Hình bên: “Toán học được khám phá ra hay được phát minh?”
Một độc giả trẻ ở Saigon là Nguyễn Thái Xuân vừa gửi thư cho tôi, bầy tỏ mối băn khoăn của anh về những điều anh cảm thấy chưa thực sự “thỏa đáng” trong toán học. Mối băn khoăn đó thực ra đụng chạm tới những câu hỏi lớn:
1/ “Làm thế nào mà một bộ phận có thể hiểu được cái toàn thể?”;
2/ “Có tồn tại một hiện thực khách quan đúng như ta nhận thức không?”;
3/ “Toán học thực chất là gì?”…
Vì thế, nhất cử lưỡng tiện, tôi xin công bố ý kiến trao đổi giữa bạn Xuân với tôi trên trang phamviethung’s home thay cho một bài viết mới. Hy vọng gợi mở được một điều gì đối với tư duy khoa học và giáo dục chăng?
Thư của Nguyễn Thái Xuân gửi Phạm Việt Hưng ngày 10/05/2013:
Kính thưa Thầy (xin cho phép dùng từ này để xưng hô, vì qua những trang viết của Thầy em đã học được rất nhiều). Em là Nguyễn Thái Xuân. Trước đây em có mua cuốn “Từ xác định đến bất định” do Thầy dịch và thấy bất ngờ khi dịch giả là người làm trong lĩnh vực khoa học tự nhiên và có hiểu biết sâu sắc. Em là người thích khoa học tự nhiên, nhiều khi nghĩ đến một số câu hỏi nhưng không có ai cùng bàn luận. Em có một ý sau đây (tâp tin kèm theo) mong được cùng Thầy trao đổi, khi Thầy có đủ thời gian. Cám ơn Thầy.
Câu hỏi:
Làm sao mà giữa hai điểm bất kì khác nhau trên trục số biểu diễn tập số thực lại có thể chứa được vô số điểm? Muốn trả lời câu hỏi được thì phải giả định những khái niệm và ý nghĩa chung của nó đưa ra là đúng. Hãy kiểm tra những giả định này.
“Điểm” trong hình học không gian và hình học Ơclit được mô tả là một yếu tố không gian không có kích thước, độ dày hay độ dài, hay theo một lập thức cũ hơn là có kích thước “không đáng kể”. Cho nên tổng kích thước của tất cả các điểm hay của vô số điểm đều bằng 0. Như vậy không hiểu tại sao mà trục số, vốn dĩ hình dung là chứa vô hạn điểm trên toàn bộ nó hay trên hai số khác nhau bất kì trên nó, lại có các điểm dàn trải trong không gian trục số. Vấn đề ở đâu?
Tập số thực được quan niệm trước hết là một tập hợp vô hạn các phần tử có giá trị khác nhau. Trong tập đó ta có quan hệ lớn hơn và bé hơn giữa các phần tử giá trị. Đây là quan hệ phi tuyến tính không gian, tức không cần phải có một hình dung về không gian để định nghĩa hay hữu hiệu hoá quan hệ đó. Tập R do đó là phi không gian tính. Nếu có hai giá trị khác nhau bất kì x và y trong R, ta luôn có chẳng hạn x – y < 0, khi đó x < y. Cantor đã chứng minh được giữa hai số x và y như thế luôn có vô số {ai} thoả mãn {ai} – x > 0 và {ai} – y < 0, tức x < {ai} < y.
Bây giờ ta muốn biểu diễn quan hệ này trên một đường thẳng mà sau này ta lấy làm trục số thực. Một cách là chọn một “điểm” gốc rồi xác định đơn vị trên đường thẳng, rồi định vị trí của giá trị x, y, và {ai} trên đó. Lúc này ta đang cố biểu diễn tập R, vốn dĩ phi không gian, bằng sự khai triển không gian. Điều này bất khả vì sự bất tương hợp giữa tính chất của R (tập vô hạn không đếm được) và của trục số, và vì không thể xem trục số gồm “điểm” (theo cách hiểu đề cập ở trên), mỗi điểm tương ứng với một số thực, bởi có vô hạn số nên phải có vô hạn điểm, như thế “điểm” dù cho có kích thước nhỏ như thế nào cũng phải tiến về 0 và bằng 0, nhưng khi ấy tất cả mọi điểm sẽ chỉ quy về một vì nó mang tính không gian.
Người ta nói trục số là ví dụ điển mẫu cho đường thẳng chứa vô số điểm, các điểm “lấp đầy” trục số thực, nhưng điều này chỉ mang tính tuyên ngôn là chính (tuyên ngôn mang tính trực cảm), vì thực ra để có thể gắn với hiện thực khả kiến, người ta không thể nghĩ là điểm vô kích thước, mà phải nghĩ là nó có một kích thước rất nhỏ, nếu không thì chẳng thể có sự hình dung không gian được.
Vậy có hai nhầm lẫn: (1) tồn tại khả năng có thể biểu diễn trung thành số thực (phóng chiếu nó) lên trục số dưới dạng các điểm “liên tiếp” nhau; (2) điểm không có kích thước có thể nối tiếp nhau.
Làm sao giải thích việc dùng trục số, đồ thị, hay hình (trong hình học) để suy ra kết quả được? – Không thể dùng hình để suy ra kết quả được. Một sự nhận thức xưa cũ: hình chỉ mang tính hình dung dễ hiểu về tính chất một hàm số. Nếu chấp nhận (1) và (2) thì biểu diễn trục số là sai nhưng tiện lợi.
Hình học muốn có sự liên tục nhưng khái niệm điểm làm điều này bất khả. Nó phải nhờ đại số để biến sự liên tục này trở nên khả dĩ, và đại số diễn đạt sự liên lục này theo kiểu tồn tại vô số số giữa hai số khác nhau bất kì. Ẩn sau mọi kết luận đúng đắn về hình học là sự vận động ngầm của các tính chất đại số. Loại hình học gắn với điểm và đường thẳng (dù cho hai đối tượng này được xem là đã được lý tưởng hoá) là hình học trực quan trực cảm nhưng không vững về toán học, đại số là cái thực hiện tính chất không nhất quán “vô số điểm trên đường thẳng” thông qua vô số số của tập R. Đó cũng là lý do tại sao trong không gian Rn, việc định nghĩa “điểm” (nghĩa khác) luôn cần đến đại số (tập hợp các giá trị toạ độ). Quan điểm đúng là điểm chính là số.
Loại hình học trên (trong số nhiều loại hình học) đưa người ta đến với mâu thuẫn: ta suy nghĩ với các điểm có kích thước nhưng định nghĩa nó lại có kích thước bằng 0 (ở đây khái niệm kích thước được giả định áp dụng được cho điểm). Không thể nói về điểm không có kích thước trong hình học này được. Không thể nói về kích thước của điểm được. Do đó không thể nói trên đường thẳng có vô hạn “điểm” được, theo nghĩa nó mang tính không gian vô kích thước.
Trên đây là quan điểm có lẽ là quen thuộc với toán học và ai cũng biết và nghe nhàm tai, nhưng em muốn trao đổi để xem tính hợp lý của lập luận và điều này có thể dẫn tới đâu. Tự mình tìm lại những cái đã tìm ra, dù chắc rằng không có đóng góp gì, cũng là một niềm vui.
Trả lời của Phạm Việt Hưng gửi Nguyễn Thái Xuân:
Bạn Nguyễn Thái Xuân thân mến,
Tuy câu hỏi của bạn khá dài, hoặc câu hỏi của bạn bao gồm nhiều chi tiết, nhưng tựu trung nó toát lên một băn khoăn lớn thuộc về triết học nhận thức, thay vì một câu hỏi thuần túy toán học hay vật lý. Đây cũng chính là chỗ nói lên giới hạn của nhận thức.
Vâng, nhận thức của con người là vô hạn, con người có thể khám phá ra hết bí mật này đến bí mật khác, nhưng đó là cái vô hạn trong cái hữu hạn – giống y như cái mà bạn đề cập đến: một tập điểm vô hạn (một tập số vô hạn) trong một đoạn thẳng hữu hạn.
Những định nghĩa trừu tượng hóa, khái quát hóa của toán học như điểm và số như bạn trình bầy, bề ngoài có vẻ như là những khái niệm thuần túy toán học – những nhận thức đặc trưng của toán học – nhưng thực ra nó đụng tới câu hỏi sâu sắc nhất của khoa học và triết học nhận thức: “cái chúng ta nhìn thấy có đúng với hiện thực khách quan hay không?”.
Đó chính là câu hỏi không có câu trả lời chung cuộc mà hai đại biểu khổng lồ của khoa học thế kỷ 20 là Albert Einstein và Niels Bohr đã tranh cãi quyết liệt để rồi cuối cùng không ai chịu ai. Sự mâu thuẫn về nhận thức giữa hai nhân vật sâu sắc nhất này rất đáng để cho chúng ta suy ngẫm mà rút ra câu trả lời cho riêng mình.
Einstein tin chắc rằng tồn tại một hiện thực khách quan “như ta thấy” hoặc “như ta sẽ thấy”, trong khi Bohr ngờ rằng có những thế giới bất định mà khoa học không bao giờ có thể mô tả chính xác được – ở đó mọi sự mô tả đều có thể bị méo mó sai lạc, không còn đáng tin cậy nữa, bởi mọi thứ ngôn ngữ chúng ta dùng để mô tả những thế giới xa lạ ấy đều là sản phẩm của thế giới thông thường mà chúng ta đang sống. Tạm ví như dùng những hình ảnh trong xã hội loài người để mô tả cảnh trên thiên đường hoặc dưới địa ngục vậy. Có gì để xác quyết rằng chắc chắn hình ảnh trên thiên đường và dưới địa ngục phải là như vậy?
Xin bạn nhớ cho rằng toán học, mặc dù được coi là khoa học xác định nhất, dần dần cũng đã và đang lộ ra rằng tính xác định của nó cũng chỉ rất tương đối. Có rất nhiều thí dụ toán học phản lại tính xác định của toán học. Lối dạy toán hiện nay bắt bẻ học trò rất nặng về những biện luận chính xác, tưởng rằng như thế mới là toán học, thực ra lại để lộ ra tình trạng ấu trĩ về nhận thức đối với bản chất của toán học. Bởi xét cho cùng toán học cũng chỉ là một khoa học dựa trên kinh nghiệm như vật lý và các khoa học khác, thay vì một hệ thống tư duy khúc chiết đến nỗi có thể khám phá ra những chân lý tuyệt đối. Đây là điểm mới của nhận thức toán học hiện đại, kể từ khi Định lý Bất toàn của Kurt Godel ra đời, nhất là từ cuối thế kỷ 20 cho tới nay. Tuy nhiên, số người làm toán, nghiên cứu toán, dạy toán hiểu ra điều này xem ra còn ít, nếu không muốn nói là khá nhiều người còn mang tâm lý chống đối Định lý Godel. Nhưng bất chấp số đông bảo thủ và lạc hậu ấy, toán học hiện đại đã giảm bớt thói tự phụ tự coi mình như một hệ thống uyên bác nhất và chính xác nhất, để hướng tâm vào những đề tài cụ thể: toán học ngày nay đi vào những đề tài, những bài toán cụ thể, từ bỏ tham vọng tìm ra một hệ thống lý thuyết tổng quát như trường phái hình thức từng tham vọng trong nửa đầu thế kỷ 20 (mà căn bệnh lý thuyết ấy đã lây nhiễm rất nặng trên toàn thế giới, thậm chí từng làm lạc hướng nhiều nhà toán học tài năng). Thành tích của Ngô Bảo Châu là một thành tích với một bài toán cụ thể. Trọng tâm của toán học hiện nay là những bài toán cụ thể được Viện Clay treo giải thưởng mỗi bài 1 triệu USD, mà một trong số đó, Giả thuyết Poincaré, đã được giải quyết năm 2006.
Có rất nhiều điều mà tuổi trẻ khi còn ngồi trên ghế nhà trường, thường bị lấn át bởi quan điểm của thầy giáo, nhất là những thầy giáo giỏi, nhưng rồi sự trải nghiệm dần dần sẽ mang lại cho anh ta sự nghi vấn, để đến một tuổi nào đó, mới vỡ nhẽ ra rằng hóa ra toán học cũng bất định, như vật lý hoặc như bất kỳ một lĩnh vực nhận thức nào khác. Vì thế bạn đừng ngạc nhiên nếu thấy quan điểm của bạn khác với người khác, khác với những bậc trưởng thượng, khác với những quan điểm truyền thống, với sách vở mà bạn đọc. Xin bạn nhớ cho rằng giỏi toán có nhiều cấp độ: từ một anh thợ làm toán rất giỏi đến một nhà hiền triết với những nhận thức toán học sâu sắc. Trong số những người đoạt Giải Fields có thể có những anh thợ toán học mà thôi. Đối với tôi, David Hilbert vô cùng giỏi toán, thậm chí cả vật lý nữa, nhưng ông không bao giờ sánh nổi với Henri Poincaré bởi tầm nhìn xa trông rộng, bởi khả năng nhìn thấu suốt bản chất của toán học.
Nếu Hilbert tuyên bố “We must know, we will know” thì Định lý Godel chỉ ra rằng có những chân lý toán học không thể chứng minh và cũng không thể phủ định, có nghĩa là Hilbert không thể biết. Chính vì có những băn khoăn về điểm và số giống như bạn mà Gottlob Frege phải định nghĩa lại khái niệm về số, mong tìm thấy một hệ thống “minh triết” của toán học, nhưng ông đã thất bại. Định lý Godel chỉ ra rằng không bao giờ bạn có thể có một hệ tiên đề số học đầy đủ, có nghĩa là bạn phải học chấp nhận cái tương đối, cái bất định trong toán học.
Bản thân việc thừa nhận điểm là cái gì đó không có kích thước nhưng tập hợp vô số điểm lại tạo nên một không gian có kích thước đã là một mâu thuẫn lớn về nhận thức rồi. Bản chất mâu thuẫn này nằm ở đâu? Câu trả lời: đó là mâu thuẫn giữa cái hiện thực hữu hạn mà giác quan của chúng ta có thể với tới với tham vọng nhận thức được cái vô hạn.
Khát vọng nhận thức luôn hướng chúng ta tới cái vô hạn, vô cùng, vô tận, vô cùng lớn, vô cùng bé, nhưng khả năng lý giải của chúng ta chỉ đạt tới những gì là hữu hạn. Bản thân khối óc là hữu hạn, nó không thể chứa đựng một lượng thông tin vô hạn. Vì thế mâu thuẫn sẽ nẩy sinh khi dùng cái hữu hạn để xử lý cái vô hạn. Blaise Pascal, một trong những người sâu sắc nhất trong mọi thời đại, từng thốt lên rằng “How can a part know the whole?”.
Khi tưởng tượng một đoạn thẳng chứa đựng một lượng vô hạn các điểm, chúng ta đã bắt đầu đụng tới mầm mống của sự mâu thuẫn và nghịch lý trong nhận thức.
Dường như các nghịch lý toán học đều nẩy sinh từ cái vô hạn. Bạn cứ để ý thì sẽ thấy. Nghịch lý Zenon là một thí dụ điển hình.
Hilbert, Frege khao khát tìm ra những lý thuyết toán học giải thích được mọi hiện tượng toán học, thậm chí tự động tìm ra mọi chân lý toán học, tức là tham vọng giải thích được cái vô hạn. Nhưng Godel chỉ ra rằng đó là một ảo tưởng, dù ảo tưởng đó vĩ đại đến mấy đi chăng nữa thì nó cũng vẫn là ảo tưởng. Mà ảo tưởng thì tác hại không sao kể hết. Hơn bao giờ hết, toán học phải học khiêm tốn, và nên hướng vào việc giải quyết những vấn đề cụ thể. Lý thuyết tập hợp của George Cantor muốn tìm ra một thứ ngôn ngữ chung nhất cho mọi tư tưởng toán học, ngõ hầu dùng ngôn ngữ đó để phân tách, mổ xẻ mọi ngõ ngách, chi tiết toán học sao cho chính xác nhất, tổng quát nhất… Dưới ngọn cờ của Chủ nghĩa hình thức mà Hilbert giương cao, Lý thuyết Tập hợp đã được tôn sùng như một lý thuyết có triển vọng nhất để chỉnh sửa toán học, biến toán học thành một hệ thống lý thuyết tuyệt đối chính xác,… Đó là lý do để ngày nay ta thấy người ta sính ký hiệu tập hợp như thế nào. Người ta tưởng đó mới thực sự là ngôn ngữ toán học chân chính, nên đã ra sức nhồi nhét vào đầu học trò ngay từ những lớp bậc thấp. Nhưng thực tiễn đã chỉ ra rằng đó là một ảo tưởng, và ảo tưởng đó cho thấy tham vọng tuyệt đối hóa xét cho cùng chỉ là một tham vọng ấu trĩ, ngây thơ, thiếu hiểu biết về bản chất của nhận thức.
Những ai biết rõ tầm vóc khổng lồ của Henri Poincaré hẳn sẽ không thể không suy ngẫm khi được biết nhà toán học vĩ đại này ngay từ cuối thế kỷ 19 đã coi Lý thuyết Tập hợp là một căn bệnh của toán học – bệnh ảo tưởng tuyệt đối. Ảo tưởng tuyệt đối hóa của Cantor – ảo tưởng chẻ hoe sợi tóc toán học – tất yếu dẫn tới ảo tưởng của Hilbert, Frege, Russell,… mong tìm thấy thiên đường toán học (nơi toán học đạt tới cấp độ tuyệt đối phi mâu thuẫn).
Bất chấp số đông chạy theo Hilbert với Chủ nghĩa Hình thức, Poincaré đã một mình một chợ xây dựng nên lâu đài toán học của ông bằng những bài toán cụ thể. Hai trong số những bài toán cụ thể vĩ đại nhất là Giả thuyết Poincaré (Poincaré’s Conjecture) và Bài toán Ba Vật thể (Problème à Trois Corps). Những bài toán đó đã không chỉ thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ theo hướng kiến thiết, mà còn tạo ra những bước ngoặt trong lịch sử nhận thức. Chẳng hạn, lần đầu tiên tính xác định của toán học đã bị chất vấn bởi những khám phá của Poincaré trong lời giải Bài toán Ba Vật thể, làm cơ sở cho Lý thuyết Hỗn độn (Theory of Chaos) ra đời trong những năm 1960-1970 (hơn nửa thế kỷ sau khi Poincaré mất).
Một người làm toán, nghiên cứu toán, dạy toán ngày nay nếu không biết gì về Định lý Bất toàn hoặc Lý thuyết Hỗn độn thì có thể coi như… không biết gì về bản chất của toán học. Thử để ý xem trong 1 vạn thầy cô giáo dạy toán hiện nay, có bao nhiêu người như thế. Nếu tỷ lệ đó là 90%, hay 95%, hay hơn thế nữa, thì có lẽ không có gì để ngạc nhiên tại sao ngày nay trẻ em chán toán và sợ toán đến thế. Chủ nghĩa Hình thức – một chủ nghĩa đề cao những ký hiệu hình thức đến mức không đếm xỉa tới ý nghĩa thực tế của nó – đã làm méo mó cách nhìn đối với bản chất của toán học, hủy hoại tính trong sáng và sinh động của toán học, và do đó nó là một chủ nghĩa phản giáo dục. Tiếc thay, thứ toán học phản giáo dục ấy lại được rất nhiều người dạy toán coi là “mốt thời thượng”, đua nhau bắt chước, thậm chí huênh hoang tự đắc coi đó là dấu hiệu của “tài năng” chân chính, biến sự học và sự dạy môn toán thành một cuộc chạy đua vô cùng lố bịch, làm khổ học trò, khổ cha mẹ học sinh.
Vậy đâu là câu trả lời cho những băn khoăn của bạn Nguyễn Thái Xuân?
Tôi nghĩ bạn Xuân sẽ tự tìm thấy câu trả lời sau khi bạn đã dành thì giờ tìm hiểu thêm về lịch sử toán học thế kỷ 20 mà những nhân vật không thể bỏ qua là Hilbert, Frege, Russell, Poincaré, Godel,…
Bạn đừng tin vào bất cứ ai trả lời thay bạn. Hãy tin vào sự thật mà bạn tự khám phá. Sự thật đó là lịch sử. Đó là lý do để Poincaré khuyên các nhà giáo dục rằng phải cho học trò trải nghiệm lại con đường mà các nhà khoa học đã đi qua, tất nhiên là với sự rút gọn thời gian, nhưng nhất thiết không được bỏ qua.
Chúc bạn may mắn, PVHg
Thư thứ hai của Nguyễn Thái Xuân:
Em rất hân hạnh nếu bài được đăng trên blog của Thầy. Mong có cơ hội mở rộng nhận thức hơn. Tự mình tìm ra câu trả lời vừa khó khăn nhưng rất thú vị. Thông qua đó có thể hiểu thêm về bản thân. Đó cũng là con đường mà những ai trong khoa học đều đi, và sẽ vui hơn khi ở đấy ta gặp người bạn đồng hành.
Em tốt nghiệp đã một năm, ngành …tiếng Anh. Trước đây em từng đỗ vào ĐH Khoa học Tự nhiên nhưng bố mẹ khuyên nên theo ngoại ngữ để dễ tìm việc. Sở thích toán học và vật lý theo đuổi em suốt năm tháng đại học. Em định năm nay sẽ thi lại vào trường này!
Em mong có cơ hội gặp Thầy nhưng hiện tại em đang sống tại TP Hồ Chí Minh.
Cám ơn vì bài viết gợi mở trên của Thầy. Nhiều bài viết của Thầy có xu hướng đưa ra yếu điểm trong nhận thức, trong giáo dục, và mang tính thiết thực và sâu sắc.
Chúc Thầy nhiều sức khoẻ.
Nguyễn Thái Xuân
PhamVietHung's Home 
Thưa Giáo sư.
Cháu có thắc mắc về hai câu trong bài “LÀM SAO MỘT BỘ PHẬN CÓ THỂ HIỂU ĐƯỢC CÁI TOÀN THỂ?” ,” Khát vọng nhận thức luôn hướng chúng ta tới cái vô hạn, vô cùng, vô tận, vô cùng lớn, vô cùng bé, nhưng khả năng lý giải của chúng ta chỉ đạt tới những gì là hữu hạn. Bản thân khối óc là hữu hạn, nó không thể chứa đựng một lượng thông tin vô hạn. Vì thế mâu thuẫn sẽ nẩy sinh khi dùng cái hữu hạn để xử lý cái vô hạn” .Hai câu này có mâu thuẫn hay thống nhất với Nguyên lý toàn ảnh ?
Theo ” Nguyên lý toàn ảnh “, cháu được biết
Một vũ trụ mô tả bởi lý thuyết siêu dây (như vậy có hấp dẫn) trong một không-thời gian anti-de Sitter 5 chiều tương đương với một lý thuyết trường lượng tử (không chứa hấp dẫn) trên mặt biên 4 chiều của không-thời gian đó .Một bài toán khó giải trong 5 chiều lại có thể trở nên dễ giải trong 4 chiều và ngược lại.Vật lý trong không gian anti-de Sitter có những tính chất đặc biệt. Nếu chúng ta đang lơ lửng đâu đó trong không gian anti-de Sitter thì chúng ta cảm thấy như đang nằm dưới một đáy hấp dẫn. Một vật ném đi sẽ quay lại như một chiếc boomerang. Nếu chúng ta gửi một đi một chùm photon (chuyển động với tốc độ ánh sáng) thì chùm photon sẽ đến vô cực rồi quay trở lại trong một thời khoảng hữu hạn.
Cháu xin Giáo sư diễn giảng giúp cháu .
Chân thành cảm ơn Giáo Sư
ThíchThích
chào Chú,
Bài trả lời của chú dù nói lại những điều chú đã nói rất nhiều trước đây, nhưng sao đọc lại vẫn thấy hấp dẫn, vẫn thấy mới và phải học hỏi…
Cháu tự hỏi không biết phải đến bao giờ, dân tộc Việt Nam mới có đủ số người có nhận thức đủ để đưa dân tộc nên mức đủ văn minh?
Thanks chú! (về một bài trả lời rất tận tình cho những người trẻ như chúng cháu)
ThíchThích
Chào anh Hưnng.
Tôi vẫn thường xuyên, ghé vào trang nhà của anh, theo dõi và đọc.
Rất mừng, thấy anh vẫn miệt mài làm việc; mừng hơn nữa thấy tư tưởng, tinh thần và trí tuệ vẫn ngày một mạnh mẽ hơn, ngày một sâu sắc hơn, ngày một rộng lớn hơn; mừng hơn hon nữa thấy càng nhiều những comment của người trẻ tuổi gửi đến anh. Điều đó cho thấy ảnh hưởng tích cực của trang nhà này.
Tôi còn nhớ, anh có comment cho một bài viết của tôi về mối quan hệ giữa Nghệ thuật với Tôn giáo và Triết học, Khoa học. Tôi mới post bài Tôn giáo, Nghệ thuật, Triết học và Khoa học trên trang của mình. Xin giới thiệu với anh và các bạn trẻ, như một comment về chủ đề: Làm sao một bộ phận có thể hiểu được cái toàn thể.
Chúc anh và Phamviethung’sHome luôn sáng, toả những ánh sáng của Tri thức và Tình yêu.
Trân trọng.
Cs. Minh Đạt.
ThíchThích
dạ thưa chú Hưng,
lâu nay con chưa vào đọc trang chú, hôm nay vào đây con vẫn thấy chú viết đều, bút lực vẫn mạnh mẽ, tư duy vẫn sắc sảo như lâu nay con biết về chú. Nghĩa là con mừng vì chú vẫn khỏe, chú ạ!
Kế tiếp, con vừa xem trao đổi giữa chú và bạn NTX, con thật hứng thú vì luôn có những bạn trẻ suy nghĩ rất sâu sắc về giới hạn của khoa học, hay toán học. Xin phép chú cho con trao đổi vài ý với bạn Xuân cho thêm gia vị cho món ăn tinh thần không dễ “xơi” mà chúng ta đang bàn. con cảm ơn chú ạ!
thưa bạn Xuân,
1)
có nhiều ý bạn lý giải tôi cũng suy nghĩ như bạn, rằng hình học có nhiều mâu thuẫn nội tại. Nhân nói đến “điểm” và “không gian” theo quan niệm thông thường, ta hãy đặt một câu hỏi thuộc loại “quả trứng – con gà”:
– điểm và không gian, cái nào có trước? cái nào sinh ra cái nào, hay cái nào định nghĩa nên cái nào?
2)
bạn Xuân viết “quan điểm đúng là điểm chính là số”. Ta hãy bàn một chút về “số”.
Số là gì? Gì là số? bạn Xuân có bao giờ suy nghĩ, thủy tổ loài người hiểu “số” là thế nào? Có thể là, 1 hòn đá, 2 hòn đá, 3 con nai, 4 con hổ v.v. Tôi nghĩ, “số” xuất hiện là do 2 khả năng: phân biệt và đếm. Thứ nhất, phải phân biệt được hòn đá này “khác” hòn đá kia thì mới đếm. Thứ hai, phải có ngôn ngữ thể hiện cái đếm, vd như tiếng nói, nét vạch trên thân cây, chuỗi nút trên sợi dây v.v.
tại sao lại phân biệt được? tại sao lại đếm được? chắc chắn do người xưa quan niệm thế giới gồm những thứ RỜI RẠC hợp thành. Không phải ngẫu nhiên mà những thứ như nước, không khí, lửa v.v ta gọi là “không đếm được”, bởi kinh nghiệm cho thấy chúng “liên tục”, “liền mạch”, “không rời rạc” v.v.
vậy thì, thế giới quan rời rạc dẫn tới khái niệm “số”!
ThíchThích
tôi thì nghĩ rằng “số”, xét 1 cách tuyệt đối, là 1 khái niệm lỗi thời! bởi với kiến thức ta có ngày nay về tầng hạ nguyên tử – subatomic level, thì không thể phân biệt rạch ròi hòn đá này với hòn đá kia, cũng như người này với người kia. Khi không phân biệt được rạch ròi, thì không đếm được, và do đó khái niệm “số” trở nên vô tác dụng. Tình thương của bạn Xuân dành cho cha mẹ mình là số mấy? Tình thương của chú Hưng dành cho các con chú là số bao nhiêu? Rõ ràng, có vô vàn điều vẫn tồn tại quanh ta mà không cần tới 1 khái niệm về “số”.
cho nên, tôi nghĩ rằng, “số”, “điểm” hay bất cứ khái niệm toán học, vật lý nào đều là sản phẩm của tư duy phân tích thuần túy. Chừng nào chúng còn có ích (hay gây hại) cho chúng ta, giúp ta xây nhà cửa, chế tạo xe cộ, máy móc phục vụ cuộc sống chúng ta, chế tạo vũ khí hủy diệt cuộc sống chúng ta… thì chúng có ý nghĩa. Còn những thứ lý thuyết “tự thân nó” như hệ tiên đề Hilbert, TOE của Einstein thì chỉ để giải trí mua vui mà thôi!
ThíchThích
thưa bạn Xuân,
bạn hỏi “toán học là gì?” theo tôi biết thì ngày nay người ta quan niệm toán học hiện đại là “sự tương tác giữa các mối quan hệ”. Ta dễ dàng nhìn ra xu hướng này khi quan sát toán lý thuyết hiện đại. Vật lý lý thuyết hiện đại cũng quan niệm như vậy, nên không phải ngẫu nhiên mà ngày nay toán – lý hiện đại như 1 cặp song sinh liền thân không thể tách rời.
tôi cho rằng các nhà toán học hiện đại đang xây 1 cái mê cung khổng lồ có nhiều lối ra, rồi họ nhảy vào trong đó. Mỗi khi có ai tìm được lối ra thì người ta lại ồ lên: thêm 1 công trình vĩ đại nữa!
không biết bạn Xuân nghĩ sao, còn tôi thì nghĩ mọi thứ quanh ta không vĩ đại, mà bình thường, bình thường một cách tinh tế.
cảm ơn bạn đã nêu ra đề tài hay, để tôi có dịp được trao đổi.
Kính.
ThíchThích
Thanks a lot for your discussion. Rewelcome you! PVHg
ThíchThích
Chào bạn Kan,
Trước hết cám ơn bạn vì những ý kiến mà tôi nghĩ xuất phát từ kiến thức sâu và sự tinh tế, một điều tôi khâm phục khi dõi theo mấy dòng của bạn.
Tôi có một số ý kiến như sau.
Về các câu hỏi ở phần 1], “điểm” và “không gian” là hai từ diễn tả hai khái niệm, khái niệm có thể có cái quy chiếu có thực hay không có thực trong không-thời gian. Tính có thực hay không thực vẫn còn là vấn đề, nhưng có thể bạn và tôi nghiêng về tính không thực, tức nghiêng về ý là (1) hai khái niệm đó là tạo tác tinh thần của con người. Nếu chấp nhận giả định này thì câu hỏi cái nào có trước, cái nào là gốc bản hay nguyên nhân của cái kia, quy thành câu hỏi về liên hệ của khái niệm, chứ không phải liên hệ trong thực tại. Đây là vấn đề ngôn ngữ-tri giác. Có 2 chú ý. (a) Sự khảo sát việc ra đời của khái niệm trong từng ngôn ngữ là cần thiết trước khi đưa ra những nhận định triết lý về trật tự hình thành khái niệm ở mọi ngôn ngữ. (b) “Điểm” và “không gian” là hai khái niệm biến đổi theo thời gian trong cùng một ngôn ngữ, cho nên ngay cả việc đặt câu hỏi cái nào có trước có đôi chút vấn đề vì câu hỏi này ít nhất tiền giả định cái bản sắc (identity) bất biến của khái niệm, cũng giống như câu hỏi con gà-quả trứng, vốn ngay từ đầu đã giả định tính xác định của con gà, chẳng hạn như nói cái tôi đang nói tới, chỉ tớ là con gà trong khi chính việc xác định đó lại không phải ai cũng đồng tình.
Nếu không chấp nhận (1) mà đi theo giả định tồn tại thực sự “khách quan” cái mà ta gọi là điểm và không gian (từ khách quan trong ngoặc vì khi nói về cái gì đó là ta đã dùng ngôn ngữ, khái niệm hoá rồi, tức không có con người thì không thể nói gì, cho nên con người ngay từ đầu đã dự phần trong chính tự nhiên, trong chính cách miêu tả của mình)- một giả định khó vững hơn, đây là câu hỏi cần có một câu trả lời vũ trụ học về nguồn gốc của không gian, và điểm. Tại sao cái này phải có trước cái kia theo tuyến tính thời gian và đi tới nguyên nhân cuối cùng tương đối ở đây? Sao không về mặt toàn thể vũ trụ cho rằng chính không gian đã chứa tiềm năng có điểm và ngược lại?
Phần 2]. Khó lòng mà lại không đồng ý với câu “thế giới quan rời rạc dẫn tới khái niệm “số”” của bạn Kan. Số mà bạn nói và áp dụng vào câu nói của tôi là số được hình dung khi khái niệm ban đầu là “số” ở thưở sơ kỳ. Tôi giả định số (hay hợp hơn là giá trị) được hiểu theo nghĩa toán học hiện đại, tức là đã qua nhiều biến đổi về nội hàm khái niệm đó. Sự thay đổi nằm ở cách dùng và mối liên hệ giữa số với các khái niệm khác. Chẳng hạn, hồi trước có lẽ “số” cụ thể nằm trong cụm từ “một con”, “ba cục đá”, tức nó là từ bổ nghĩa cho từ trung tâm “con” hay “cục”, giờ đây nó thành danh từ nên mới có cụm như “không chia hết cho một”. Ngày nay có một mối liên hệ cực kỳ khác trước, chính là mối quan hệ hình thành giữa khái niệm số và khái niệm liên tục, căn bậc hai và vô cực. Cách dùng mới của số được thiết lập trong các mối liên hệ khái niệm hay ngữ nghĩa này (tôi nghĩ nó giống với cái mà bạn Kan nói –sự tương tác giữa các mối liên hệ)., thì có thể cách hiểu về số đã đến một cấp trừu tượng khác, có vẻ hơi xa rời “thực tại”; nó không còn lúc nào cũng dùng để “đếm” nữa. Có lẽ thay từ số bằng “giá trị” thì đúng hơn. Toán học là hệ thống ngữ nghĩa-logic gồm các mối quan hệ quan hệ trực tiếp với giá trị nhiều hơn với số, vì tôi nghĩ giá trị ở cấp độ trừu tượng cao hơn số.
“Liên tục” có thể hiểu trong trường hợp như thể khi chọn BẤT KỲ một số nào trong tập hợp số thực ta luôn tìm thấy một số nào đó sao cho nó chỉ xuất hiện một lần. Từ đây tôi mới đề xuất quan điểm “điểm là số”, để duy trì tính hữu hiệu của khái niệm liên tục. Dĩ nhiên, ở đây phải chấp nhận định lý của Cantor về tính vô hạn không đếm được của tập số thực, mà trước hết là chấp nhận “vô cực” là có THỰC. Do tính vô hạn về số lượng số trong tập hợp mà ta có “sự liên tục về số”. Vô cực cần thiết cho Cantor và không chừng cho toán học nữa, nhưng có lẽ nó chẳng có thực. Nó tiên lợi trong việc đề cập đến và xử lý tính “lớn lớn mãi”, “kéo dài kéo dài mãi”. Xét tập “vô cực”, nếu vô cực có thật, thì nó có trước mọi phần tử và có thể bổ sung phần tử luôn luôn; nếu có thể không có thực, thì mọi phần tử không có trước nó, một điều kì lạ. Ngoài ra khi ta có tập hữu hạn, nếu cứ thêm hoài thì ta vẫn thu được lực lượng lớn nhưng chưa hẳn cần một vô cực, vì sự mức độ lớn là không rõ ràng. Vô cực có vẻ như sinh ra từ góc nhìn, mà như vậy nó không có thực.
Rất đồng tình là số theo quan niệm của bạn đã lỗi thời, mà tôi thích dùng cụm từ khác là “không hợp”, bởi việc lượng hoá của toán rất hạn chế trong thế giới.
Cảm giác mọi thứ bình thường có thể là kết quả của một kiến thức sâu sắc về thế giới. Sự ngạc nhiên hay buồn bực xuất phát từ tình trạng thiếu hiểu biết (theo nghĩa tích cực lẫn tiêu cực).
Cám ơn về những ý kiến hay của bạn. Mong cơ cơ hội trao đổi thêm. Lo cơm áo gạo tiền chiếm không ít thời gian của tôi.
Thân ái
NTX
ThíchThích
Tôi rất nể trọng tuổi trẻ như các bạn Thái Xuân, Kan, Thế Uy,… vì những tư duy sâu sắc của các bạn, mà nhiều người có tuổi không có. Thế mới biết có một sức sống di truyền mạnh mẽ truyền qua các thế hệ, để bảo tồn và nuôi dưỡng trí tuệ người Việt. Nếu không thì nguy lắm, bởi nền giáo dục hiện nay không làm được chứ năng lẽ ra nó phải làm. Cám ơn các bạn trẻ rất nhiều! PVHg
ThíchThích
dạ thưa chú,
con xin cảm ơn những khích lệ của chú. thực ra con nghĩ, thế hệ sau luôn là tấm gương phản chiếu thế hệ trước, vậy nên con luôn cảm kích tấm lòng của chú dành cho thế hệ sau.
À! Nếu được chú có thể thêm widget recent comments vào blog để mọi người tiện theo dõi ạ!
Kính.
ThíchThích
Thank you Kan very much! I will try to do what you advice
PVHg
ThíchThích
Thưa bạn Xuân,
Cho phép tôi bày tỏ lòng cảm kích về sự trao đổi tận tình của bạn. Và cũng xin được bày tỏ lòng trân trọng với những trao đổi chứa những tư duy đầy sâu sắc, đầy hứng khởi bạn dành cho tôi.
Trên tinh thần “ôn cố tri tân”, lấy cách thảo luận thời Academy của các cụ Plato, Aristote làm cách ứng xử, tôi xin được cùng bạn trao đổi tiếp.
Đầu tiên, xin nói sơ 1 chút là hẳn chúng ta đều biết được giới hạn của ngôn ngữ, như bài viết đặc sắc “Câu chuyện ngôn ngữ” của chú Hưng, cho dù nó là ngôn ngữ ta đang giao tiếp với nhau hay là ngôn ngữ trừu tượng cao độ như toán học. Bởi vậy, hy vọng là chúng ta sẽ lấy ý làm lời mà không đi quá sâu vào phân tích ngôn ngữ. Bên cạnh đó, đôi khi chúng ta cũng cần làm rõ nghĩa của các khái niệm đang xét trong phạm vi nào. Hẳn bạn Xuân cũng đồng tình.
MỘT
Trên cơ sở vừa nêu, tôi xin nói về 2 khái niệm “điểm – D” và “không gian – KG” trong phạm vi toán học.
1) D là 1 “cái gì đó” không có chiều (zero – dimensional). KG là 1 “cái gì đó” có 3 chiều (3 – dimensional) hoặc hơn. Ở đây, tính chất dùng để phân biệt chúng là chiều – dimension.
2) Theo quan niệm toán học thông thường (common sense) thì trong KG chứa vô số D. Vậy mà tính chất dimensional thì KG lại có nhưng D chứa trong nó thì lại không! Điều này nó vô lý giống như cái thai trong bụng 1 phụ nữ không có “tính người” mà lại có “tính thú”, như 1 phụ nữ mang bào thai 1 con mèo chẳng hạn.
3) Nếu dùng dimensional làm cơ sở nói về KG, D, hay đường, hay mặt v.v. thì thử hỏi tính chất dimensional này ở đâu ra? Chỉ có 2 cách trả lời:
Một là, tính dimensional của KG thuộc về 1 “cái gì đó” bao trùm KG, sinh ra KG. Là cái gì? Đương nhiên các nhà toán học không trả lời được!
Hai là, dimensional là 1 thuộc tính nội tại của KG, nghĩa là, tự nó có cái tính dimensional đó mà không cần cái gì khác “ban” cho nó. Nếu các nhà toán học trả lời như vầy, thì toán học đương nhiên là 1 loại thần học khác, trong đó “Không Gian” thay cho “Thượng Đế”, còn “Chiều” thay cho “Tồn Tại”!
Cho nên, tôi nghĩ rằng khi toán học lấy dimensional làm cơ sở để nói về không gian, về điểm v.v. thì tự nó đã chứa mâu thuẫn rổi!
Còn câu hỏi “KG và D cái nào sinh ra cái nào?” tôi nêu lần trước không có ý đánh đố, mà là nêu lên vấn đề để ta cùng thảo luận.
Thứ nhất, loại câu hỏi “quả trứng – con gà” theo tôi nghĩ là 1 loại câu hỏi vô bổ, không có tý giá trị suy tư nào như người ta hay gán cho nó. VD, 1 câu hỏi thuộc loại này: “ngày và đêm cái nào có trước?”
Thứ hai, nếu nói D sinh ra KG thì hài hước ở chỗ 1 thứ “không – dimensional” sinh ra 1 thứ “khác không – dimensional”. Nếu nói KG sinh ra D thì tính hài hước vẫn giữ nguyên, theo chiều ngược lại như đã nói ở trên. Các nhà toán học theo đuổi “Hilbertism”, “Bourbakism” hẳn rất hài hước!
Tóm lại, như chú Hưng đã phản đối rất nhiều lần loại toán học – hình thức, tôi không thấy việc hình thức hóa TUYỆT ĐỐI toán học có bất kì giá trị gì. Càng hình thức hóa sẽ càng sa lầy vào “hội chứng Godel”, hì hì!
ThíchThích
HAI
Thưa bạn Xuân,
Ta hãy nói về “Số”. Tôi rất đồng tình với bạn rằng khái niệm Số ngày nay đã được trừu tượng hóa rất nhiều, có lẽ không như người xưa nghĩ về nó. Tuy vậy, tôi nghĩ rằng đó chỉ là sự trừu tượng hóa bề ngoài, còn bản chất cách hiểu về Số thời nay so với ngày xưa không có gì thay đổi.
Khi ta viết “ant” thì phải hiểu thế nào? Một thổ dân sẽ cho đó là 1 hình vẽ kì lạ. Một người Việt không biết Anh ngữ sẽ cho đó là ba chữ cái ghép lại. Một người Việt biết Anh ngữ sẽ cho đó là con kiến. Một nhà toán học có thể cho đó là “a nhân n nhân t với a, n, t là số và “nhân” là phép toán”. Vậy thì phải có cách nào đó làm cho ta phân biệt a,n,t là “số” chứ không phải “chữ”; còn “nhân” là 1 sự kết hợp của hai số chứ không phải “người” theo tiếng Hán – Việt. Do đó mà hình thành hệ thống ngôn ngữ kí hiệu toán học quy ước.
Như bạn Xuân nói “nội hàm của khái niệm số đã thay đổi nhiều, có thể gọi là giá trị”, nhưng như tôi vừa nêu, tôi nghĩ sự thay đổi chỉ là do lớp vỏ bọc ngôn ngữ kí hiệu – hình thức bên ngoài. Tôi sẽ chứng minh nhận xét của mình ngay sau đây:
Thứ nhất, số thực – real number (nói hẹp hơn là số vô tỷ – irrational number) ban đầu được xây dựng trên nền tảng số tự nhiên và 1 số phép tính. VD: “căn bậc hai của số 2”. Bởi gốc (root) của nó là pt x² – 2 = 0, và nó là nghiệm (thú vị thay cũng là “root”).
Phép “khai căn” có nền tảng là phép “nhân”. Còn phép “nhân” có nền tảng từ phép “cộng”. Phép “trừ” cũng có nền tảng là phép cộng (a – b nghĩa là “a cống số đối của b”).
Cho nên về BẢN CHẤT thì irrational number như “căn 2” chỉ là kết quả sự kết hợp của phép cộng và số tự nhiên 2. Đây cũng chính là ý nghĩa của “Số đại số – algebraic number”. Nghĩa là, 1 khái niệm khá phức tạp như algebraic number cũng không ra ngoài bản chất người tiền sử biết về toán, là “phép cộng” và “số 2”.
Thứ hai, “giá trị” của Số mà bạn Xuân đề cập, tôi gọi là “bản chất” và, tôi cho rằng bản chất của Số không thay đổi. Bản chất của nó là “đếm”. Từ quan niệm của người tiền sử về số đếm đến set theory của Cantor đều như vậy. Không phải ngẫu nhiên mà Cantor chọn tập N làm initial reference cho phương pháp one – to – one correspondence của ông. Bởi tập N có 2 tính chất rất “common sense”: đếm và sắp thứ tự.
Thứ ba, Cantor chứng minh tính non – denumerable của tập R bằng cách chứng minh tập (0, 1) là non – denumerable. Theo tôi sai lầm của Cantor là chỗ ông muốn chứng minh là không thể thiết lập một phép one – to – one correspondence giữa N và R. Tuy nhiên, phép này phải tiền giả định các tập là có thứ tự (ordered sets), nếu không thì phép này vô dụng. Ông đã mặc nhiên công nhận R là ordered set, đây là sai lầm. VD: số 0.49999999999….. và số 0.5 giống hay khác nhau? Số nào lớn hơn số nào? Rõ ràng là hai số này khác nhau, nhưng không sắp thứ tự chúng được! Bằng cách chia đôi hai số này vô số lần, ta được vô số cặp số khác nhau nhưng không thể sắp thứ tự. Do đó mà ý định dùng one – to – one correspondence để chứng minh tập (0, 1) non – denumerable của Cantor đã phá sản ngay từ đầu.
Cho nên Cantor và những người ủng hộ ông tưởng đã “bắt nhốt” được cái vô hạn vô trong Cantor set, nhưng đó chỉ là ảo tưởng mà thôi.
Thưa bạn,
Giống như câu hỏi bạn nêu ra “làm thế nào một bộ phận có thể hiểu được cái toàn thể?”, tôi nghĩ rằng bất cứ cố gắng nào để hình thức hóa cái vô hạn đều dẫn tới phi lý, bởi khả năng con người chỉ hữu hạn mà thôi.
Vâng, cơm áo không đùa với khách thơ. Dẫu chúng ta còn bận rộn mưu sinh, nhưng có duyên gặp gỡ trao đổi hứng khởi như vầy tại trang nhà của chú Hưng cũng thật vui. Cảm ơn bạn NTX nhiều. Con cũng cảm ơn chú Hưng nhiều vì luôn khích lệ và truyền cảm hứng cho tụi con. Kính.
ThíchThích
Chào bạn Kan,
Rất vui khi nhận được ý kiến của bạn. Sau đây là mấy ý của tôi.
Đồng ý với bạn ở ý 1] và một phần ở ý 2], một điều có thể thấy ở phần tôi đã viết trước đây. “Toán học thông thường” hay cụ thể là loại hình học (không gian) có ý gắn kết hệ thống khái niệm toán học với “thực tại” rõ ràng là một cao vọng bất khả. Hình học phát triển dựa trên cảm thức, nó đi trước tiên đề. Không lạ gì khi có những kết luận không được dẫn ra từ bản thân hệ tiên đề Euclid (như một trường hợp do Moritz Pasch phát hiện ra). Toán học phải hướng vào bản thân nó, không dựa vào mối quan hệ hay tính chất vật chất (độ rộng, cao, hay “chiều” ở đây).
Đó là lý do tại sao tôi dùng số để định nghĩa điểm, và tất nhiên giả định sự tồn tại của vô hạn, và do đó, tính liên tục. Ở đây ta không cần khái niệm chiều rộng, dài. Lúc này dĩ nhiên hình học đã bị quy thành số học. Sau này (thật ra thì cũng mấy tuần trước) tôi mới biết xu hướng này được Cantor theo từ lâu. Tính vật chất bị loại ra trong toán học ở cấp càng ngày càng trừu tượng. (Có vẻ như tôi vô tình là một Cantor-tử!).
E rằng khó lòng đồng ý với so sánh tương đồng (analogy), mà tôi nghĩ không chừng là một phần của lập luận đi đến tính kỳ hoặc, hay vô lý của quan hệ nội dung khái niệm điểm và không gian và chiều, vì (1) liệu có chắc rằng cái bào thai thật sự là có tính người hay có tính thú (hôm nọ tôi thấy mấy người hoạt động “ngầm” nói: từ khi “sinh ra” người ta đã có “nhân” quyền); lập luận đi đến quyết định một trong hai là thuộc lĩnh vực đạo đức-xã hội, lập luận đó kêu gọi phần nhiều đến tình cảm (appeal to emotion) hơn là lý trí hay cảm thức, và liên quan đến sự đấu tranh quyền lợi xã hội (chủ đề này liên quan tới tính hợp pháp của phá thai — một chủ đề nóng bỏng bên Mỹ với những lập luận mà chân trị chỉ có thể quyết định thông qua tính hợp lý xã hội và lợi ích nhóm), việc áp dụng sự tương đồng về tính vô lý không hợp cho lập luận đi đến sự buồn cười trong toán học; và vì (2) đã có sự phân chia nhị nguyên không hợp ở đây giữa nhân tính và vật tính. Tuy nhiên, sự tương đồng bạn nêu ra chỉ là bổ trợ tới kết luận về sự vô lý theo dạng kêu gọi tình cảm, và không có tác động gì tới kết luận hợp lý của bạn, vì tính phi quan yếu của lập luận đạo đức trong lập luận toán học.
Tuy nhiên phải chú ý là kết luận về tính phi lý đó tiền giả định hay mệnh đề (i) vô hạn là tồn tại thực, (ii) áp dụng khái niệm chiều được cho điểm. Tôi nghi ngời (i).
Khi hỏi và trả lời nguồn gốc của chiều thì tồn tại giả định về tính hiện thực của “không gian”, “chiều”. Mọi chuyện sẽ khác nếu hiểu chúng là hai kiến tạo tinh thần trong một mạng lưới khái niệm mô tả thực tại, và các khái niệm đơn lẻ không có khả năng đó. Sự đồng hiện của mọi quan hệ trong hệ thống không đòi hỏi phân biệt nguồn gốc trước sau của các khái niệm trong quan hệ đó. Kết luận trong toán học là sự hoà hợp với tiên đề. Cho nên nguồn gốc chỉ có thể đặt ra với tiên đề mà thôi, tức hỏi, tiên đề nào đã sinh ra những kết luận này. Có vẻ như không mang nhiều ý nghĩa nếu ta hỏi về nguồn gốc trước sau (lại tuyến tính về thời gian!) của khái niệm phi tiên đề.
Nếu các khái niệm trên “tồn tại” “thật”, có vẻ như hai cách trả lời về nguồn gốc của chiều không loại trừ nhau, vì nếu chiều sinh ra không gian và khái niệm này còn hữu hiệu trong toán học và hữu hiệu cho tiền đề về sự phân biệt điểm và không gian, thì nó phải tồn tại lâu dài, đến mức có thể bất biến, không bị mất đi, khi đó nó có thể, trong giới hạn con người, là cái “nội tại”. Đây là một khả năng.
Tôi nghĩ câu hỏi quả trứng-con gà có nhiều giá trị suy tư. Bằng chứng là người ta đã phải vì nó mà suy nghĩ rồi có thể đi tới kết luận về tính không suy tư của nó! Hồi trước câu hỏi này đã giúp tôi tìm hiểu một phần về tính chất mối quan hệ giữa ngôn ngữ và cái gọi là thực tại, và nguyên nhân-kết quả. Tất nhiên tôi giả định là bạn giả định “vô bổ” như tôi nói.
0 chiều sinh ra chiều khác không có vẻ thật buồn cười. Và ở đây ta phải giả định, một lần nữa, tính của vô hạn. Nhưng thật ra cách đặt vấn đề của tôi là có vấn đề. Vấn đề 1: tôi đã không định nghĩa thế nào là tồn tại. Vấn đề 2. Khái niệm và quan hệ trong toán học (gọi chung là đối tượng) hợp thành ý nghĩa trong toán học, ý nghĩa không tách rời ngôn ngữ (giả định siêu hình của tôi!). Toán học phát triển cùng với sự phong phú hoá đối tượng, đối tượng là khách quan ở chỗ nó là hệ thống mang tính xã hội, tức tồn tại như là khái niệm chia sẻ, cá nhân sử dụng nhưng nó không nằm trong chỉ một cá nhân. Sự đề xuất ra một khái niệm phụ thuộc vào (i) tính hữu dụng của khái niệm, và (ii) tính “thời thượng” của nó. Cho nên khi tôi đặt câu hỏi “vô cực có tồn tại thực hai không?” thì đây là câu hỏi không hợp. Ta phải có cái gì đó để làm khung bàn về thế giới, ta hiểu thế giới qua, và vượt qua, toàn bộ cái khung đó chứ không phải qua tính cục bộ của cái khung đó.
Đồng ý với bạn về một số tính chất của số, mặc dù quan niệm số vô tỷ chẳng qua là kết quả của phép cộng và số tự nhiên là cách nhìn giản lược (quá mức), vì đã bỏ qua sự mở rộng tập hợp. Chẳng hạn, không thể nói a – b (a, b>0, tập N) là bằng a + (-b) nếu không giả định tập số nguyên. Không thể xem a.(-b)= (-b).a=-(a.b) (a, b>0, tập N) nếu không giả định tập số nguyên và khả năng có tính chất kết hợp và/hoặc giao hoán cho tập đó.
Có điều tôi thấy thắc mắc tại sao không thể so sánh các số trong đoạn bạn nói về “sai lầm” của Cantor. Tôi nghĩ (hơi chuyển chủ đề một chút!) Cantor có vấn đề đối với CHÚNG TA ở chỗ tin là vô cực là “có thật” trong thế giới siêu nghiệm, và do đó đi vào mâu thuẫn với thuyết tập hợp. Nhưng hãy hỏi lại chính mình: nếu các tiên đề là vững chắc (vậy sao?, làm sao biết?) thì liệu mâu thuẫn chính là thuộc tính của cái Tuyệt đối (khi đó mâu thuẫn khi nói về cái tối hậu hay cái không thể nói, là chuyện bình thường). Thế giới là bất định (theo ta biết), vậy còn cái cùng cực mà toán học “tìm ra”? Đây là quan điểm thuần tuý siêu hình, không thể bác bỏ mà cũng chẳng thể chứng minh. Quan điểm của ta cũng chẳng kém gì siêu hình và cũng bất khả phản bác. Ta sẽ nghiên về cái nào đó khi nó có lợi cho giải thích, và lại nghiêng về bên kia khi không. Và về mặt này thì không cần đợi phải giải thích về chiều thì nhà toán học mới mang thần học tính.
Dù hơi bối rối một chút, nhưng tôi cũng mạo muội hỏi một câu là sự “hình thức hoá” là gì và nó có liên hệ gì với vấn đề mà ta thảo luận. Hình thức luận (formalism) (nếu là cái bạn muốn nói) trong toán học thường hiểu là việc xem toán là một cho chơi vô nghĩa của các quy tắc, trong đó định lý, tiên đề, đối tượng, chẳng có nghĩa. Tôi không thấy liên hệ gì với điểm ta và quan điểm ta bàn. Mà cái ta bàn liên quan nhiều hơn đến quan điểm Platonist, cho rằng tồn tại một thế giới ý niệm trừu tượng cho toán học (do vậy mà ta mới đi hỏi nguồn gốc, không phải nguồn gốc sinh ra khái niệm). Mặt khác càng “hình thức hoá” (formalize; nghĩa liên quan tới formalism ở trên) thì ta càng tránh được Platonism, vấn đề trong thuyết tập hợp. Formalism sẽ nói, trước sự mâu thuẫn trong thuyết tập hợp hay Platonism, “mâu thuẫn rồi thấy chưa, nhưng không sao, hãy thay đổi quy tắc của trò chơi, toán học chỉ là tạo tác của con người mà thôi.”
Tôi thích trò truyện như thế này, và đặc biệt thích khi thấy những ý kiến tinh tế của bạn. Xin lỗi nếu có ý tôi hiểu nhầm. Tôi không cố gắng thuyết phục, bởi có những nhận định siêu hình ở đây mà ta khó lòng chia sẻ. Phần trả lời của bạn tôi thấy đã lâu nhưng công việc không cho phép nhiều thời gian. Đúng là cuộc sống làm việc này (của tôi) có khả năng làm lụi đi nhiệt huyết học tập phần nào mà tôi có khi còn học chính thức. Chỉ biết cố gắng ngày nào đó tìm hiểu, học hành chính thức.
Cám ơn Thầy đã tạo cơ hội nói chuyện ở nơi thú vị này.
Cám ơn bạn Kan
NTX
ThíchThích
Thưa bạn Xuân,
Cảm ơn bạn đã phản hồi thật nhiệt tình, tôi xin bày tỏ lòng trân trọng với thịnh tình của bạn.
Đầu tiên, như đã nói lần trước, là xin bỏ lời lấy ý, bởi ta biết giới hạn ngôn ngữ ta dùng. Cho nên, trong phản hồi vừa rồi của bạn, có điều tôi đồng tình hoặc không đồng tình với bạn nhưng tôi xin không nêu hết ra đây. Chỉ xin tập trung vào những ý chính.
Bạn viết “Toán học phải hướng vào bản thân nó, không dựa vào mối quan hệ hay tính chất vật chất”.
Đây là 1 phát biểu ủng hộ formalism, ủng hộ Hilbert, Russell, Frege v.v. theo nghĩa chừng nào toán học còn là 1 hệ thống logic chặt chẽ thì nó hữu dụng mà không cần gán cho nó bất kỳ ý nghĩa nào khác ngoài nó.
Tuy nhiên, dễ thấy toán học sẽ không tồn tại, không phát triển nếu một mớ kí hiệu logic kia không có được ứng dụng thực tế nào! Hoặc ứng dụng buồn cười kiểu “1/6 xe đạp + 1/3 xe đạp = ½ xe đạp” mà chú Hưng đã nói tới. Ai quan tâm đến những “kí hiệu hình thức” của con khỉ vẽ trên mặt đất? Toán học không thể tồn tại cho chính nó, cũng như Thượng Đế / Phật / Chúa / Allah v.v. tự thân tồn tại là 1 giáo điều hài hước!
Bạn viết “Kết luận trong toán học là sự hoà hợp với tiên đề. Cho nên nguồn gốc chỉ có thể đặt ra với tiên đề mà thôi, tức hỏi, tiên đề nào đã sinh ra những kết luận này. Có vẻ như không mang nhiều ý nghĩa nếu ta hỏi về nguồn gốc trước sau (lại tuyến tính về thời gian!) của khái niệm phi tiên đề.”
Theo logic này, không có lý do gì không thể hỏi tiếp “Cái gì sinh ra các tiên đề? Nền tảng của chúng là gì? Tại sao phải chấp nhận chúng là đúng? V.v.” Xây dựng toán học dựa trên tiên đề khác gì một trò chơi, cờ vua chẳng hạn, với luật chơi là “hệ tiên đề”. Ta muốn chơi thì ta CHẤP NHẬN hệ tiên đề / luật chơi này, đâu có thắc mắc nó đúng hay sai!
Toán học hình thức, đơn giản chỉ là 1 trò chơi!
Bạn nghĩ rằng chuyện formalism, hay Platonism v.v. không liên quan đến đề tài “điểm – số” ta đang bàn, nhưng thực ra nó liên quan trực tiếp, và có tính quyết định! Khi bạn gán “điểm” cho “số” nghĩa là bạn đã hình thức hóa 1 cái cụ thể hơn xét về mặt trực giác thành 1 cái trừu tượng hơn, tổng quát hơn, ít mâu thuẫn hơn.
Còn tại sao formalism trong toán học lại vô bổ thì chú Hưng đã viết rất nhiều, rất sâu sắc, nên xin phép không bàn thêm. (cont.)
ThíchThích
SỐ
Sau đây là 1 vài dilemma về Số.
– Số là gì? “không phải – Số” là gì?
– “0” có phải là Số hay không? “0” nghĩa là “không có gì” hay “có cái không”?
– Tại sao 0 / 2 được mà 2 / 0 lại không được?
– “Vô hạn” không phải là Số. Vậy tại sao 0.3333333… với phần thập phân vô hạn lại là Số?
– 1 / 3 bằng 0.33333333333….. Nhưng 0.33333333…. có bắng 1 / 3? Dễ thấy 0.3333333333…. = 0.3 + 0.03 + 0.003………. là 1 cấp số cộng vô hạn có limit là 1 / 3, nhưng không bao giờ bằng 1 / 3! Tại sao chúng vừa bằng vừa không bằng nhau?
– S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1….. S vừa là “số 1”, vừa là “số 0”, vừa là “số -1”!?
Toán học có “chính xác, phi mâu thuẫn” như được quảng cáo?
MATH vs STATISTICS
Ở Mỹ, người ta hay phân biệt Statistics (Probability) khác với Math, chứ không như ở VN Stats được coi là 1 nhánh của Math.
Khác biệt cơ bản nhất là Stats công nhận có nhiều cấp độ đúng đắn trong 1 event, 1 statement, 1 problem v.v., từ sai hoàn toàn – 0%, sai nhiều – 30%, đúng sai như nhau – 50%, khá đúng – 70%, đúng – 100% v.v.
Trong khi Math chỉ có đúng – 1 và sai – 0. Chính cái luật chơi nghèo nàn này của Math đã làm Math trở thành 1 thứ ngôn ngữ ngoài hành tinh, xa rời thực tế cuộc sống sinh động. Chơi games, betting còn có hòa 50 – 50. Toán học là 1 trò chơi chán ngắt.
CANTOR VÀ TẬP HỢP
Thuyết tập hợp Cantor gọi là naïve set theory bởi nó sinh ra Russell paradox giống như “nghịch lý nói dối”. Làm sao đây? Chỉ việc thay đổi luật chơi, thêm vào axiom of choice là thành ZFC set theory! Toán học được tạo ra cứ như làm thơ!
Set theory ra đời từ suy nghĩ rất trực quan của Cantor, cũng là của chúng ta: những cái RỜI RẠC có tính chất “giống nhau” được gom vào một “tập hợp”. Nhưng thực tại đâu có rời rạc! Như đã nêu, chính suy nghĩ Số là một cái gì đó rời rạc đã dẫn tới nhiều dilemma như đã nêu trên.
Để dùng phép one – to – one correspondence, Cantor đã mặc nhiên công nhận tập N có thứ tự, hay ordered set để “cố định” chúng rồi mới tiến hành, chứ nếu các số N “chạy loạn” thì không dùng làm “mốc” được. Nhưng nếu xem Số là một thứ nội tại toán học thì nói “3 > 2” nghĩa là gì? Không có nghĩa gì hết!
Sau khi giả định N có thứ tự, Cantor giả định tiếp R có thứ tự. Bởi nếu R không có thứ tự thì các số R sẽ “chạy qua chạy lại” liên tục và do đó, không thể thiết lập one – to – one correspondence. Tuy nhiên, như đã nói, có vô số cặp số R khác nhau nhưng không thể sắp thứ tự (VD: 1 / 3 và 0.33333…) nên không thể thực hiện phép này được.
KẾT
Toán học có khách quan? Toán học có tồn tại độc lập ngoài nhận thức con người? Tôi cho là không, và mạnh hơn, tôi nghĩ chẳng có cái gì đáng gọi là “khách quan”, là “tồn tại độc lập” hết. Tư duy phương Tây theo lối triết lý Hy Lạp chưa bao giờ theo kịp tư duy phương Đông mà Ấn Độ là đại diện. Một lối thoát cho khoa học, cho toán học hiện đại là học hỏi cẩn trọng xem người Ấn cổ đã nói về hiện tượng, về khái niệm, về nhận thức… như thế nào.
Xin chân thành cảm ơn bạn NTX đã dành thời gian trao đổi cùng tôi. Trân trọng.
ThíchThích
Ý KIẾN CỦA BẠN KAN RẤT HAY, ĐẶC BIỆT LÀ ĐOẠN SO SÁNH MATHS & PROBABILITY!!! TÔI CHO RẰNG ĐÓ LÀ MỘT TƯ TƯỞNG ĐÚNG ĐẮN VÀ RẤT THỰC TẾ!!! TƯ TƯỞNG NÀY RẤT PHÙ HỢP VỚI THEOREM OF INCOMPLETENESS
PVHg
ThíchThích
xin cám ơn tất cả những suy nghĩ thông thái của các Bác!
ThíchThích