Dạy Toán – Suy nghĩ từ kinh nghiệm của các nước

Trong “thời buổi kỹ trị” ngày nay, khoa học nói chung và toán học nói riêng nhiều lúc đã được tôn sùng như “thái thượng hoàng” trong vương quốc các hoạt động trí tuệ của loài người. Vì thế, không có gì để ngạc nhiên khi thấy vấn đề giáo dục toán học bỗng nhiên trở thành một trong các đề tài được bàn cãi sôi nổi nhất trên khắp toàn cầu

Đôi lời giới thiệu bài báo “Dạy toán, suy nghĩ từ kinh nghiệm của các nước”

Bài báo này xuất hiện lần đầu tiên trong mục Diễn đàn các nhà khoa học trên tuần báo Văn Nghệ số 14 ra ngày 06 tháng 04 năm 2002, dưới tiêu đề “Trông người mà nghĩ đến ta (Sai lầm của nền giáo dục toàn cầu trong thế kỷ 20)”. Ngay sau đó VnExpress đã đăng lại với đầu đề được thay đổi là “Dạy Toán – Suy nghĩ từ kinh nghiệm của các nước” (ghi nguồn là Văn Nghệ và Nhân Dân). Từ đó đến nay những trang mạng sau đây đã đăng lại:

● VnExpress đăng ngày 5/4/2002 17:14 GMT+7 với lời giới thiệu sau đây:
Tác giả Phạm Việt Hưng điểm lại sự thất bại của chương trình giảng dạy “toán học mới” trong trường phổ thông của nhiều nước. Theo ông, việc áp dụng tràn lan phương pháp toán học hình thức vào giáo dục là một việc làm phản sư phạm, dẫn đến hậu quả thụt lùi trong việc dạy và học môn toán.
http://vnexpress.net/tin-tuc/giao-duc/day-toan-suy-nghi-tu-kinh-nghiem-cua-cac-nuoc-2047155.html

● Diễn đàn toán học
http://diendantoanhoc.net/topic/141838-d%E1%BA%A1y-to%C3%A1n-%E2%80%93-suy-ngh%C4%A9-t%E1%BB%AB-kinh-nghi%E1%BB%87m-c%E1%BB%A7a-c%C3%A1c-n%C6%B0%E1%BB%9Bc/

● Vietsciences
http://vietsciences.free.fr/vongtaylon/giaoduc/daytoan.htm

● ZetaMu
http://zung.zetamu.net/2009/05/d%E1%BA%A1y-toan-suy-nghi-t%E1%BB%AB-kinh-nghi%E1%BB%87m-c%E1%BB%A7a-cac-n%C6%B0%E1%BB%9Bc/

● Ngoài ra bài báo trên cũng được trích dẫn trong bài viết “Lịch sử Toán học” trên Wikipedia:
https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc

Ngày 13/06/2008 bài báo này được đưa lên mạng PVHg’s Home và trở thành bài đầu tiên của trang mạng này. Sau đây là toàn văn bài báo.

 

Trong “thời buổi kỹ trị” ngày nay, khoa học nói chung và toán học nói riêng nhiều lúc đã được tôn sùng như “thái thượng hoàng” trong vương quốc các hoạt động trí tuệ của loài người. Vì thế, không có gì để ngạc nhiên khi thấy vấn đề giáo dục toán học bỗng nhiên trở thành một trong các đề tài được bàn cãi sôi nổi nhất trên khắp toàn cầu. Những năm gần đây, cuộc bàn cãi đó đã đi đến những tổng kết quý giá:

Trong một chừng mực đáng kể, xuyên suốt nhiều thập kỷ của thế kỷ XX, nền toán học và giáo dục toán học toàn cầu đã xa rời mục tiêu hiện thực – mục tiêu “bẩm sinh” của toán học – để hướng tới ước muốn chủ quan của một số nhà toán học – ước muốn xây dựng toán học như một lâu đài pha lê trong suốt, rực rỡ, không hề bị gợn đục bởi bất kỳ một mệnh đề phi logic nào. Ước muốn đó đã chắp cánh cho chủ nghĩa toán học hình thức (formalism) và cho nền toán học mới (new mathematics). May mắn thay, sự thất bại của nền giáo dục toán học gần đây ở nhiều nước như Mỹ, Anh, Pháp, v.v. đã thức tỉnh các nhà khoa học và giáo dục. Hơn bao giờ hết, họ nhận ra ý nghĩa của khoa học và giáo dục là ở chỗ biết phân biệt ranh giới giữa ước muốn với hiện thực, giữa cái “khả thi” (possibility) với cái “bất khả thi” (impossibility) mà Kurt Godel đã lưu ý từ hơn 70 năm trước đây sau khi công bố Định lý về tính bất toàn (Theorem of Incompleteness) nổi tiếng, một định lý đã làm thay đổi nhãn quan toán học.

Do đó, sẽ không thể có một cái nhìn tổng quan và chính xác về giáo dục toán học nếu không kiểm điểm lại đôi nét lịch sử toán học và giáo dục toán học.

1. Nền “toán học mới” và hậu quả của nó

Bách khoa toàn thư Americana 1999 của Mỹ viết: “Vào những năm 60 và 70 (thế kỷ XX) đã dấy lên một phong trào dạy toán kiểu mới tại các trường tiểu học và trung học, được gọi là Toán học mới. Thực ra chẳng có một thứ toán học mới nào cả, mà chỉ có cái mới trong chương trình toán đưa vào các trường phổ thông mà thôi. Trong số các môn được đưa vào giảng dạy có Lý thuyết tập hợp và Logic sơ cấp, các hệ thống số khác nhau, các hệ đếm khác nhau, và môn số học đồng nhất mô-đun (modular consistency arithmetic). Có sự kết hợp hình học với đại số, và việc sớm đưa các tư tưởng hình học vào hệ thống giáo dục. ý đồ đưa tư duy phê phán vào giáo dục cũng được chú trọng. Câu hỏi tại sao một phương pháp được áp dụng được nhấn mạnh nhiều hơn là phương pháp ấy được áp dụng như thế nào. Học sinh được khuyến khích hiểu các khái niệm hơn là học thuộc các quy tắc. Lối học theo kiểu nhắc lại và học thuộc bài không được hoan nghênh. Việc chính xác hóa các biểu thức và biện luận các bước biến đổi đại số được đặc biệt chú ý. Đồng thời người ta cổ vũ học sinh tự phát minh và dạy học sinh cách nhận biết mô hình trợ giúp phát minh. Khi phương pháp mới này được tiến hành, chương trình Toán học mới được hỗ trợ mạnh mẽ bởi các nhà hàn lâm, mặc dầu cũng có những chống đối biểu hiện rõ ràng. Tuy nhiên đến thập kỷ 80 thì các nhà quan sát thấy rõ rằng chương trình này còn xa mới đạt được những điều nó hứa hẹn. Tình trạng mù toán học (mathematical illiteracy) là phổ biến, và rõ ràng là các quốc gia khác, như Nhật Bản hay Liên Xô, có học sinh được đào tạo tốt hơn. Mặc dù lý do thất bại của chương trình này khá phức tạp, nhưng đã có thể nêu lên một số đánh giá khái quát. Việc đào tạo giáo viên cho một chương trình có tầm cỡ như vậy được thực hiện rất hạn chế, rồi bỏ mặc nền giáo dục cho những giáo viên mà chính họ cũng không hiểu thấu những kiến thức này. Việc không chú ý tới cách học thuộc bài tỏ ra phản sư phạm: chẳng hạn, ít nhất thì việc cần phải làm phép tính: 1/2+2/3=? cũng quan trọng ngang với việc giải thích ý nghĩa của phép tính đó. Việc nhấn mạnh đến các môn học khó hiểu như Lý thuyết tập hợp tỏ ra phản tác dụng khi mà việc ứng dụng các kiến thức đó cũng còn rất hạn chế ngay cả đối với những nhà toán học và khoa học thực hành. Chương trình quá chú trọng tới toán học ở trình độ cao này dẫn tới sự trả giá là mất kiến thức cơ bản”.

Theo Reuben Hersh, giáo sư Đại học New Mexico, việc áp dụng chủ nghĩa hình thức trong toán học đã để lộ ra rằng người ta đã không hiểu ngay chính bản chất toán học là gì. Trong cuốn Thực ra toán học là gì?(2) xuất bản năm 1998, Hersh viết: “Những người theo chủ nghĩa hình thức trong việc trình bày toán học có ảnh hưởng lớn nhất là nhóm Nicolas Bourbaki. Dưới bút danh này họ đã xuất bản những bài giảng dành cho đối tượng học sinh đã tốt nghiệp tạo nên một ảnh hưởng rộng khắp thế giới trong những năm 1950 và 1960. Phong cách toán học hình thức đã nhỏ giọt xuống sự giảng dạy đối với học sinh các lớp dưới và thậm chí cho các lớp mẫu giáo, với bài giảng về Lý thuyết tập hợp dành cho trẻ em trước tuổi đến trường. Một trò chơi gọi là “WFF và chứng minh” được dùng để hỗ trợ trẻ em đang ở tuổi đi học tiếp thu “công thức biểu – diễn – đâu – ra – đấy” (well formed formulas, viết tắt là WFF) thích hợp với logic hình thức”. Hersh cho biết: “Những năm gần đây, một phản ứng chống lại chủ nghĩa hình thức đang tăng lên. Có một sự quay trở về cái cụ thể và ứng dụng. Có một sự coi trọng nhiều hơn đối với mẫu toán cụ thể với sự trình bày hình thức kém phần chặt chẽ hơn… Dấu hiệu cho thấy triết học hình thức đang mất dần vị thế uy tín của nó”.

Tuy nhiên, đà xuống dốc đến nay vẫn chưa hãm được. Hersh muốn đánh động chúng ta phải chú ý tìm hiểu ý nghĩa thực sự của toán học, nếu không sẽ có nguy cơ thất bại tiếp tục: “Nước Mỹ đang có nạn “mù khoa học” (innumeracy) trong quảng đại quần chúng, nạn “trốn tránh môn toán” (math avoidance) trong học sinh phổ thông trung học, và 50% sinh viên cao đẳng thi trượt môn vi tích phân. Nguyên nhân bao gồm thiếu kinh phí cho nhà trường, sự mòn mỏi tinh thần vì xem tivi, cha mẹ học sinh không ưa thích môn toán. Nhưng có một nguyên nhân khác dẫn tới thất bại trong giảng dạy toán học mà không mấy ai biết, đó là sự thiếu hiểu biết về bản chất của toán học”.

Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới OECD đã đánh giá trong báo cáo năm 1998: “Nước Mỹ đã mất vai trò dẫn đầu trong giáo dục”. William Schmitt, giáo sư về giáo dục học tại Đại học Michigan lên tiếng: “Vấn đề là phải xét lại xem chúng ta giảng dạy thế nào”. Trong diễn văn tường trình trước Quốc hội Mỹ về thành tựu năm 1998 và vạch đường lối năm 1999, Tổng thống Bill Clinton đã tỏ ra lo lắng nhiều về tình hình giáo dục, đòi các tiểu bang phải chịu trách nhiệm trước kết quả học tập của học sinh, học sinh kém nhất thiết không cho lên lớp hoặc tốt nghiệp, nâng cao chất lượng sư phạm bằng cách sát hạch kỹ giáo viên mới ra trường…

Tại Pháp, bà Stella Baruk, nhà sư phạm nổi tiếng, đã ra một “tuyên ngôn” hùng hồn “Vì một nền toán học không thất bại” (Pour des Maths sans échc) trên L’Express 10-11-1992, trong đó chỉ ra những sai lầm tai hại của phương pháp “toán học mới”. Bà cho biết, ngành giáo dục Pháp đã tiến hành điều tra kết quả lối dạy toán kiểu mới này, kết quả thật thảm hại. Một bài toán được nêu lên với các em học sinh 9 tuổi đại ý như sau: Trên một con thuyền có 28 con cừu và 9 con dê, hỏi tuổi của vị thuyền trưởng là bao nhiêu? 90% các em học sinh được hỏi đều trả lời hồn nhiên: 37. Các em đã làm một phép “ánh xạ” các phần tử 28 và 9 lên một phần tử thứ ba là 37, không cần biết ý nghĩa vật chất thật sự của các đối tượng trong phép toán đó là cái gì, đúng như tinh thần hình thức đã được đem ra giảng dạy cho các em(3).

Một nhân vật nổi tiếng khác của Pháp, Pierre Gilles de Genes, người đoạt giải Nobel vật lý năm 1991, hiệu trưởng Đại học lý hóa Paris, đã lên tiếng khẩn thiết trong cuốn Những mục tiêu bấp bênh mà tờ Le Figaro Magazine đã trích đăng ngày 5-11-1994. Ông nói: “Tôi không hài lòng với hệ thống giáo dục của chúng ta… Nhà trường chỉ mang lại cho học trò một mớ lý thuyết, những cung cách suy nghĩ và nhưng thói quen rập khuôn xơ cứng”.

Cần chú ý rằng Pháp là nước tiên phong trong phong trào “Toán học mới”, nhưng cũng là nước tiên phong phê phán phong trào “Toán học mới”. Nhưng buồn thay, Stella Baruk nói, Bộ Giáo dục Pháp đã tảng lờ trước những ý kiến chỉ trích đòi nhanh chóng thay đổi. Tuy nhiên, bà nói, gần đây người ta lẳng lặng trở về với phương pháp truyền thống, đơn giản vì phương pháp hình thức đã thất bại.

Tôi không có tài liệu cụ thể về Anh, nhưng hai câu chuyện thật, xin kể lại. Một người bạn tôi tên là X, trong một buổi tiếp khách ngoại giao, anh nói với Đại sứ Anh: “Nước Anh là nước có nền giáo dục tốt nhất thế giới”. Viên Đại sứ mỉm cười nói: “Ông quên không nói là nền bóng đá Anh cũng nhất thế giới”, rồi vượt qua ranh giới xã giao, viên Đại sứ nói tiếp: “Đó là nhìn từ bên ngoài vào. Chúng tôi biết rõ mình hơn. Nền giáo dục của chúng tôi có lắm chuyện phải xem xét lại lắm…”. Một bạn khác của tôi, bác sĩ D.T.H đang sống và làm việc ở London, có con đang học lớp 11, viết thư cho tôi: “Các cháu học hành rất khổ sở, vì chương trình trong sách giáo khoa viết rất cao, nhưng thầy giảng tại lớp thì chỉ nói qua loa, đại khái, bắt học trò phải tự nghiên cứu. Đa số các cháu không đủ sức tự nghiên cứu”.

2. Việt Nam và nền “toán học mới”

Khi tôi còin là sinh viên Đại học Tổng hợp Hà Nội, “ngọn gió Bourbaki” thổi vào Việt Nam khá mạnh. Cố giáo sư Bộ trưởng Tạ Quang Bửu đã viết một cuốn sách giới thiệu Bourbaki, chúng tôi ngốn ngấu đọc, mặc dù không hiểu mấy. Ở trường, may mắn thay, “sức ỳ của quán tính” mạnh hơn, phương pháp học truyền thống vẫn được duy trì, mặc dù các môn học toán lý thuyết đã có vẻ được đề cao hơn. Thế hệ chúng tôi ngưỡng mộ Bourbaki như “Euclid của thế kỷ XX”, nhưng chúng tôi không buộc phải học và trình bày toán học bằng các ngôn ngữ nghiêm khắc và lạnh lùng của toán học hình thức. Trong khi đó, theo chỗ tôi biết, “Toán học mới” đã chính thức được áp dụng cho các lớp 11, 12 của Sài Gòn trước 1975, và chương trình “Toán học mới” bắt đầu thâm nhập thực sự vào chương trình giáo dục toàn quốc từ khoảng 15 năm trước đây, khi chúng ta chính thức thay đổi sách giáo khoa toán. Các khái niệm trừu tượng mà thế hệ tôi được học ở đại học (ngành toán tổng hợp) thấy xuất hiện trong các sách giáo khoa lớp 6, lớp 7. Một bạn tôi là tiến sĩ toán đến thăm tôi đúng lúc tôi đang dạy một số em nhỏ lớp 7 các hệ đếm nhị phân, La Mã, chuyển đổi các con số trong các hệ đếm đó. Anh hoảng sợ nói với tôi: “Tại sao lại bắt các cháu học cái đó? Bắt tôi viết số 1985 bằng số La Mã ngay bây giờ tôi cũng chịu”. Tôi thanh minh với anh rằng đó là ý muốn của nhà trường, tôi phải giúp các em làm sao đối phó được với nhà trường, nếu không thì nguy cho việc lên lớp của các em. Và tôi cũng đã từng khổ sở làm sao giảng cho các em bé lớp 7 khái niệm hàm số như là “ánh xạ một một” với ký hiệu f…-> Hồi đó tôi chưa có đủ tài liệu để thấy rõ mọi điều như bây giờ, nhưng trực giác đã xui khiến tôi luôn miệng phàn nàn rằng đó là chuyện phản sư phạm. Trong trường hợp này trực giác có lý. Những giáo viên khác thì sao? Một số có thể vì quá say sưa với cái đẹp của lý thuyết cao siêu mà quên đi lời dạy của Pericles, nhà sư phạm lỗi lạc cổ Hy Lạp: “Nếu bạn không biết cách làm thế nào để chia sẻ kiến thức thì cũng dường như bạn chẳng biết gì cả”. Số này là những người theo Bourbaki một cách ngay thật. Một số khác có thể cũng thấy rõ phương pháp mới là dở, nhưng vì những lý do cá nhân nên im lặng thực hiện. Một số khác nữa, có thể là số đông, không có quan điểm riêng. Tuy nhiên tất cả chúng ta đều đáng được thông cảm, bởi vì các giáo sư lỗi lạc trên thế giới còn nhầm lẫn nữa cơ mà. Nhưng nay tình hình đã thay đổi. Phương pháp “Toán học mới” đã chính thức phá sản. Chúng ta may mắn tiếp thu phương pháp toán học hình thức khá muộn so với thế giới, nhưng sẽ không may mắn tí nào nếu chúng ta tỉnh ngộ quá muộn so với sự tỉnh ngộ của thế giới.

Tiến sĩ Phan Huy Điển, trong một bài in trên Nhân Dân đã viết “Một số người làm cho nó (môn toán) ngày càng trở nên nặng nề, khó tiếp thu”. Theo tôi, đấy chính là hậu quả của nền “Toán học mới”, với sự đề cao thái quá các suy luận lắt léo đòi hỏi “trí khôn hơn người”, làm thui chột những tâm hồn vốn sẵn sàng hưởng ứng cái hấp dẫn chân chính của toán học.

Tạp chí New Scientist ngày 26-2-2000 lưu ý độc giả cần phân biệt “trust” với “truth” (niềm tin và sự thật). Nếu một lý thuyết không được kiểm nghiệm bằng sự thật (thực tiễn) thì nó chưa phải là khoa học, mà quá lắm mới chỉ là một niềm tin mà thôi. Sự thất bại của “Toán học mới” ở phương Tây cho thấy ý đồ đảo lộn hệ thống sư phạm chỉ là một “niềm tin” hão huyền. Người Việt Nam chúng ta càng nhanh chóng ra khỏi sai lầm của nền giáo dục toàn cầu này sớm chừng nào hay chừng ấy.

3. Xu thế mới hiện nay

Tôi chưa đủ tài liệu để đánh giá, nhưng sơ bộ nhận thấy có một sự mất phương hướng. Có chỗ người ta chưa ra khỏi phương pháp cũ, có chỗ lại đoạn tuyệt với cái cũ một cách không thương tiếc và có nguy cơ lạc vào một hướng sai lầm của chủ nghĩa thực dụng thô thiển. Chẳng hạn, có sự biến mất của Euclid trên các trang giáo khoa hình học ở Australia, mà 15 năm trước đây từng được giới thiệu rất hệ thống. Không thể hiểu nổi tại sao trong khi báo chí sách vở hiện nay ca ngợi Einstein hết lời, kể rằng Albert Einstein từng gọi Hình học Euclid là “cuốn sách hình học thiêng liêng” (the holy geomtry book) (4), và phân tích rằng Thuyết tương đối của Einstein là sự kết hợp của hình học không – thời gian với lý thuyết hấp dẫn (8), thì sách giáo khoa lại làm biến mất Euclid. Người ta chỉ nhắc tới độc nhất Định lý Pythagoras, và nhắc đi nhắc lại suốt từ lớp 7 đến lớp 12 (?). Phương pháp suy diễn (deduction) chỉ được bàn tới với tỷ lệ rất nhỏ trong chương trình. Học sinh không hề biết đến Euclid, càng không biết phương pháp tiên đề của Euclid, thậm chí không hề biết gì về Tiên đề đường song song, mặc dù không thể thoát được bài tập đụng đến tính chất song song. Có một loạt chuyện “kỳ lạ” khác mà tôi hy vọng có dịp được trao đổi cụ thể với những tác giả viết sách giáo khoa trong nước. Về sự biến mất của Euclid, có lẽ, vì người ta nhầm tưởng Euclid là “thủ lĩnh” của chủ nghĩa hình thức, bởi lẽ ông là người sáng tạo phương pháp tiên đề. Nay cần loại bỏ chủ nghĩa này thì loại bỏ luôn vị “thủ lĩnh” cùng phương pháp tiên đề của ông. Dường như Reuben Hersh đã đoán trước được những nhầm lẫn tai hại đó nên đã mất công chứng minh hùng hồn rằng Euclid hoàn toàn khác Hilbert trên góc độ thế giới quan. Euclid là con người duy vật 100% khi đòi hỏi các hình họa cụ thể để mô tả các quan hệ logic suy diễn, cái mà Hilbert không cần. Trong khi đó, Hilbert là đại diện điển hình của chủ nghĩa duy tâm khoa học khi tin rằng tồn tại một hệ thống khoa học logic suy diễn thuần túy thoát ly hoàn toàn thế giới vật chất cụ thể. Việc giảm thiểu hoặc thậm chí loại bỏ Euclid là một căn bệnh “ấu trĩ tả khuynh” phát sinh từ sự “dị ứng” với chủ nghĩa hình thức. Có người không tán thành nhận xét này, mà quy kết ngược lại rằng đó chính là biểu hiện của chủ nghĩa hình thức với sự đề cao phương pháp giải tích trong hình học, xem thường phương pháp hình học có hình. Sự quy kết này cũng rất có lý. Đằng nào thì sự tước bỏ Euclid trong chương trình cũng là một sai lầm có nguồn gốc trực tiếp hoặc gián tiếp từ sự bành trướng tai hại của chủ nghĩa hình thức. Tóm lại, nền sư phạm toán học trước đây vốn đang phát triển ổn định như một con lắc dao động nhẹ nhàng quanh vị trí cân bằng. Bỗng “Toán học mới” hích rất mạnh làm con lắc dao động với biên độ lớn. Từ cực hữu – chủ nghĩa hình thức toán học có nguy cơ nhảy sang cực tả – chủ nghĩa thực dụng thô thiển.

5. Kết luận

Bài này không có mục đích đánh giá Hilbert. Không nên nhầm lẫn những đóng góp vĩ đại của Hilbert cho toán học với chủ nghĩa hình thức toán học mà Hilbert là “lãnh tụ”. Ngay cả sự thất bại của Hilbert đối với chương trình tiên đề hóa toàn bộ toán học cũng vẫn được Gregory Chaitin ca ngợi là một “thất bại vinh quang, kỳ lạ” (a tremendous, glorious failure!”. Chaitin còn nhấn mạnh rằng phương pháp của Hilbert có tầm quan trọng rất lớn đối với khoa học lập trình, đối với việc tính toán bằng computer…”.

Bài này chỉ nhấn mạnh một ý: Việc áp dụng tràn lan phương pháp toán học hình thức vào giáo dục là một việc làm phản sư phạm, dẫn đến hậu quả thụt lùi trong việc dạy và học môn toán. Yếu tố quyết định làm cho học sinh yêu thích hay chán ghét môn toán không nằm ở đâu khác, mà ở chính trong tay các nhà sư phạm, trước hết là những người biên soạn chương trình, sau đó là những người trực tiếp đưa chương trình đó đến tay học sinh.

Không có sự nghiệp nào vinh quang bằng sự nghiệp sư phạm trên con đường dẫn dắt các thế hệ mai sau, và cũng không có sự nghiệp nào có trách nhiệm nặng nề như sự nghiệp sư phạm trong việc đào tạo ra những nhân tài tương lai của đất nước. Nhưng sự nghiệp ấy chỉ có thể thành công khi ước muốn của các nhà sư phạm phù hợp với hiện thực.

Phạm Việt Hưng

Chú thích:

(1) Bài viết gồm 4 tiểu mục chính và mục kết luận. Vì khuôn khổ tờ báo, chúng tôi xin lược bỏ phần đầu – Lịch sử chủ nghĩa toán học hình thức vì đi hơi sâu vào chuyên ngành, do vậy bài viết còn 4 phần (TS).

(2) “What is Mathematics, Really?” của Reuben Hersh, do Vintage xuất bản năm 1998 tại London, Anh.

(3) Bài báo này tôi đã đọc năm 1995. Hiện không có trong tay. Chi tiết số liệu trong bài toán có thể thiếu chính xác đôi chút, nhưng nội dung đã nêu hoàn toàn không thay đổi so với nguyên gốc. Đã giới thiệu tóm tắt trên Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục ở Hà Nội năm 1995.

(4) Xem “Heisenberg Probably Slept Here” của Richard Brennan, J.Wiley & Sons, Inc, xuất bản 1997

(5) Xem “Can Physics Be Unified?” của Steven Weiberg trên Scientific American tháng 12 năm 1999

(đã đăng trên Văn Nghệ và Nhân Dân)

Advertisements

One thought on “Dạy Toán – Suy nghĩ từ kinh nghiệm của các nước

  1. Cháu cảm ơn chú vì những bài viết rất hay, đáng để suy ngẫm của chú. Cháu đang lang thang trên mạng và may mắn vào trang của chú… Thế là cháu đi từ thú vị này đến thú vị khác…. Cháu là một sinh viên sư phạm Toán Tin học…
    Cháu xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến chú. 🙂
    Chúc chú luôn vui, khỏe.

    Số lượt thích

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s