trực giác không chỉ giúp con người khám phá những sự thật của Tự nhiên, mà còn khám phá những sự thật Siêu nhiên (supernatural), những Phép Mầu,…

PVHg, Sydney 05/12/2013