T iêu đề bài viết này được vay mượn từ cuốn sách nổi tiếng “What is Mathematics, Really?” của Reuben Hersh, do Đại học Oxford xuất bản năm 1997, từng đoạt Giải CHOICE dành cho sách hàn lâm xuất sắc nhất năm 1998, được Hội toán học Mỹ đánh giá là “một cuốn sách thú vị, quan trọng, nhiều hoài bão, làm cho một số người tức tối, nhưng được cộng đồng toán học chú ý và hưởng ứng. Cuốn sách có rất nhiều điều hay để bàn, và nó muốn làm sống lại cuộc tranh luận về triết học toán học”. Tại sao Hersh đặt câu hỏi “Thực ra toán học là gì?”. Vì ông nhận thấy tình trạng “thiếu hiểu biết về bản chất của toán học” (misconception of the nature of mathematics) trong hàng ngũ những người giảng dạy toán học, và do đó ông muốn “giúp các thầy giáo và các nhà giáo dục hiểu rõ toán học là gì” (helping mathematics teachers and educators understand what mathematics is).

Khởi nguồn của sự thiếu hiểu biết ấy là Chủ nghĩa hình thức, một chủ nghĩa đã làm méo mó nhận thức toán học và tác động vô cùng tiêu cực tới nhiều nền giáo dục trên thế giới. Năm 1931, chủ nghĩa này đã chính thức bị phá sản khi Kurt Godel công bố Định lý bất toàn (Theorem of Incompleteness), nhưng phải đợi mãi đến cuối thế kỷ 20, nhân loại mới thật sự bừng tỉnh để ngộ ra ý nghĩa của định lý này, và lúc đó mới thật sự nhìn thấy bản chất phản giáo dục của Chủ nghĩa hình thức. Tiếc thay, trong khi thế giới đã tỉnh ngộ thì tại Việt Nam vẫn có những nhà giáo dục tôn sùng chủ nghĩa này như một hình mẫu lý tưởng, gây ảnh hưởng rất bất lợi cho nền giáo dục của nước ta.

Thật vậy, cách đây vài năm, một nhà giáo dục (xin viết tắt: NGD) từng viết sách giáo khoa của chúng ta đã tuyên bố trên báo chí:

“Xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học” (!)

1* “Điểm mạnh của toán học”?

Tuyên bố của NGD nói trên nghe như một bản sao chép + diễn giải tư tưởng của các lãnh tụ trường phái hình thức cách đây 100 năm.

Điển hình là tư tưởng của “ông thánh hình thức” David Hilbert:

“Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia”(1).

Hoặc tư tưởng của “kiện tướng logic” Bertrand Russell:

“Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”(2).

Những phát ngôn nói trên đều ngụ ý rằng toán học “chân chính” không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học, mà chỉ quan tâm tới quan hệ logic giữa các đối tượng ấy – Chừng nào toán học còn bám vào ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học thì chừng ấy toán học còn kém và thậm chí chưa phải là toán học (!).

Thí dụ viết 2 USD + 3 USD = 5 USD là kém toán học (!), bởi vì toán học “chân chính” không quan tâm tới bản chất vật chất của các số 2, 3, 5.

Toán học “chân chính” chỉ quan tâm tới “ánh xạ”: 2 + 3 = 5

Kiểu toán học “xa rời thực tế” như thế thực ra chẳng có gì mới, bởi đó là “sáng tạo” của Gottlob Frege, vì Frege là người đầu tiên đưa ra định nghĩa “tinh khiết” của số:

“2 là tập hợp các cặp đôi, 3 là tập hợp các bộ ba, …”.

Có nghĩa là với Frege, 2 không “tầm thường” chỉ là “2 con gà, 2 con vịt” mà là một cái gì đó “cao siêu trừu tượng” hơn nhiều. Toán học “chân chính” không quan tâm tới “2 con gà, 2 con vịt” mà quan tâm tới số 2 “tinh khiết” và “xa rời thực tế”. Khi ấy, phép toán 2 + 3 = 5 cũng không phải là “phép thêm/bớt” như cách nghĩ “tầm thường” của nhân loại trong hàng ngàn năm trước, mà phải quan niệm đó là một “phép ánh xạ”, v.v. và v.v.

Tuy nhiên, nếu độc giả đã đọc bài “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức” trên Khoa Học & Tổ Quốc tháng 03-2009 thì hẳn còn nhớ rằng vào lúc “vận đỏ”, Frege được ca tụng như “ngọn đèn pha của chủ nghĩa hình thức”, nhưng khi gặp “vận đen”, toàn bộ công trình số học hình thức của ông đã bị sụp đổ tan tành chính vì cái định nghĩa “tinh khiết” về số của ông!

Nhưng mặc dù số phận kết thúc bi thảm, Frege đã nêu một tấm gương sáng chói về đức tính trung thực và dũng cảm: Ông đã cất lời sám hối, phủ nhận toàn bộ tư tưởng hình thức mà ông đã dâng hiến cả cuộc đời, gián tiếp thừa nhận những định nghĩa số học “tinh khiết” và hình thức chẳng qua chỉ là một trò chơi hão huyền của mấy nhà toán học ngộ chữ!

Sáu năm sau khi Frege mất, Định Lý Bất Toàn của Godel cho thấy sự sám hối của Frege là hoàn toàn đúng, đồng thời chỉ ra rằng Chủ nghĩa hình thức chỉ là một giấc mơ hão huyền, không tưởng. Vậy mà 70 năm sau, NGD của chúng ta lại mơ cái giấc mơ hão huyền không tưởng đó: “Xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”.

Chưa hết. NGD này giảng giải tường tận:

“Thầy giáo cho học sinh chỉ vào các tranh vẽ và nói: Đây là hai con vịt, đây là hai viên bi, đây là hai em bé … Thầy giáo còn có thể chỉ vào các đồ vật trong phòng để học sinh nói tiếp: Đây là hai viên phấn, kia là hai cánh cửa. Sau đó thầy cho học sinh biết rằng: Hai là con số hai, được viết là 2 … Cách dạy như trên là hoàn toàn đúng, mặc dầu học sinh học xong vẫn không trả lời được câu hỏi: Số 2 là gì?”.

Số 2 là cái gì mà “bí hiểm” đến như vậy?

Rõ ràng là NGD này muốn “gợi mở” cho chúng ta thấy ý nghĩa gì đó rất “thâm sâu” của số 2, bởi các em nhỏ dù đã biết đếm “2 con gà, 2 con vịt” nhưng cuối cùng vẫn chẳng hiểu số 2 là gì (!). Tôi e rằng nếu đem câu hỏi “Số 2 là gì?” mà hỏi khắp bàn dân thiên hạ, thì chắc chắn có tới 99,99% dân số sẽ trố mắt ngạc nhiên vì không hiểu tại sao họ được hỏi câu hỏi đó.

Rốt cuộc “Số 2 bí hiểm” này là cái gì vậy?

Phải chăng đó là số 2 của Frege? Hay số 2 nào khác còn “bí hiểm” hơn cả số 2 của Frege? Tôi không tin NGD của chúng ta có sáng tạo gì mới. Có lẽ ông cũng chỉ nhắc lại những tư tưởng đã quá cũ của các bậc tiền bối mà ông tôn thờ đấy thôi. Phải chăng vì quá đam mê với những ý nghĩa “thâm sâu” của số 2 nên NGD đó không đếm xỉa tới “lời sám hối” của Frege? Hoặc do thiếu thông tin, ông không biết tới “lời sám hối” này?

Nhưng dù số 2 của NGD này “bí hiểm” đến thế nào đi chăng nữa, tôi có thể quả quyết rằng ý đồ áp đặt tư tưởng số học siêu hình lên đầu trẻ em là một việc hết sức phản giáo dục và phản sư phạm! Điều này đã được chứng minh hùng hồn trong thực tiễn giáo dục ở Pháp, như độc giả sẽ thấy rõ ở mục sau. Bây giờ xin tiếp tục chú ý tới quan điểm của NGD của chúng ta.

Ông nói: “… có những khái niệm toán học không thể tìm thấy cái thực tế nào để minh hoạ. Cũng như không có một điểm tựa trực giác nào cả”. Rồi ông đưa ra thí dụ như căn bậc hai của 2 ( ), với kết luận hùng hồn: “Vậy là số vô tỷ căn bậc hai của 2 không tồn tại trong thực tế”.

Khoan hãy nói về trực giác, xin nói ngay rằng đây là một nhận thức HOÀN TOÀN SAI về bản chất của số vô tỷ, tức là SAI VỀ TOÁN HỌC.

2* Số vô tỷ có tồn tại trong thực tế hay không?

Số vô tỷ ra đời chính từ hình học. Nói cụ thể hơn, căn bậc hai của 2 ra đời từ chính Định Lý Pythagoras: Căn bậc hai của 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1. Nếu người ta không thể đo độ dài đường chéo này một cách tuyệt đối chính xác, ấy là vì đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là hai đoạn thẳng vô ước. Nếu độ dài cạnh hình vuông là một số hữu tỷ thì độ dài đường chéo sẽ là một số vô tỷ; Đảo lại, nếu độ dài đường chéo hình vuông là một số hữu tỷ thì độ dài cạnh của nó sẽ là một số vô tỷ! Điều đó có nghĩa là: Số hữu tỷ và số vô tỷ tuy vô ước với nhau nhưng chúng cùng tồn tại một cách bình đẳng với nhau trong Tập số thực (R), tức là tồn tại bình đẳng với nhau trong thực tế. Số hữu tỷ tồn tại trong thực tế thế nào thì số vô tỷ cũng tồn tại trong thực tế thế ấy. Chính vì thế mà tập hợp số hữu tỷ và tập hợp số vô tỷ hợp lại thành tập hợp số thực.

Vào thời của Pythagoras, tức là cách đây hơn 2500 năm, người ta chưa hiểu khái niệm hai độ dài vô ước, vì thế mới dẫn tới nỗi “hoảng sợ” khi gặp số vô tỷ. Nhưng vào thế kỷ 21 mà đem chuyện này ra để làm học sinh “hoảng sợ” vì “số vô tỷ không tồn tại trong thực tế” thì quả thật là một nhầm lẫn tệ hại về sư phạm và nhận thức toán học.

Tương tự như khi tính chu vi hình tròn: Nếu độ dài bán kính hình tròn là một số hữu tỷ thì chu vi của nó sẽ là một số vô tỷ; Đảo lại, nếu chu vi hình tròn là một số hữu tỷ thì độ dài bán kính của nó sẽ là một số vô tỷ. Vậy nếu ai đó nói “chu vi hình tròn là một số không tồn tại trên thực tế” thì mọi người sẽ nghĩ sao? Việc tính chu vi hình tròn đã diễn ra trong hàng ngàn năm nay, vậy hoá ra loài người lao vào tính toán một cái gì đó không tồn tại trong thực tế hay sao? Rõ ràng phát biểu của NGD nói trên là vội vã hồ đồ. Dường như ông muốn áp đặt tư duy của thời Pythagoras lên thế kỷ 21 (!).

Phải chăng NGD của chúng ta không biết rõ lịch sử số 0 (số không, số zero)? Bởi nếu biết, rất có thể ông sẽ nói “số 0 không tồn tại trong thực tế”, để thuyết phục mọi người rằng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”.

Thật vậy, thưa độc giả, Bà Mẹ Toán Học đẻ ra số vô tỷ từ thời Pythagoras, tức là từ hơn 2500 năm trước đây, nhưng phải đợi mãi tới khoảng thế kỷ thứ 6 sau CN thì số 0 mới ra đời (tức là muộn hơn số vô tỷ tới hơn 1000 năm). Tại sao vậy? Vì số 0 trừu tượng gấp bội số vô tỷ!

Quả thật số 0 rất trừu tượng: Số ra đời từ việc đếm các đối tượng vật chất cụ thể, vậy nếu không có gì để đếm thì làm sao người ta có thể nghĩ ra một con số tượng trưng cho cái không hiện hữu?

Ngày nay chúng ta đã quá quen thuộc với số 0, cảm nhận được sự hiện diện của nó trên trục số rõ ràng đến nỗi chúng ta không để ý tới lịch sử ra đời của số 0. Nhưng xin thưa độc giả, sự ra đời của số 0 được coi là một trong những khám phá vĩ đại nhất của toán học. Để cảm nhận được cái vĩ đại này, có hai cách: 1-Hãy chú ý tới hệ đếm của những dân tộc có nền văn minh cổ đại rực rỡ bậc nhất như Trung Hoa, Hy Lạp, La Mã. Hệ đếm của họ không có số 0. Chẳng hạn, người Trung Hoa chỉ có các số nhất, nhị, tam, tứ, ngũ, lục, thất, bát, cửu, thập; 2-Hãy tưởng tượng cuộc sống của chúng ta hôm nay không có số 0. Hệ đếm đơn giản nhất hiện nay là hệ đếm của máy tính, chỉ có 2 chữ số, đó là 1 và 0. Vậy nếu không có số 0 thì sao đây?

Nhưng tại sao người Ấn Độ lại tìm ra số 0?

“SUNYA là một từ cổ Ấn Độ, có nghĩa là zero, tức số 0. Trong dãy số thập phân, 0 và 1 đứng cạnh nhau, nhưng từ 1 đến 0 lại là cả một hành trình vĩ đại của tư duy. Thật vậy, sau số 1 phải đợi một thời gian dài đằng đẵng, hơn 10 thiên niên kỷ, số 0 mới có thể ra đời tại Ấn Độ. Cơn đau đẻ vật vã này là kết quả của sự hôn phối giữa Bà Mẹ Toán Học với Ông Bố Triết Học – những tư tưởng thâm thuý sâu xa trừu tượng và cao siêu của Cái Không (The Nothingness) mà trong quá khứ dường như chỉ xứ Ấn Độ mới có. Cái Không ấy đã được Denis Guedj, giáo sư lịch sử khoa học tại Đại Học Paris, diễn đạt trong cuốn “Số, Ngôn ngữ phổ quát” (Numbers, the Universal Language) bằng ngôn ngữ hiện đại như sau: Số 0 là cái chẳng có gì mà lại làm nên mọi thứ”(3).

Tóm lại, nguồn gốc ra đời của số 0 còn phức tạp và khó hiểu gấp bội số vô tỷ. Nhưng có nên huyễn hoặc cái bản chất trừu tượng của số 0 với trẻ em không? Có nên dạy cho trẻ em học số 0 theo triết học của người Ấn Độ cách đây khoảng 1500 năm hay không? Và có ai dám nói số 0 không tồn tại trong thực tế không?

Chưa hết, để thuyết phục mọi người rằng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”, NGD của chúng ta đã không ngần ngại nói rõ:

“Tôi cho rằng nói 2 + 3 = 5 hoặc 1/3 + 1/6 = 1/2 chưa hẳn đã khô khan và nghèo nàn hơn là nói 2 quả nho khô + 3 quả nho khô = 5 quả nho khô hoặc 1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp”.

Toàn bộ ý tưởng ở đây là: Khi trình bầy phép tính, không nên viết đơn vị đo bên cạnh con số, vì trình bầy như thế là kém toán học (!)

Không cần bình luận nhiều, mọi người có thể thấy ý kiến nói trên mang đậm dấu ấn của Chủ nghĩa Frege. Chính vì chủ nghĩa hình thức không đếm xỉa đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học nên NGD của chúng ta mới dám “sáng tạo” nên cái thí dụ kỳ quái rằng:

1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp

Chắc chắn những ai có tư tưởng thực tiễn sẽ không bao giờ viết ra một đẳng thức “xa rời thực tế” như vậy. Chỉ có những người mắc bệnh hoang tưởng hình thức mới dám viết như thế. Tiếc thay, “gậy ông lại đập lưng ông” – chính thí dụ đó lại là bằng chứng phản lại tác giả của nó. Nó tố cáo tác giả là một môn đệ trung thành, tự nguyện, nhưng quá muộn mằn của trào lưu “Toán Học Mới” ở Tây phương những năm 1960.

3* “Toán Học Mới” những năm 1960:

Qua bài “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức” (đã dẫn), độc giả đã biết rõ nỗi khao khát cháy bỏng của Chủ nghĩa hình thức, biểu lộ qua phát biểu của Bertrand Russell: “Tôi khao khát tìm kiếm cái chắc chắn (certainty) giống như người ta khao khát đức tin tôn giáo. Tôi nghĩ tính chắc chắn dường như có trong toán học nhiều hơn ở bất kỳ nơi nào khác”. Nỗi khao khát ấy mãnh liệt đến nỗi nó bất chấp Định Lý Bất Toàn của Godel, để đến giữa những năm 1960 lại hồi sinh trong những công trình đồ sộ của nhóm Nicolas Bourbaki. Nếu sự hồi sinh này đóng khung trong phạm vi nghiên cứu toán học thuần tuý thì có lẽ đó chỉ là chuyện riêng tư của các nhà toán học. Nhưng tiếc thay, nó đã tràn vào lĩnh vực giáo dục dưới ngọn cờ “Toán Học Mới” (New Mathematics), trong đó Logic và Tập hợp được đẩy lên vị trí “thái thượng hoàng” của toán học, nền móng của toán học, và số học được trình bầy theo kiểu hình thức “xa rời thực tế” của Frege.

Những ai thật lòng muốn tìm hiểu sự thật về cái gọi là “Toán Học Mới”, xin vui lòng đọc bài “Pour des Maths sans échec” (Vì một môn Toán không làm hỏng học trò) của Stella Baruk trên L’Express(4) ngày 10-11-1992. Ở đây chỉ xin thông báo vắn tắt rằng “Toán Học Mới” đã làm hỏng học trò, làm rối loạn môn toán ở trường phổ thông.

Trước tình trạng rối loạn đó, Bộ Giáo Dục Pháp buộc phải mở một cuộc điều tra. Kết quả thật thảm hại, điển hình là câu chuyện “L’âge du capitaine” (Tuổi của vị thuyền trưởng) mà Stella Baruk đã lấy làm chủ đề cho một cuốn sách của bà.

Baruk cho biết: “Theo sáng kiến của Viện nghiên cứu giảng dạy toán học (Institut de Recherche sur l’Enseignement Mathématique) ở Grenoble, bài toán sau đây đã được đặt ra với 97 học sinh lớp 1 và lớp 2: “Trên một con thuyền, có 26 con cừu và 10 con dê. Hỏi tuổi của vị thuyền trưởng là bao nhiêu?”. Trong 97 học sinh, có 76 em đã sử dụng luôn những con số đã cho trong đầu bài để trả lời: 26 tuổi hoặc 10 tuổi! Thực tế là học trò đã trả lời các bài toán bằng cách cộng số tiền francs với số lít hoặc cộng số người với số quả táo. Sau một vài tháng ở nhà trường, các em đã từ bỏ ý nghĩa thực tế của các con số và cho rằng không cần hiểu ý nghĩa của chúng”(5).

Trên L’Express, Baruk còn cho biết có em trả lời tuổi của vị thuyền trưởng là 36, bằng cách áp dụng hồn nhiên những gì đã được dạy – thực hiện phép tính mà không đếm xỉa tới ý nghĩa thực tế: 26 + 10 = 36 (!).

Không cần phải nói, ai cũng thấy chỉ có chủ nghĩa hình thức mới có thể dẫn tới những đẳng thức cười ra nước mắt như sau:

26 con cừu + 10 con dê = 36 tuổi

1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp

Vậy nếu NGD của chúng ta có gì khác với “Toán Học Mới”, thì chỉ khác ở hai điểm sau đây:

• Khác nhau về thời điểm: “Toán Học Mới” xuất hiện vào giữa những năm 1960 (để rồi chết vào những năm 1970-1980), nhưng tư tưởng xa rời thực tế của nó đã được NGD của chúng ta nhắc lại vào đầu thế kỷ 21.

• Khác nhau về mức độ tỉnh thức: Hiện nay không còn ai theo đuổi đường lối toán học của Bourbaki nữa. “Toán Học Mới” đã cáo chung – chính thức bị phê phán như một thảm hoạ giáo dục của thế kỷ 20. Phương pháp dạy toán ở Tây phương đã thay đổi. Chủ nghĩa hình thức bị phê phán. Cả nghiên cứu lẫn giảng dạy toán học đều chuyển hướng vào những đề tài cụ thể và thiết thực. Trong khi đó, NGD của chúng ta không hề thay đổi quan điểm. Ngược lại, dường như tư tưởng của ông còn có ảnh hưởng lan rộng trong ngành giáo dục. Đó chính là nguồn gốc sâu xa của tình trạng dạy giả + học giả ở nước ta hiện nay.

Bây giờ xin quay lại khái niệm trực giác: “… có những khái niệm toán học không thể tìm thấy cái thực tế nào để minh hoạ. Cũng như không có một điểm tựa trực giác nào cả”, NGD của chúng ta đã nói như thế.

4* Vai trò của trực giác:

Phát biểu nói trên để lộ ra rằng NGD của chúng ta hiểu khái niệm trực giác quá thô sơ, đơn giản, lẫn lộn khái niệm trực giác với khái niệm hiện thực thô sơ – hiện thực nhìn thấy, nghe thấy, ngửi thấy, nếm thấy, sờ thấy.

Thực ra trực giác không đơn giản chỉ là khả năng cảm nhận hiện thực thông qua ngũ quan và thậm chí trực giác cũng không phải là ý thức (mental consciousness, tiếng Phạn là mano vijnana). Trực giác càng không phải là những phân tích logic suy diễn theo kiểu “tam đoạn luận” của Aristotle. Trực giác là một cái gì đó len lỏi trong tất cả những khả năng nhận thức nói trên, tồn tại song song với chúng, liên quan chặt chẽ với chúng và trở thành trợ thủ đắc lực của chúng.

Tuy nhiên, trực giác vẫn là một trong những bí mật lớn nhất của khoa học thần kinh nói riêng và khoa học nhận thức nói chung. Chưa có một công trình khoa học nào chứng minh được bản chất vật chất của trực giác là gì, sơ đồ hoạt động của trực giác ra sao.

Nhưng kỳ lạ thay và thú vị thay: Chính trực giác báo cho chúng ta biết sự tồn tại của nó! Nhân loại thừa nhận sự tồn tại của trực giác. Tất cả các nhà khoa học giỏi nhất đều nhấn mạnh trực giác đã hướng dẫn họ khám phá ra sự thật chứ không phải logic suy diễn.

Henri Poincaré nói: “Logic giúp ta chứng minh, trực giác giúp ta phát minh” (C’est par la logique qu’on démontre, c’est par l’intuition qu’on invente).

Albert Einstein cũng nói: “Nhiệm vụ tối cao của nhà vật lý là khám phá ra những định luật cơ bản phổ quát … Không có con đường logic để đi tới những định luật đó; chỉ có trực giác dựa trên nhận thức giao cảm (sympathetic understanding) mới dẫn tới chúng”(6).

Trong cuốn “An incomplete Education” (Một nền giáo dục không đầy đủ), Judy Johns và William Wilson diễn tả trực giác như là khả năng khám phá ra những “sự thật bất chợt” (unexpected truths), và đó chính là điểm hơn hẳn của con người so với computer. Computer dù thông minh tài giỏi đến mấy, xét cho cùng cũng vẫn chỉ là những tên nô lệ dốt nát, bởi vì computer vĩnh viễn sẽ không bao giờ có thể có trực giác(7). Trực giác là một đặc ân mà Tự Nhiên đã ban cho con người.

Trong cuốn “What is Mathematics, Really”, trang 63, Reuben Hersh phân tích một cách sâu sắc vai trò của trực giác trong khám phá toán học:

“Chẳng hạn, hãy xét Giả thuyết Continuum (Giả thuyết do Georg Cantor nêu lên năm 1877, nói rằng không tồn tại một tập hợp nào có lực lượng nằm giữa tập số nguyên và tập số thực, PVH). Godel và Cohen đã chứng minh rằng dựa trên các tiên đề về tập hợp trong toán học đương đại, giả thuyết này không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ. Những người theo chủ nghĩa Platonism (chủ nghĩa đòi hỏi mọi khái niệm phải có đối chứng hiện thực, PVH) cho rằng đây là một dấu hiệu của sự ngu dốt. Continuum (tức real line, trục số thực, PVH) là một sự vật xác định rõ ràng, độc lập với ý nghĩ của con người. Nó có thể chứa và cũng có thể không chứa một tập con vô hạn không tương đương với tập số nguyên cũng chẳng tương đương với tập số thực (tức là có thể có và cũng có thể không có một tập hợp nào mà lực lượng của nó nằm giữa tập số nguyên và tập số thực, PVH). Trực giác của chúng ta phải được huy động để trả lời cho chúng ta biết sự thật trong trường hợp này. Những người theo chủ nghĩa Platonism cần trực giác để nối kết nhận thức của con người với hiện thực toán học. Nhưng cái trực giác của anh ta lại lờ mờ. Anh ta không mô tả được nó, chỉ mình anh ta hiểu nó mà thôi. Làm thế nào để có được cái trực giác ấy? Cái trực giác ấy nó thay đổi từ người này sang người khác, từ một thiên tài toán học này sang một thiên tài toán học khác. Nó cần phải được phát triển và chắt lọc. Nhờ ai và dựa trên tiêu chuẩn nào mà người ta phát triển cái trực giác đó? Phải chăng cái trực giác ấy trực tiếp nhận thức được cái hiện thực trừu tượng, giống như mắt chúng ta nhận thức được cái hiện thực có thể nhìn thấy? Vậy trực giác là một thực thể trừu tượng thứ hai, một kiểu nhận thức mang tính chủ quan, bổ sung cho cái hiện thực toán học theo chủ nghĩa Platonism”.

Đọc lời của Hersh, tôi liên hệ tới NGD của chúng ta: Nếu bản thân ông không có trực giác về căn bậc hai của 2 thì quả thật không ai có thể giảng cho ông hiểu cái trực giác ấy nó như thế nào. Điều này cũng khó như bắt một người không có trực giác âm nhạc phải cảm nhận được vẻ đẹp siêu thoát trong giai điệu buồn mênh mang của Giao hưởng Pastoral của Beethoven, hoặc bắt một người không có trực giác hội hoạ phải cảm thụ được vẻ đẹp trong tranh của Picasso. Có lẽ hiểu rõ điều đó rõ hơn ai hết nên Picasso đã nói: “Nghệ thuật là một lời nói dối giúp ta hiểu được sự thật” (Art is a lie which makes us realise the truth). Quả thật, nếu không có trực giác về Cái Đẹp, bạn khó có thể cảm thụ được cái đẹp âm nhạc, cái đẹp hội hoạ và cả cái đẹp của toán học nữa! Toán học không thể đẹp nếu nó chỉ là một đống ký hiệu chết – đống ký hiệu không làm rung động tâm trí học trò. Đó là lý do vì sao bà Stella Baruk tha thiết kêu gọi: “Dạy toán phải bắt đầu từ việc giải thích ý nghĩa của các từ ngữ, nghĩa là dạy toán giống như dạy một thứ ngôn ngữ sống”.

Bản chất toán học vốn rất đẹp, chỉ có những người không hiểu bản chất của nó mới làm cho toán học trở nên rắc rối, khó hiểu, tức là làm cho toán học trở nên xấu xí, đúng như Stella Baruk đã nói:

“Không có toán học rắc rối, chỉ có những đứa trẻ bị làm cho rối óc mà thôi”.

Vậy phải chăng chuyện phóng đại “căn bậc hai của 2 không tồn tại trong thực tế” xuất phát từ chỗ NGD của chúng ta thuộc lòng câu chuyện Pythagoras khám phá ra số vô tỷ nhưng “sợ” không dám công bố? Tôi nghĩ việc Pythagoras “sợ” không công bố số vô tỷ có lẽ giống như việc Karl Gauss khám phá ra Hình Học Phi-Euclid nhưng cũng “sợ” không dám công bố. Bản chất sự “sợ hãi” trong hai trường hợp này mang tính tâm lý và xã hội nhiều hơn là khoa học: Họ sợ nói ra điều làm người khác không hiểu, thay vì họ không tìm thấy một điểm tựa trực giác nào cho khám phá của họ. Chắc chắn những nhà toán học vĩ đại như Pythagoras hay Karl Gauss đều có trực giác vĩ đại, từ trực giác số vô tỷ cho tới trực giác về Hình học Phi-Euclid!

Khi Bernhard Riemann tìm ra Hình học về các đa tạp (manifolds) của ông, tức Hình Học Riemann, có người hỏi vặn: “Liệu cái hình học kỳ quặc của ông có tìm được một mô hình thực tế nào phù hợp với nó không?”. Riemann trả lời quả quyết: “Vật lý hiện nay chưa đủ sức để tìm ra mô hình vật chất tương xứng với nó, nhưng tôi tin trong tương lai người ta sẽ tìm ra”. Quả thật, khoảng 70 năm sau, Albert Einstein đã chứng minh tiên đoán của Riemann là hiện thực: Hình học Riemann chính là cái khung toán học để Einstein xây dựng Thuyết tương đối tổng quát.

Vậy có nên nghĩ rằng Riemann xây dựng cái hình học của ông dựa trên logic thuần tuý mà không có một trực giác dẫn đường nào không? Có nên nghĩ rằng Pythagoras khám phá ra số vô tỷ bằng con đường thuần tuý logic mà không có trực giác dẫn đường không?

4* Kết:

Tôi không rõ cái kiểu toán học “xa rời thực tế” của Chủ nghĩa hình thức sẽ cần thiết cho những ai, nhưng tôi biết chắc chắn nó hết sức vô dụng đối với các nhà vật lý, hoá học, sinh học, kinh tế, tài chính, nhà quản lý, nhà xã hội học, văn nghệ sĩ, công nhân, nông dân, v.v. tức là vô dụng đối với 99,99% học sinh và 99,99% nhân loại.

Giả sử có một học sinh phổ thông thấm nhuần tư tưởng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học” đến nỗi sau này, khi đã trở thành một nhà kinh tế tài chính, anh ta (chị ta) bèn áp dụng điều đã được học vào các bảng biểu tài chính với những số tiền khổng lồ mà không thèm ghi rõ đơn vị đo là USD hay VNĐ, thậm chí đem cộng hoặc trừ những tài khoản USD với VNĐ, thì không biết số phận nhà kinh tế tài chính ấy sẽ ra sao?

Và sau đây là một sự thật: Tại trung tâm NASA, khi điều tra lý do  những lần con tầu vũ trụ bị nổ, có lần người ta đã phát hiện ra một lỗi không thể nào tin nổi – trong số các chương trình tham gia vận hành con tầu, có chương trình dùng đơn vị đo độ dài là “mét” (mètre), có chương trình dùng đơn vị là “inch”. Khi phối hợp các chương trình với nhau, con tầu “không hiểu”, và do đó đã nổ tung giữa trời, bên trong có phi công vũ trụ(8).

Vậy xin kết luận:

1-Chủ nghĩa hình thức ra đời từ đầu thế kỷ 20 là một sai lầm nghiêm trọng trong nhận thức về bản chất của toán học.

2-Sai lầm ấy đã được Định Lý Bất Toàn của Kurt Godel chứng minh một cách rõ ràng và không thể chối cãi. Mọi ý đồ chống lại Định Lý Godel chỉ nói lên “sự thiếu hiểu biết về bản chất của toán học”, như Reuben Hersh đã nói.

3-Sự hồi sinh của Chủ nghĩa hình thức vào giữa những năm 1960 dưới ngọn cờ của “Toán Học Mới” nói lên rằng Chủ nghĩa hình thức mang bản chất bảo thủ và tự phụ, coi thường kiến thức của tổ tiên trong hàng ngàn năm trước.

4-Tính bảo thủ ấy xuất phát từ sự cám dỗ của khát vọng tìm thấy chân lý tuyệt đối – khát vọng tìm thấy “Thiên đường toán học”, tức “Con Voi” mà “sáu anh mù ở xứ Indostan” muốn khám phá. Triết học hiện đại gọi “Con Voi” đó là “Chiếc chén thánh của Chủ nghĩa hình thức” (The Holy Grail of Formalism).

5-Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 20, nhân loại đã ngộ ra ý nghĩa vĩ đại của Định Lý Bất Toàn và thấy rõ bản chất phản khoa học + phản giáo dục của Chủ nghĩa hình thức. Toán học và giáo dục toán học trên thế giới đã và đang quay về chủ nghĩa hiện thực: Cả nghiên cứu lần giảng dạy đều hướng vào những chủ đề thiết thực. Không ai theo đuổi đường lối toán học của Bourbaki nữa.

6-Đáng tiếc là vẫn có những nhà giáo dục không theo kịp thời đại, không nhìn thấy thế giới đã thay đổi, nên tiếp tục khư khư ôm giữ những quan điểm lỗi thời, gây tác hại không sao kể xiết đối với nền giáo dục, dẫn tới thảm hoạ “dạy giả + học giả” như hiện nay.

Henri Poincaré, nhà toán học và triết học thiên tài, từng nói:

• “Tư tưởng chỉ là một ánh chớp giữa hai đêm dài, nhưng ánh chớp ấy là tất cả”. Ánh chớp ở đây là gì, nếu không phải là trực giác?

• “Logic dạy cho chúng ta biết trên con đường nào chúng ta không gặp trở ngại; Nhưng logic không nói cho chúng ta biết cái gì hướng dẫn chúng ta tới đích. Để tới đích, ta phải thấy đích từ xa. Khả năng giúp ta thấy đích từ xa chính là trực giác. Không có trực giác, nhà hình học sẽ giống như một nhà văn bị đóng đinh vào ngữ pháp nhưng rỗng tuếch về tư tưởng”. Vậy bạn có tin rằng bạn có thể hiểu thấu đáo một khái niệm toán học nào nếu bạn không có trực giác về nó hay không?

• “Mục tiêu chủ yếu của giáo dục toán học là phát triển một số năng lực tinh thần, trong đó trực giác là cái không kém phần quý giá”. Vậy dạy toán phải đặc biệt chú ý đến việc kích thích trực giác chứ không phải ra sức ép buộc học sinh bắt chước sử dụng các ký hiệu logic một cách máy móc.

Sydney 01 tháng 10 năm 2009

PVHg

Chú thích:

(1) Xem “Frege and Hilbert on the Foundations of Geometry”, Susan G. Sterrett. Địa chỉ trên mạng: http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00000723/

(2)  Xem “Pour la SCIENCE, Les Génies de la Science, Henri Poincaré, Phylosophe et Mathématicien”, T.21

(3)  Xem “Từ Sunya đến bộ quần áo mới của hoàng đế”, Phạm Việt Hưng, Văn Nghệ số 27 ngày 06-07-2002

(4) L’Express là một tạp chí nghiêm túc và rất nổi tiếng của Pháp.

(5) Xem bài “En pratique” trên trang mạng http://www.vousnousils.fr

(6) Xem Pythagoras Trousers, Margaret Wertheim, Four Estate, London, 1997, Trang 187

(7) Xem “Dao sắc không gọt được chuôi”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng Trẻ số 1 ngày 25-05-2002

(8) Chuyện này do một Giáo sư lập trình người Mỹ kể cho các chuyên gia lập trình của Úc trong một khoá huấn luyện đặc biệt tại Sydney, Australia. Chuyên gia lập trình Phạm Kiều My kể lại chuyện này cho tác giả bài viết này.