Nếu lịch sử về Sunya[1] là thí dụ điển hình của một nền chân học mang lại kiến thức bổ ích cho con người thì ngược lại, “chủ nghĩa Frege mới” (neo-Fregeanism) là thí dụ điển hình của một nền hư học chuộng hình thức, sính chữ nghĩa sáo rỗng, xa rời cuộc sống, không mang lại kiến thức bổ ích và làm rối trí học trò.

BÀI 2: “CHỦ NGHĨA FREGE MỚI”

Thông thường cái gì đã bị chứng minh là SAI thì sẽ mất hết uy tín. Nhưng lịch sử giáo dục thế kỷ 20 chứng kiến một “ngoại lệ kỳ quái”: tư tưởng hình thức của Gottlob Frege đã bị chứng minh là SAI, vậy mà nó vẫn được một số nhà toán học và giáo dục ra sức bắt chước, tạo nên cái gọi là Chủ nghĩa Frege mới. Đỉnh cao của chủ nghĩa này là trào lưu “Toán học mới” (THM) ở Tây phương những năm 1960-1970 mà “di căn” của nó đến nay vẫn chưa hoàn toàn chấm dứt.

1* Từ Frege đến THM:

Đầu thế kỷ 20, giống như nhiều nhà toán học “mơ mộng” khác, Frege khao khát tìm ra một thứ Số học “sạch sẽ”, “không vương chút bụi trần”, ngõ hầu vươn tới một hệ thống Số học chính xác tuyệt đối. Ước mơ ấy giúp ông viết nên tác phẩm đồ sộ “Cơ sở Số học” với nền tảng là những định nghĩa về số: Số 2 là cái đặc trưng cho tất cả các “cặp đôi” (pair) – tập hợp chứa 2 phần tử; số 3 là cái đặc trưng cho tất cả các “bộ ba” (triple) – tập hợp chứa 3 phần tử; v.v.

Ngay trong định nghĩa này, Frege đã rơi vào một cái vòng luẩn quẩn: ông muốn “giải thoát” số ra khỏi ý nghĩa số lượng, nhưng định nghĩa của ông vẫn dựa vào số lượng phần tử trong tập hợp – Frege muốn bay lên trời nhưng chân vẫn bị trói chặt trên mặt đất!

Bất chấp sai lầm “ngây thơ” đó, “vẻ đẹp bác học” của hệ thống ký hiệu và suy diễn logic hình thức của Frege vẫn làm cho thiên hạ bị choáng ngợp. Họ coi phương pháp của Frege như mẫu mực của toán học hiện đại. Ngay cả Bertrand Russell – người chỉ ra chỗ sai trong nền tảng lý thuyết của Frege[2] – vẫn tin rằng con đường Frege đang đi là đúng, do đó chỉ cần điều chỉnh một chút là sẽ tới “thiên đường toán học”!

Phải chờ mãi đến năm 1931, khi Kurt Godel công bố “Định lý bất toàn” (Theorem of Incompleteness) thì những người khôn ngoan nhất như John von Newman mới đau xót nhận ra rằng không bao giờ có cái “thiên đường” ấy. Nhưng dường như đa số vẫn muốn “tẩy chay” Định lý Godel, hoặc không hiểu hết ý nghĩa của định lý đó, do đó tư tưởng hình thức của Frege vẫn tiếp tục sống, mặc dù chính Frege đã từ bỏ nó. Bằng chứng là đã ra đời nhóm Bourbaki với những công trình vĩ đại nhằm “xét lại” (viết lại) toàn bộ toán học trên cái nền của lý thuyết tập hợp, tức là làm sống lại tư tưởng hình thức mà David Hilbert, Gottlob Frege, Bertrand Russell, … đã xới lên từ đầu thế kỷ 20.

Trớ trêu thay, Bourbaki ra đời ở Pháp – quê hương của Henri Poincaré, nhà toán học vĩ đại từng quyết liệt chống đối chủ nghĩa logic hình thức! Nếu Poincaré sống thêm vài chục năm nữa, chắc hẳn ông sẽ ủng hộ Định lý Godel để chống lại sự bành trướng của chủ nghĩa hình thức ở Pháp, không để cho THM cùng những thứ hư văn của nó “đổ bộ” vào trường phổ thông rồi gây nên những thảm hoạ giáo dục như ta đã thấy.

2* Thảm hoạ của THM:

Một “cựu nạn nhân” của THM là nhà vật lý nổi tiếng Phạm Xuân Yêm, giám đốc nghiên cứu tại CNRS (Trung tâm quốc gia về nghiên cứu khoa học của Pháp), giáo sư Đại học Pierre và Marie Curie tại Paris. Trong một thư gửi cho tôi, GS Yêm viết:

“Vụ Bourbaki ở Pháp những năm 1960 tôi là nạn nhân chứng kiến. Khi ấy, 1958, tôi học năm cuối cử nhân toán với Gustave Choquet, Claude Chevalley, Henri Cartan, toàn những đỉnh cao của Pháp. Nhưng các vị ấy mang vào lớp cử nhân này lần đầu như một thử nghiệm trường phái Bourbaki, cả giờ ông Choquet chỉ nói và không viết một dòng trên bảng! Chính vì thế mà tôi bỏ toán ra làm vật lý lý thuyết. Đã thế về sau họ còn mang théorie des ensembles (lý thuyết tập hợp) vào trung học làm khủng hoảng môn toán trung học một thời gian, may mà họ sửa chữa lại sau này”.

Theo tài liệu do GS Yêm cung cấp, từ 1967 đến 1972, dưới sự lãnh đạo của Uỷ ban cải cách giáo dục toán học, đứng đầu là Lichnerowicz, cái gọi là “toán hiện đại” đã được đưa vào trường phổ thông. Khẩu hiệu của THM là “Đả đảo Euclide!” (À bas Euclide!)[3], có nghĩa là vứt bỏ hết mọi cái cũ truyền thống để thay thế bằng “toán hiện đại”: dạy toán học hình thức dựa trên lý thuyết tiên đề (các cấu trúc đại số, các không gian vector, lý thuyết tập hợp…). Từ năm 1971 đến 1977, ngôn ngữ tập hợp và cấu trúc đại số được dạy ngay từ trung học và giới thiệu ngay từ tiểu học.

Kết quả là “việc nhấn mạnh đến các môn học khó hiểu như Lý thuyết tập hợp tỏ ra phản tác dụng … Chương trình quá chú trọng tới toán học ở trình độ cao này dẫn tới sự trả giá là mất kiến thức cơ bản”, đó là nhận định của Bách khoa toàn thư Americana[4].

Nhưng tại sao một cơ quan quan trọng như Uỷ ban Lichnerowicz, với rất nhiều giáo sư, tiến sĩ, lại dấn thân vào một cuộc “phiêu lưu” vô ích đến như vậy?

Câu trả lời thiết tưởng đã quá rõ:

Vào giữa thế kỷ 20, ảnh hưởng của chủ nghĩa hình thức vẫn còn quá lớn. Lúc ấy cái bóng của Bourbaki che lấp cái bóng của Godel. Nếu thấm nhuần Định lý Godel, có thể Uỷ ban Lichnerowicz sẽ không phiêu lưu, vì họ sẽ ý thức được rằng nhận thức có giới hạn. Nhưng vào thời điểm đó, số người biết Godel, hiểu Godel và đánh giá đúng tầm vóc của Định lý Godel dường như còn quá ít, chưa đủ tạo nên một lực hãm đủ mạnh đối với khát vọng vô chừng vô độ của chủ nghĩa hình thức.

Hơn thế nữa, Uỷ ban cải cách giáo dục phổ thông của Lichnerowicz lại chẳng hiểu gì về mục tiêu của giáo dục phổ thông.

3* Mục tiêu giáo dục phổ thông:

Giáo dục phổ thông, bản thân tên gọi của nó, đã cho thấy kiến thức ở trường phổ thông phải là kiến thức dành cho mọi người. Vậy câu hỏi đặt ra là cái gì cần thiết cho mọi người? Cái gì chỉ cần cho một số ít người?

Hơn ai hết, các nhà giáo dục cần phải trả lời rõ ràng và dứt khoát những câu hỏi đó trước khi đặt bút viết sách giáo khoa!

Câu chuyện sau đây có thể có ích trong việc tìm câu trả lời:

Một tạp chí điện ảnh ở Mỹ phỏng vấn Cameron Diaz, nữ diễn viên xinh đẹp trong cuốn phim nổi tiếng The Mask. Cuối buổi phỏng vấn, phóng viên đặt câu hỏi:

– Cô còn muốn nói gì với độc giả nữa không?

– Tôi muốn biết “thực ra công thức E = mc² có ý nghĩa gì?”, Diaz trả lời.

Thế là cả hai cùng phá lên cười. Cuộc phỏng vấn kết thúc[5].

Nghe chuyện này, có người cho rằng Einstein quá vĩ đại, vì một người như Diaz cũng phải bận tâm tới công thức của ông. Nhưng nếu để ý Diaz hỏi mà không cần nghe trả lời thì có thể nghĩ Diaz chỉ mượn công thức của Einstein để gợi ý với chúng ta một điều gì đó. Mỗi người có thể hiểu ý của cô theo cách riêng. Riêng tôi, tôi nghĩ cô muốn nói với giới “celebrities” (người nổi tiếng) rằng Cái Đẹp chân chính không cần phải trang điểm bằng những thứ loè loẹt phù phiếm (E = mc² là một thứ phù phiếm đối với giới nghệ sĩ điện ảnh).

Chủ nghĩa Frege mới – thói chuộng logic và tập hợp ở trường phổ thông – cũng chỉ là một thứ trang điểm loè loẹt mà thôi.

4* Thay lời kết:

Ngay từ đầu thế kỷ 20, Henri Poincaré đã tuyên chiến với Chủ nghĩa hình thức. Ông nói: “Nhà toán học thuần tuý dường như lãng quên sự tồn tại của thế giới bên ngoài, giống như một hoạ sĩ biết cách kết hợp hài hoà màu sắc và hình dạng nhưng lại bị tước đi vật mẫu – điều đã làm cho sức sáng tạo của anh ta bị khô héo đi một cách nhanh chóng”.

Albert Einstein cũng ghét loại toán học đó đến mức phải tuyên bố: “Tôi không tin vào toán học”.

Tại sao những người thông minh lại ghét thứ toán học ấy đến thế?

Đơn giản vì nó sáo rỗng, không đếm xỉa đến thực tiễn!

Tư tưởng toán học đề cao logic đến mức không đếm xỉa đến thực tiễn đã manh nha từ lâu. Đặc biệt, sự ra đời của Hình học phi-Euclid đã khuyến khích ý nghĩ cho rằng bằng con đường suy diễn logic thuần tuý, toán học có thể khám phá ra những chân lý tuyệt đối[6]. Tư tưởng này lên tới tột đỉnh vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 để từ đó hình thành nên một chủ nghĩa, một đường lối, một chương trình vĩ đại nghiên cứu toán học: đó là chủ nghĩa hình thức, mà linh hồn của nó nằm trong tuyên ngôn của Bertrand Russell: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết là người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”[7].

Chẳng hạn, 2 + 3 = 5 là đúng, không cần biết 2, 3, 5 đang nói về cái gì. Khi đó phép cộng không phải là “thêm vào”, mà là một “ánh xạ”… Đó chính là những gì nền giáo dục đang nhồi vào đầu trẻ em, xuất phát từ tư tưởng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”[8], như một giáo sư có ảnh hưởng lớn trong ngành giáo dục hiện nay từng tuyên bố.

Có nghĩa là với những nhà giáo dục này, có một thứ toán học “thiêng liêng” đứng trên và đứng ngoài xã hội, bởi vì xã hội không thể không biết những con số của mình đang nói về cái gì, về USD hay VND, về m hay inch, về nhiệt độ C hay nhiệt độ K, về newton hay coulomb, v.v.

Được biết, có lần một tên lửa vũ trụ của NASA đã nổ tung trên quỹ đạo chỉ vì một lỗi rất “tầm thường”: các chương trình điều khiển do các bộ phận khác nhau viết ra đã không sử dụng một hệ đơn vị đo lường thống nhất[9]!

Không biết các nhân viên của NASA có cho rằng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học” hay không? Nhưng chắc chắn quan điểm đó sẽ làm hỏng nền giáo dục toán học ở trường phổ thông!

Ngày 24/07/2011

Châu Khê